五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除
包含与排除问题其实也叫容斥问题。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-AB
    A    AB    B    （韦恩图）
例1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37 + 42 = 79 （人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数学作业都完成的有： 79－48 = 31（人）
    37 + 42－48=31（人）
    答：语文、数学作业都完成的有 31 人。
想一想：下面算式有何道理？
( l ) 37－（48 －42 ) = 31 （人）
( 2 ) 42 －（ 48 － 37 ）= 31 （人）
【疯狂操练】：(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？
  解：语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人，那么总人数是：65+87=152（人）
其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152－122=30（人）
答：语文数学都优秀的有30人。
( 2）四年级一班有 54 人，订阅 《 小学生优秀作文 》 和 《 数学大世界 》 两种读物的有 13 人，订 《 小学生优秀作文 》 的有 45 人，每人至少订一种读物，订 《 数学大世界 》 的有多少人？
  解：根据两种读物的有 13 人，订 《 小学生优秀作文 》 的有 45 人，每人至少订一种读物，可知只订了《 数学大世界 》的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有13人，所以订了《 数学大世界 》的有：13+9=22（人）
答：订 《 数学大世界 》 的有22人。
( 3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？
  解：24+17-8=33（人）
答：这个文艺组一共有33人。
例2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的人有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对？
【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 25－15＝ 10 （人）。又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10 + 23 = 33（人）。所以，两题都答得不对的有 36－33 = 3 （人）。
    36－［( 25 －15 ) + 23］=3（人）
想一想：下面算式有何道理。
(l) 36－［( 23－15 ) + 25］ = 3 （人） 汽车大世界
(2) 36 －［( 25－ 15 ) + ( 23 － 15 ) + 15 ］＝ 3 （人）
【疯狂操练】：( l）五（ 1 ）班有 40 个学生，其中有 25 人参加数学小组， 23 人参加科技小组，有 19 人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？
解：19人两个小组都参加
则只参加数学小组为25－19=6人，只参加航模小组为23－19=4人
所以参加小组活动的为4+6+19=29人，两个小组都没参加的为40－29=11人
( 2）一个班有 55 名学生，订阅 《 小学生数学报 》 的有 32 人，订阅 《 中国少年报 》 的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？
  解：订 《 小学生数学报 》 的 32 人，订 《 中国少年报 》 的 29 人，两种报纸都订的有25人，实际上订阅的总人数是：29+32－25=36人，
那么两种报纸都没订的有55－36=19人。
答：两种报纸都没订的有19人。
( 3 ）某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有 27 人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？
解：只获作文比赛奖的14-3=11人，只获数学比赛奖的12-3=9人。
获奖人数一共有11+9+3=23人，没获奖的就有50-23=27人。
例3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【思路导航】：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数56－25 =31（人），再求两科竞赛同时参加的人数：28 + 27 －31 = 24 （人）。
28 + 27－（ 56－ 25 ) = 24 （人）  答：同时参加语文、数学两科竞赛的有 24 人。
想一想：下面算式有何道理
( l ) 28－（56 －25－27 ）= 24（人） ( 2 ) 27 －（56－25－28 ）= 24 （人）
【疯狂操练】： ( 1）一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？
解：因为除了两样都不会的4人，有36－4=32人，这32人分为会英语的，会法语的，两样都会的，而会英语和会法语中包括两样都会的所以就是：24+18=42（人）比32人多的人数
就是两样都会的人数，即42－32=10（人）。
综合列式：24＋18－﹙36－4﹚＝10（人）
  答：两样都会的有10人.
( 2）一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。问这两种棋都会下的有多少人？