第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质 (1)
第一课时不等关系与比较大小 (1)
第二课时等式性质与不等式性质 (8)
2.2基本不等式 (14)
第一课时基本不等式 (14)
第二课时基本不等式的应用(习题课) (22)
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 (28)
第一课时二次函数与一元二次方程、不等式 (28)
第二课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用(习题课) (35)
2.1等式性质与不等式性质
新课程标准解读核心素养梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的
逻辑推理
性质
第一课时不等关系与比较大小
(1)如图，某城市的高楼有高、有矮，有的高度相同．
(2)任意两个实数之间有三种关系：a＞b，a＝b，a＜b.
(3)同号两数的积为正值．
[问题]通过以上三例我们可以发现在客观世界中，量与量之间的关系有哪些？
知识点一不等关系与不等式
1．不等式的概念
用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示
它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于
大于或等于，至
少，不低于
小于或等于，至多，
不多于，不超过
符号
语言
＞＜≥≤
不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a＞b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
1．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为()
A．v＜60B．v＞60
C．v≤60 D．v≥36
答案：C
2．一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．
答案：10y＋x＞70
知识点二实数大小比较的基本事实
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对．
2．符号表示
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
1．在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
提示：是．
2．p⇔q的含义是什么？
提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．
1．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是________．
答案：m ≥n
2．若实数a ＞b ，则a 2－ab ________ba －b 2.(填“＞”或“＜”)
答案：＞
[例408
个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式；
(2)用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求
菜园的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x  m ．试用不等式表示其中的不等关系．
[解] (1)设该车工3天后平均每天需加工x 个零件，加工(15－3)天共加工12x
个零件，15天里共加工(3×24＋12x )个零件，则3×24＋12x >408.故不等关系表示为72＋12x >408.
(2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x  m ，而墙长为18 m ， 所以0<x ≤18，
这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2(m)． 因此菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫15－x 2， 依题意有S ≥110，即x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫15－x 2≥110， 故该题中的不等关系可用不等式表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫15－x 2≥110.
1．将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，准不等式所联系的量；
(2)用适当的不等号连接；
(3)多个不等关系用不等式组表示．
2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比
较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．
[跟踪训练]
1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳
表面温度为t  ℃，那么t 应满足的关系式是________．
解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000.
答案：4.5t <28 000
2．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的
资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．
解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，
y ≥6，x ，y ∈N *.
[例2] (2－2x 的大小；
(2)已知a >0，试比较a 与1a 的大小．
[解] (1)(x 3－1)－(2x 2－2x )
＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)
＝(x －1)(x 2－x ＋1)
＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋34. ∵x <1，∴x －1<0.又⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋34>0， ∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋34<0. 即x 3－1<2x 2－2x .
(2)∵a －1a ＝a 2－1a ＝（a －1）（a ＋1）a ， 又∵a >0，∴当a >1时，（a －1）（a ＋1）a >0，有a >1a ；
当a＝1时，（a－1）（a＋1）
a＝0，有a＝
1
a；
当0<a<1时，（a－1）（a＋1）
a<0，有a<
1
a.
综上，当a>1时，a>1
a；当a＝1时，a＝
1
a；当0<a<1时，a<
1
a.
作差法比较大小的步骤
一元秒杀汽车[注意]上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．
[跟踪训练]
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则()
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a≤b
解析：选C a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.
2．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．
解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)·(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，
∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，
∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，
即x3－2y3>xy2－2x2y.
题型三不等关系的实际应用
[例3]“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，
按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．
由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .
因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx
＝14x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；
当n ＞5时，y 1＜y 2；
当n ＜5时，y 1＞y 2.
所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
现实生活中的许多问题都能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．
[跟踪训练]
某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
今制订计划欲使总产值最高，则A 类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．
解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件．根据题