哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高三上学期
第二次验收考试数学试题
一、单选题
1．{}=530A x x -≥，{}
1
=21x B x -≤，则A B ⋂=（    ）
A ．3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]0,1
C ．30,5
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
2．已知
(),1a λ=-r
，()2,3b =r ，且//a b ，则λ=（    ） A ．32
-
B ．23
-
C ．
32
D ．
23
3．已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为n S ，1=1a ，236a a +=，则5S =（    ） A ．29
B ．30
C ．31
D ．32
4．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平．某公司用9万元进购一台新设备用于生产电机，第一年需运营费用3万元，从第二年起，每年营运费用均比上一年增加2万元，
该设备每年生产的收入均为12万元，设该设备使用了()
*
N n n ∈年后，年平均盈利额达
到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（    ） A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
5．在ABC 中，点D 线段BC 上任意一点，点D 满足3AD AP =，若存在实数m 和n ，使得BP mAB nAC =+，则m n +=（    ） A ．2
3
B ．13
C ．13-
哈尔滨汽车D ．23
-
6．平面直角坐标系中，角α的终边经过点()3,4P -，则2cos +π=2α
⎛⎫ ⎪⎝⎭
（    ）
A ．110
B ．15
C ．45
D ．910
7．已知实数2sin 3a =，43sin 34b =，43
cos 34
c =，则a ，b ，c 的大小关系为（    ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．a b c >>
D ．a c b >>
8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()21f x f x +=-+．当1
02
x -≤<；时，()
f x =．．
的是（    ） A ．()20220f =
B ．函数()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦
C ．函数()f x 的图像关于直线11
2
x =-
对称 D ．方程()0f x x a -+=最少有两个解
二、多选题
9．下列说法中正确的有（    ） A ．“0a >”是“
1
2a a
+≥”的充要条件 B ．“=6x ”是“2560x x --=”的必要不充分条件
C ．命题“存在R x ∈，20x +≤”的否定是：“存在R x ∈，20x +>”
D ．设a ，b 都是非零向量，则2a b =r r 是a b a
b =r r
r r 成立的充分不必要条件 10．已知函数()2sin cos f x x x =，则下列结论正确的是（    ） A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x 在区间,04π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上单调递减
C ．函数()f x 的图像不是中心对称图形
D ．函数()f x 图像的对称轴方程仅有2
k x π
=
，k Z ∈ 11．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1=1a ，()1
112n n n a a ++=-+，则下列结论正确的
有（    ） A ．2120S = B ．199201S S =
C ．()
1
211n n a +-=-，*n ∈N
D ．()
1
221n n a -=+-，*n ∈N
12．已知函数()e x
f x ax =-，()2ln
g x x x =，e 是自然对数的底数，则下列正确的是（    ）
A ．若函数()f x 仅有一个零点，则=1a
B ．若()()12g x g x =，()12x x ≠，12x x +>
C ．若()0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，则a e ≤
D ．若()()f x g x ≥恒成立，则整数a 的最大值为2
三、填空题 13．已知函数()1
1
x f x x +=
-，定义域为()2,+∞，则()f x 的值域为______． 14．已知{}n a 是等差数列，
{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6
3
2
6log a b =______． 15．如图所示，点P 是正三角形ABC 外接圆圆O 上的动点，正三角形的边长为3，则
24OP OA OP OB OP OC ⋅+⋅+⋅的取值范围是______．
16．已知ABC 满足()sin 2sin sin C B B C +=-，D 是ABC 的边BC 上一点，且3BC BD =，
=2AD ，则2AC AB +的最大值为______．
四、解答题
17．设函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,1a x =
，()
cos 2b x x m =-． (1)求函数()f x 单调递增区间；
(2)当,6x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 恰有三个零点，求m 的取值范围．
18．已知数列{}n a 中，11a =，且1n n a a n +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设111
n n b a +=
-，数列{}n b 的前n 项和n T ．
19
．在①2S AC =⋅；②2
2cos 1cos 22
B C
A +=+
；③sin cos c C c A -；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角ABC 中，内角A 、B 、C ，的对边分别是a 、b 、c ，且______ (1)求角A 的大小；
(2)
若a ABC 周长的范围．
20．疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理．校园内某区域由矩形OABC
与扇形OCD 组成，
2m OA =
，AB =，π
=3COD ∠．消毒装备的喷射角π3
EOF ∠=，阴影部分为可消毒范围，要求点E 在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设=FOC ∠θ，可消毒范围的面积为S ．
(1)求消毒面积S 关于θ的关系式，并求出tan θ的范围； (2)当消毒面积S 最大时，求tan θ的值．
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2321n
n n S a =-+．
(1)求证：数列{}
2n
n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)记()()
212n
n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n M ；
(3)记3221n n n n n c a c -=+，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：3
2
n T <．
22．已知函数()()e ln 1x
f x x x ax =++．
(1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；
(2)当=0a 时，函数()()g x f x m =-有两个零点，求实数m 的取值范围； (3)求证：对任意的()12,0,x x ∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x +>+．
参考答案：
1．A
【分析】先求集合,A B ，再根据交集运算求解.
【详解】∵{}3=530=5A x x x x -≥≥⎧⎫⎨⎬⎩
⎭，{}
{}1
=21=1x B x x x -≤≤
∴3,15A B ⎡⎤
⋂=⎢⎥⎣⎦
故选：A. 2．B
【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，计算作答.
【详解】因
(),1a λ=-r
，()2,3b =r ，且//a b ，则有32λ=-，解得23
λ=-， 所以2
3
λ=-.
故选：B 3．C
【分析】根据给定条件，列式求出公比即可计算作答.
【详解】等比数列{}n a 的公比1q >，由1=1a ，236a a +=，得260q q +-=，解得=2q ，  所以5
5123112
S -==-.
故选：C 4．D
【分析】根据给定条件，建立等差数列模型，利用等差数列的通项及前n 项和公式求解作答. 【详解】依题意，该设备每年营运费用依次排成一列，可得等差数列{}n a ，其中首项1=3a ，公差=2d ，
则该设备第n 年营运费用1(1)21n a a n d n =+-=+，前n 年营运总费用23(21)
22
n n S n n n ++=
⋅=+，
因此，年平均盈利额2119(129)[12(2)9]10()104n n S n n n n n n n --=-+-=-+≤-=，
当且仅当9
n n =，即=3n 时取等号，
所以年平均盈利额达到最大值时，=3n . 故选：D