线性规划的实际应用
指导教师：
大连市第八中学数学组 崔贺
课题组成员：
大连市第八中学高二（2）班全体同学
课题背景：
提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题。近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用。根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，线性规划的应用程度名列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果。
所谓线性规划，是求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。常见的问题在：物资调运问题、产品安排问题、下料问题。
研究过程：
一、研究性学习开题报告
（一）教师提出总体要求
（二）分析课题背景，可行性论证
（三）制定总体目标与计划
（四）明确具体操作过程
（五）划分小组，确定活动地点
（六）由组长负责小组成员分工
（七）确定成果形式：论文（数学模型与解答）、心得体会
二、小组活动（注：各小组数学模型见线性规划模型汇编）
第一小组
活动时间：2003.4.12
活动地点：大连市天津街改造办
活动目的：调查了解城市规划、布局与设计中的线性规划问题
参加人员：组长：陈燕
组员：丁琳 许玲 见琦 任鑫 王鑫 刘姝言 王全智 孙颖 李舒然 冯昱 黄漪墨
活动过程：
来到活动地点，我们见到了有关规划设计的负责人，通过他的讲解，我们对天津街规划有了初步的认识。这个规划，考虑到了整体市容市貌，提升城市功能，加强布局的合理性，
以及保护原有城市风貌，发挥天津街中心商业区的作用等各方面因素，为取得经济效益、社会效益和商业效益的最大化而建设的。
天津街改造工程预计投资10个亿，用五年左右的时间，完善各种服务设施，改善交通和购物环境，打造精品步行街和商业主力店，引入各种经营业态，让人们旅游购物更方便。新的规划会促进这一地区的繁华，进而带动整个城市的发展，这一地区将会成为繁华的象征，成为大连的又一个亮点。
我们还参观了正在建设中的天植商厦和修竹广场。
第二小组
活动时间：2003.3.22
活动地点：大连市汽车站
活动目的：考察汽车站的汽车调度中有关线性规划问题
参加人员：组长：张磊
组员：杨振业 向飞 黄超 李易 李成龙 夏博 尹家琳 于秀 张馨 王晨婧 王昱
活动过程：
我们来到大连汽车站，对线性规划的应用进行了实地考察。考察了大连汽车站在运输旅客的过程中采取的一些措施。
调度人员首先根据地点的远近和旅客的多少作为标准确定使用的车辆，再根据中途旅客的上下车情况，决定行车路线，利用线性规划理论合理地调度车辆，既能满足旅客的乘车需要，又能最大可能地减少运费和人力消耗。
我们还了解了车票的定价依据和节假日客流高峰时的车辆分配情况。
第三小组
活动时间：2003.3.29
活动地点：大连机车车辆厂
活动目的：调查机车厂在生产机车过程中的有关线性规划问题
参加人员：组长：辛凌
组员：张学斌 周颖 张朋 周晶 曲晨 周雯婷 陈艳 朱厚盛 孙波 刘宏达 赵晓明
大连汽车活动过程：调查机车厂在生产机车过程中的有关线性规划问题
我们来到机车厂设计处，设计师们热情地为我们讲解了有关机车设计上所考虑的一些实际问题，比如机车所用的材料，机车的外形对速度的影响，机车的动力问题等等，使我们觉得生产一辆机车是那么的复杂。
我们还在工人师傅的带领下，参观了轻轨生产车间和准备运往巴基斯坦的火车头。设计人员还向我们介绍了在机车生产过程中哪些地方用到了线性规划问题。我们知道了线性规划在工厂生产中的具体应用。
第四小组
活动时间：2003.3.15
活动地点：大连市百盛购物中心
活动目的：调查商业超市的产品安排以及物资调运中的线性规划问题
参加人员：组长：张恩帅
组员：刘林 林楠 刘栋 曾晟 刘崇毅 原野 邓宏宇 李之巍 宋庆宇 安倩
活动过程：
我们来到了百盛购物中心，到了这里的销售部经理，了解了一下关于怎样进行产品分配，发现他们在进行产品调配时要根据商品的价格和顾客需求量来预测商品的销售量，进一步来调整进货量。其中有许多需要线性规划问题。
我们还考察了百盛购物中心在进货方面所采取的一些措施，根据产品生产厂家的不同地点和进货量的多少来合理分配人力、物力、资金，以达到最小的投入得到最大的收益。
第五小组
活动时间：2003.3.29
活动地点：大连电视台广告部
活动目的：调查电视台在播放电视节目和广告过程中的有关线性规划问题
参加人员：组长：马文静
组员：李丹 乔祁 玄仲明 李颖 张率 张若雪 隋文峰 吴琼 郑晓琳 徐恂
活动过程：
与电视台联系后，我们来到了大连电视台广告部，有关人员热情接待了我们。他们向我们详细介绍了广告部的策划与招商工作，以及广告时段的设计等问题，使我们知道在策划过程中也涉及到了很多线性规划问题，虽然所用的知识远比我们想象的多很多。
我们还在工作人员的带领下，参观了电视台的技术部和直播间，进一步了解了电视制作方面的有关情况。
研究成果：
一、学生建立数学模型及解答（略）
二、研究性学习教学案例
课题：线性规划的实际应用
授课人：崔贺 授课班级：高二（2）班 时间：2003.4.16
教学目标：
1、了解简单的线性规划：在满足一次不等式组的条件下，寻求目标函数的最值问题。
2、会确定二元一次不等式的解所表示的点所在区域。
3、掌握用图解法求目标函数的最值。
4、会用简单的线性规划去解决在现实生活中遇到的一些实际问题。
重点：不等式所表示的区域
难点：实际问题数学模型化
关键：分析问题已知与所求
教学过程与内容：学生到附近工厂、企事业单位作调查研究，提出能用线性规划知识解决的实际问题，从实习和研究活动的成果中抽象出数学模型，并利用所学知识做出解答，并互相交流。
（一）问题的提出
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、
财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 某厂需在长为4000mm的圆钢上 ，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？
初步分析：可以先考虑两种“极端”的情况：
（1）全部截出长为698mm的毛坯（甲件），一共可截出5件，残料长为510mm。
（2）全部截出长为518mm的毛坯（乙件），一共可截出7件，残料长为374mm。
由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把
截取条件数学化地表示出来就是：
698 x + 518y 4000 x ，y都是非负整数
目标是使：z =材料利用率尽可能地接近或等于1（尽可能地大）。
该问题可用数学模型表示为：
目标函数：Max z =
满足约束条件： 698 x + 518y 4000 ， (1)
x ，y都是非负整数 (2)
例2 某商业规划处在商场内要装修I 、II两种经营不同商品的铺位各若干个，已知装修一个铺位所需的人数及A、B两种装修材料的消耗，如下表所示。
I | II | 现有数量 | |
设备 | 1 | 2 | 8人 |
原材料A | 4 | 0 | 16kg |
原材料B | 0 | 4 | 12kg |
该商场每个铺位I可获利 2万 元，每个铺位II可获利 3 万元，问应如何安排装修计划使商场获利最大？
这问题可以用以下的数学模型来描述：设x1,x2分别表示在计划期内装修I、II的数量。因为可调动的人数为8人，这是一个限制装修数量的条件，所以在确定I 、II的数量时，要考虑不超过可调动人数，即可用不等式表示为：x 1+2x 2 8 .
同理，因装修材料A 、B的限量，可以得到以下不等式：4x116，4x 2 12.
该商场的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定数量x1、x2以得到最大的利润。若用 z 表示利润，这时z = 2 x 1+3 x 2 。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：
目标函数：Max z = 2x 1 + 3x 2
满足约束条件： x 1 + 2x 2 8
4 x 1 16
4 x 2 12
x 1，x 2 0
该模型的特征是：
（1）有一组决策变量（x 1 ,x 2 ,…,x n）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个
具体方案。一般这些变量取值是非负的。
（2）存在一定的约束条件，这些约束条件可用一组线性不等式（或等式）来表示。
（3）有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。
按问题的不同，要求实现目标函数最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划模型。其一般形式为：
目标函数： Max (Min) z = c 1x 1 + c 2x 2 + …+ c nx n
a11x 1 + a12x 2 +…. + a13x n (=,) b1
a21x 1 + a22x 2 +…. + a23x n (=,) b2
满足约束条件： … …
a m1x 1 + a m2x 2 +….+ a m3x n (=,) bm
x 1 ,x 2 ,…, x n 0
（二）穷举法
以例1为例介绍穷举法。
先根据（1）求出x 所有可能的取值为：0、1、2、3、4、5，再由（1）把相应y 的
最大值求出，对应为7、6、5、3、2、0，依此计算住z值如下表：
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 7 | 6 | 5 | 3 | 2 | 0 |
z | 90.65% | 95.15% | 99.65% | 91.20% | 95.70% | 87.25% |
由表可知，在一根圆钢上截取2个甲件和5个乙件，可以得到最高的材料利用率99.65%。
（三）图解法
1、用二元一次不等式表示平面区域
y y y y
x o x x x
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