第1章 集合、命题、不等式、复数
1、有限集合子集个数：子集个数：2n 个，真子集个数：12n -个；
2、集合里面重要结论：
①A B A A B =⇒⊆；②A B A B A =⇒⊆；③A B A B ⇒⇔⊆;④A B A B ⇔⇔= 3、同时满足求交集，分类讨论求并集
4、集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-
5、常见的数集：Z ：整数集；R ：实数集；Q ：有理数集；N ：自然数集；C ：复数集；
其中正整数集：{}1,2,3,Z N **==⋅⋅⋅⋅⋅⋅
6、均值不等式：若,0a b >
时，则a b +≥若,0a b <
时，则a b +≤-
7、均值不等式变形形式：222(,)a b ab a b R +≥∈；2(0)b a ab a b +≥>；2(0)b a
ab a b
+≤-<
一元秒杀汽车8、积定和最小：若ab p =
时，则a b +≥=9、和定积最大：若a b k +=时，则22()44a b k ab +≤
=
10
、基本不等式：2
112a b a b
+≤≤+ 11、一元二次不等式的解法：大于取两边，小于取中间
12、含参数一元二次不等式讨论步骤：(1)二次项系数a ；(2)判别式∆；(3)两根12,x x 大小比较；(4)
12,x x 与定义域的端点值作比较(常用韦达定理)
13、一元二次不等式恒成立：(1)若2
0ax bx c ++>恒成立00a >⎧⇔⎨
∆<⎩
(2)若2
0ax bx c ++≤恒成立0
a <⎧⇔⎨∆≤⎩
14、任意性问题：①max ,()()x I a f x a f x ∀∈>⇒>；②min ,()()x I a f x a f x ∀∈≤⇒≤。 15、存在性问题：①min ,()()x I a f x a f x ∃∈>⇒>；②max ,()()x I a f x a f x ∃∈≤⇒≤。 16、距离型目标函数
:d =(,)x y 到定点(,)a b 的距离；
17、斜率型目标函数:y b
k x a
-=
-可行域内的点(,)x y 到定点(,)a b 的斜率； 18、线性型目标函数:z ax by =+过可行域内的点(,)x y 且斜率为b
a
-的直线截距的b 倍；
19、p 是q 充分不必要条件：,p q q p ⇒⇒/；则集合关系是：p q 20、p 是q 必要不充分条件：,q p p q ⇒⇒/；则集合关系是： q p
21、p 是q 既不充分也不必要条件：,p q q p ⇒⇒//；则集合关系是： ,p q 无包含关系 22、p 是q 充要条件：,p q q p ⇒⇒；则集合关系是： p q =
23、全称命题及否定形式： 00:,();:,();P x M p x P x M p x ∀∈⇒⌝∃∈∍⌝ 24、特称命题及否定形式： 00:,();:,();P x M p x P x M p x ∃∈∍⌝∀∈⇒⌝
25、命题否定形式的书写方法：任意变存在，存在变任意，条件不变，结论否定
26、共轭复数：z a bi =-：(实部相同，虚部相反)，共轭复数的性质：22
z z a b ⨯=+
27
、复数模长：z a bi =+=28、复数的除法：
112
222
z z z z z z ⋅=⋅(分子、分母同乘分母的共轭复数) 第2章 函数及导数
29
2.236,
3.142, 2.718e π≈≈≈≈≈ 30、指数公式
(1)n m
a =
(2)
a n a n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数
31、对数公式
(1).N x N a a x log =⇔=； (2).N a N
a
=log
(3).N M MN a a a log log )(log +=； (4).N M N
M
a a a log log )(
log -= (5).M n M a n a log log = (6).n a n a =log
(7).1log =a a (8).01log =a
(9).log log n m a a n b b m =
log (10).log log c a c b b a =
1
(11).log log a b b a
=
(12).log log log 1a b c b c a = 32、函数定义域的求法 (1).分式的分母0≠； (2).偶次方根的被开方数0≥； (3).对数函数的真数0>； (4).0次幂的底数0≠； (5).正切函数的自变量2k π
π≠
+；
(6).满足几个条件时列不等式组的求交集；
33、增函数的标志：①任意12x x <⇔12()()f x f x <；②导函数()0f x '≥；③1212
()()0f x f x x x ->-；
34、减函数的标志：①任意12x x <⇔12()()f x f x >；②导函数()0f x '≤：③1212
()()0f x f x x x -<-
35、单调性的快速法：①.增＋增→增；增—减→增；②.减＋减→减；减—增→减；
③.乘正加常，单调不变： ④.乘负取倒，单调改变：
36、奇偶性的快速法：①.奇±奇→奇；偶±偶→偶；
②.奇()⨯÷奇→偶；偶()⨯÷偶→偶；奇()⨯÷偶→奇；
37
、常见的奇函数：,,sin ,tan ,,(),)x x k
y kx y y x y x y x y e e y x x
-
======±-=奇数
38、常见的偶函数：2,,cos ,,,()x x y C y x y x y x y e e y f x -=====+=偶数
39、函数的周期性：()()x D f x T f x ∀∈⇒+=，则称()f x 为周期函数，其中T 为函数的一个周期。 40、周期性标志：①.()()f x a f x b T a b +=+⇒=-；②.()()2f x a f x T a +=-⇒=；
③.1
()2()
f x a T a f x +=±
⇒= 40、对称轴标志： ()()f x a f b x +=-⇒ 对称轴为22a x b x a b
x ++-+=
=
；
如常见的对称轴有：(1)(1)f x f x +=-⇒对称轴为1x =；()(2)f x f x =-⇒对称轴为1x = 41、对称中心标志：()()f x a f b x +=--⇒ 对称中心为(
,0)2
a b
+；如常见的对称中心有： ()()f x a f a x +=--⇒对称中心为(0)a ，；(1)(1)f x f x +=--⇒对称中心为(10)，； 42、奇函数的周期是对称轴的4倍：以sin y x =为例； 43、偶函数的周期是对称轴的2倍：以cos y x =为例； 44、函数图像平移规则：横加左减右，纵加上减下；
45、函数图像翻折变换：()f x ：偶函数，右不变，右翻左；()f x ：上不变，下翻上； 46、函数图像伸缩变换：()f wx ：纵不变，横为原来的1
w
倍；()Af x ：横不变，纵为原来的A 倍； 47、零点存在性定理：函数()y f x =在区间(,)a b 有零点
⇔1、函数()y f x =
在区间(,)a b 连续；2、()()0f a f b <
48、解与零点的关系：方程()0f x =的解⇔函数()y f x =的零点； 49、零点与交点的关系：函数()()y f x g x =-的零点个数
⇔方程
()()0f x g x -=的解的个数；
⇔方程()()f x g x =的解的个数；
⇔函数12(),()y f x y g x ==图像交点的个数；
注意：两个函数12(),()y f x y g x ==图象可画，两函数为常见函数。 50、常函数的导数：()f x C =，则()0f x '=； 51、幂函数的导数：()f x x α=，则1()f x x αα-'=； 52、正弦函数的导数：()sin f x x =，则()cos f x x '=； 53、余弦函数的导数：()cos f x x =，则()sin f x x '=-；
54、指数函数的导数：()x f x a =，则()ln x f x a a '=；（特别地：()x f x e =，则()x f x e '=） 55、对数函数的导数：()log a f x x =，则1()ln f x x a '=
；（特别地：()ln f x x =，则1
()f x x
'=） 56、和差求导数法则:(()())()()f x g x f x g x '''±=± 57、乘法求导数法则:[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+
58、商的求导数法则：2
()()()()()
()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦
59、复合函数求导法则：若[()]y f g x =，令()t g x =，则()y f t =
60、切线l 的方程：))((000x x x f y y -'=-，其中切点：00(,)P x y ；斜率：0()k f x '=
61、切点的三大性质：(1).切线的斜率等于该点的导函数值；即0()k f x '=
(2).切点在曲线()y f x =上； (3).切点在切线l 上
62、常见的不定积分表
63(1).()()kf x dx k f x dx =⎰⎰；
(2).[()()}()()f x g x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰ 64、积分的几何意义：面积就是积分值。
定义在[],a b 上的函数()f x 与x 轴，,,()x a x b y f x ===构成曲边梯形的面积就为()f x 在[],a b 的定积分值。()b
a S f x dx =⎰
65、求积分的三种思路：(1)牛莱公式；(2)奇偶性质；(3)转圆求面积。
66、奇偶函数求积分：(1)奇函数对称区间上积分为0；(2)偶函数对称区间上积分为[]0,a 的两倍。 67、转圆求积分：(1)212a a π-=⎰
(半圆)；(2)201
24
ππ==⎰(四分之一圆)。
68、牛顿-莱布尼茨公式：()()()()b
b a
a
f x dx F x F b F a ==-⎰.其作用：计算曲边梯形的面积。 69、不等式任意性：max ,()()x D a f x a f x ∀∈>⇒>；min ,()()x D a f x a f x ∀∈≤⇒≤ 70、不等式存在性：min ,()()x D a f x a f x ∃∈>⇒>；max ,()()x D a f x a f x ∃∈≤⇒≤ 71、不等式相同性：任意x D ∈，证明：()()f x
g x >min ()()()0()0
h x f x g x h x ⇔=->⇔>
存在x D ∈，证明：()()f x g x ≤min ()()()0()0h x f x g x h x ⇔=-≤⇔≤
72、不等式相异性：任意12,x x D ∈，证明：12max min ()(),()()f x g x x D f x g x <⇔∈<
存在12,x x D ∈，证明：12max min ()(),()()f x g x x D f x g x >⇔∈>
73、函数有零点max min
()0()0f x f x ⇔≤≥且min max ()0
()0f x f x ≤⎧⇔⎨≥⎩
74、函数无零点max min ()0()0f x f x ⇔≤≥或
75、抽象函数具体化：若构造一个具体的特殊函数满足所有的已知条件，那么这个具体函数一定是符合所求问题的一个函数。
76、抽象函数对数型：若()()()f xy f x f y =+，则()log a f x x =；
77、抽象函数指数型：若()()()f x y f x f y +=，则()x
f x a =；
78、抽象函数正比型：若()()()f x y f x f y +=+，则()f x kx =；
79、抽象函数一次型：若()f x c '=，则()f x cx b =+；
80、抽象函数导数型：若()()f x f x '=，则()x
f x ke =或()0f x =;
81、指数不等式：1(0)x e x x ≥+==当且仅当时“”成立 82、对数不等式：ln 1(1)x x x ≤-==当且仅当时“”成立
83、指对综合不等式：1
ln(1)1(0)ln 1x x e x x x e x x x ⎧≥+⇒+≤≤-==⎨
≤-⎩当且仅当时“”成立 85．绝对值不等式：a b a b a b -≤±≤+；
86、函数绝对值不等式：12max min ()()()()f x f x a f x f x a -
≤⇔-≤
*87、柯西不等式：①.向量模型：a b a b ≥； ②.1212x x y y + *88、伯努利不等式：
(1)(1)1n n n x x nx x nx
+≥++≤+
1
01
n n ≥≤<
*89、洛必达法则：()()()()lim
lim x a
x a f x f x g x g x →→'='(当()0()0f x g x ∞
→∞
或时使用) 90、恒成立问题：max min (1)()();(2)()()a f x a f x a f x a f x ≥⇔≥<⇔<
91、证明()()f x g x >思路：思路1：(1)()()()()0h x f x g x h x =-⇔>（常规首选方法）
思路2：min max ()()f x g x >（思路1无法完成）
第3章 数列
92、等差数列通项公式：1(1)n a a n d kn b =+-=+(一次函数模型) 93、等差数列通项公式：211()(1)
22
n n n a a n n S na d An Bn +-=
=+=+(二次函数模型) 94、等比数列通项公式：11n n a a q -=
95、等比数列通项公式：11(1)11n n n n a a q
a q S A Aq q q
--===---
96、等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ 97、等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a = 98、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2A a b =+ 99、等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab = 100、裂项相消法1：若
111(1)
1
n n n
n -
++=，则有1111
n n
T n n =-
=++ 101、裂项相消法2：若1
111(2)22n n n n -++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有1111(1)2212
n T n n =+--++ 102、裂项相消法3：若
111111n n
n
n a a d a a ++=
-
⎛⎫
⎪⎝⎭，则有11
111
()n
n T d a a +=- 103、裂项相消法4：若1
111(21)(21)22121n n n n -+--+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有11(1)221
n T n =-+ 104、分组求和法：
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