第六讲 用参数法获取VaR
教学内容：
一、数值VaR和参数VaR
如前所述，VaR是指在一定置信水平和一定持有期内，某一金融资产或组合在正常的市场条件下所面临的最大损失额。据此，VaR的获取可以有两种完全不同的思路。
一种思路是，给定样本数据和置信水平，借助于样本百分位数来确定与置信水平相对应的分界点，该分界点对应的数值就是相应的VaR数值，如前两讲中介绍的历史模拟法和蒙特卡罗模拟法采用的就是这一思路。这样得出的结果被称为数值VaR。
另一种思路是，借助于相应分布的参数，如均值、方差等来计算VaR。这样得出的结果被称
为参数VaR。我们知道，理论分布的置信区间与标准差之间存在着一一对应关系，如正态分布，给定置信水平，VaR就能直接表示成标准差的倍数，这样一来，计算过程就变得非常简单了。
二、参数法简介
参数法，也称方差-协方差法，是计算VaR最常用的方法，其基本假设是资产收益率服从正态分布。然后借助于正态分布转换，把VaR表示成标准差的倍数，通过简单的计算获得最终结果。具体过程如下：
首先将一个一般正态分布转换成均值为0、方差为1的标准正态分布。例如，假设一个投资组合的收益率为R，预期收益率为，标准差为，对应的概率密度函数f(r)服从一般正态分布。我们需要将一般正态分布f(r)转换成一个标准正态分布，其中ε的均值为0，方差为1。
进一步假设组合收益在某个分界点上的收益率为。由于是在风险损失的框架内讨论问题，一般来说，是负值，可以写成“-”。同时假设标准正态分布的标准差为α（α>0），α可以通过以下假设与联系。借助于正态化转换，α与之间的关系可以表述为：
结合正态分布图，我们知道上式表示的是一种距离对应关系：由于标准正态分布的均值为0，方差为1，一般正态分布的某个分界点距离其均值的距离，可以表示成其标准差的倍数，该倍数乘子即对应的标准正态分布在该分界点上的标准差数（即分位数）。该式同时也意味着收益率小于或等于的概率等于ε≦α的概率，表示成公式即：
其中，c为置信区间。因此，计算组合VaR等价于发现标准差α>0，使得在它左侧的区域等于1-c，或者说是单尾概率。即：
在标准正态分布中，单尾概率c与标准差数α之间具有精确的对应关系，如下表所示：
置信区间c（%） | 99.99 | 99.9 | 99 | 97.72 | 97.5 | 95 | 90 | 84.13 |
标准差数α | -3.715 | -3.09 | -2.326 | -2 | -1.96 | -1.645 | -1.282 | -1 |
根据前面正态化转换公式，可知分界点处的收益率为：
设某投资的初始价值为P0，那么，其在对应一定置信水平C处的分界点数值就是
如果我们将定义为该投资相对于预期价值的不利偏差，而该投资的预期价值为，那么就有，
有时候我们并不考虑投资的预期价值，而是直接计算相对于初始投资的损失，则有：
仍以在前面的课程的江淮汽车股票为例，已知初始投资，对应99%置信水平下的，江淮汽车股票收益率的均值为-0.000586，标准差为0.0247，据此，我们可以计算出
这样，如果相关参数都已知，的获取就变成了一个简单的数学计算过程。在实际中，由于α和都是可以直接获知的，那么，计算VaR的核心就转变为估计参数σ了。
在前面的课程中，我们已经学习了在一个给定的样本基础上，如何获取变量的标准差σ，标准差通常也被称为波动性。如果假定要考察变量的分布形态不会随时间推移而发生变动，
即在任何时点上，方差都是某个既定的常数，这样的方差也被称为无条件方差，那么波动性σ一旦被估计出来，就可以一直不变地使用下去。
然而事实上，变量的分布形态往往会随时间的推移而呈现出动态变化，这个时候的方差就表现为条件方差，我们通过给σ加一个时间下标来表示，即，表示这一波动性只是在时刻t的结果，在不同时刻，波动性σ的数值会存在着差异，这样的波动性也称为动态波动性。
动态波动性σ的估计方法主要有两大类：一类是基于历史数据进行估计，如简单移动平均模型、指数加权移动平均模型、GARCH模型等。另一类是通过BS期权定价模型来反解市场用来定价的波动性σ。本课程中我们介绍两种最基本的方法：简单移动平均模型和指数加权移动平均模型。
（一）简单移动平均模型
江淮汽车移动平均是指随时间窗口推移对固定个数的数据取平均值。时间窗口每推移一个时间单位，就加入一个新数据，同时放弃一个最老的数据。因此，样本容量是恒定的。移动平均技术应用相对简单，在金融计量学中被广泛采用，比如在股市分析中常用的移动平均线。
有效市场的含义是资产价格服从随机游走过程，而资产收益率则服从稳定的白噪声过程。在计算和预测波动性时，收益率r是输入变量。在估计t时刻n期历史数据的方差时，求过去n个单期收益率平方的等加权移动平均数，再把该估计值的平方根转化为年率形式就得出历史波动性的数值。通常选取的时间窗口长度为20个交易日（月度波动性）或60个交易日（季度波动性）。公式如下：
公式中的脚标“t|t-1”表示基于第t-1期以前的数据估计的第t日的波动性。可以看出，公式将过去n个交易日的权重均等地设为1/n，所以简单移动平均也称为等加权历史移动平均。
在估计波动性是，风险管理人员通常不仅关心未来一天的波动性，也关心未来更长时期，比如10天、20天等的波动性。一般来说，如果我们可以估计出未来一天的波动性，就可以直接应用前面提到过的时间平方根法则，直接将一天的波动性转换为更长时间的波动性。例如，如果我们想知道未来T日的波动性，则有：
，或表示为
简单移动平均模型的好处是简单易行。但其内存缺陷也比较突出，该方法存在着幽灵效应（ghost effect）。在样本期内如果发生市场价格的突然变化（正或负的收益率异常变大），将会严重影响移动平均的趋势。此外，该方法对所有的数据点都设定同样的权重，而不管它们是最近的数据还是过去比较远的数据，是大的数据还是小的数据，事实上，由于最近的信息与将来更加相关，大的事件对未来的影响也更大，因此，该模型预测的结果肯定是不准确的。
（二）指数加权移动平均模型
也称为指数平滑模型，该模型通过引入一个指数平滑过程，对简单移动平均模型进行了改进。相对于简单移动平均模型，指数加权移动平均模型不仅反映了时间序列的随机性特征，同时适当提高了当前数据的权重，减少较早以前数据的权重，以提高预测精度。
一个n期的指数加权移动平均模型公式如下：
其中，为衰减因子，。随着n，分母收敛于。于是一个无限期的指数移动平均模型为：
通过迭代后，一个更简洁的形式为：
可见，在t-1期估计t期的波动性，实际上取决于两个部分：t-1期的波动性估计值和t期收益率平方的加权平均。
作为权重系数，决定了波动性的持久性，1-决定了波动性对当前事件的反应程度，两者是不独立的，加起来等于1。按照该方法，不同期间的波动性会发生变化。由于存在持久性，如果某一时期的平均波动性较高，则下一时期的波动性也会较高，形成波动集中。另外，由于新近的观察点数据权重大，较早的观察点数据权重小，模型能够迅速对冲击作出反应；同时由于在冲击之后权重呈指数式的衰减，波动率也得以以指数方式衰减。
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