实验课程名称：_ 数据分析与建模__               
实验项目名称
实验五 动态模型的建模分析
实验成绩
实 验 者
专业班级
组    别
无
同 组 者
无
实验日期
2018年10月18日
第一部分：实验预习报告（包括实验目的、意义，实验基本原理与方法，主要仪器设备及耗材，实验方案与技术路线等）
一、实验目的、意义
本实验旨在通过资料查阅和上机实验，使学生熟悉和掌握动态模型的分析方法和理论，掌握数据分析工具Mathematica，能够绘制特殊图形，培养和提高数据分析的能力。
二、实验基本原理与方法
动态模型的分析方法，数据分析工具Mathematica的使用方法，以及帮助指南文档等。
利用Mathematica绘图。
三、实验内容及要求
1、动态模型的建模分析，写出求解过程及分析结论。
（1）求解微分方程y'-xy=3x
（2）求微分方程x2y''-2xy'+2y=3x满足条件y(1)=0，y'(1)=1的特解。
（3）求微分方程组的通解。
（4）求函数f(x)=x3-4x+3在区间[-2，2]的极值。
（5）已知一组数据(-1,2)，(0,2.5)，(1,3)，(2,4)，(3,4.5)，(4,5.5)，求已知数据的拟合函数。
（6）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅰ（指数模型）的通解与特解，并绘图。
（7）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅱ（阻滞模型，SI模型），的通解与特解，并绘图（三种形状： S形状，正态形状，钟形）。
（8）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅲ（SIS模型），的通解与特解。
（9）课程第7讲中的问题。在一片没有管理的林区，硬材树与软材树竞争可用的土地和水分。越可用的硬材树生长得越慢。软材树靠生长快、有效消耗水分和土壤养分与硬材树竞争。硬材树靠生长的高度与软材树竞争，它们遮挡了小树的阳光，也更抗疾病。这两种树能否同时在一片林区中无限期地共存，或者一种树是否会迫使另一种树灭绝？应用Mathematica求解以下方程。分析问题。
    2、写出简短程序，绘制特殊图形
（1）在Mathematica中绘制如下的星空图。
（2）在Mathematica中绘制心形图。提示：心形曲线的方程为，r=a(1－sinθ)
（3）在Mathematica中绘制三叶草或四叶草的图形。
（4）在Mathematica中绘制瓶子或罐子。
（5）在Mathematica中绘制海螺。
（6）在Mathematica中绘制魔方。
（7）在Mathematica中绘制漫画人形图。
（8）绘制其它任何，你觉得有意思的图形，现实存在的，或幻想的，或未来的图形。
四、实验方案或技术路线（只针对综合型和设计型实验）
按照实验任务要求，理论结合实际的实验方案，巩固课程内容，温故知新，查遗补漏，夯实理论基础，提升实验动手能力。
技术路线是，从整体规划，分步骤实施，实验全面总结。
第二部分：实验过程记录（可加页）（包括实验原始数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）
1、动态模型的建模分析，写出求解过程及分析结论。
（1）求解微分方程y' – xy = 3x
Mathematica 中求解微分方程通解的命令：
DSolve[微分方程或方程组, 未知函数, 自变量]
具体的运行结果如下图所示：
图1 求解微分方程y' – xy = 3x
（2）求微分方程x2y''-2xy'+2y=3x满足条件y(1)=0，y'(1)=1的特解。
Mathematica 中求解微分方程特解的命令：
DSolve[{微分方程或方程组, 初始条件}, 未知函数，自变量]
具体的运行结果如下图所示：
图2 求微分方程x2y''-2xy'+2y=3x满足条件y(1)=0，y'(1)=1的特解
（3）求微分方程组的通解。
Mathematica 中求解微分方程通解的命令：
DSolve[微分方程或方程组, 未知函数, 自变量]
具体的运行结果如下图所示：
图3 求微分方程组的通解
（4）求函数f(x) = x3 - 4x + 3在区间[-2，2]的极值。
首先绘出函数f(x) = x3 - 4x + 3的图形，如下图所示：
一元函数作图的命令：Plot[函数, 作图范围, 可选项]
图4 函数f(x) = x3 - 4x + 3的图形
通过观察可以发现，函数f(x) = x3 - 4x + 3在 x=1 附近有极小值，在 x= -1 附近有极大值。
求函数的极小值近似值的命令：
FindMinimum[函数, {自变量, 初始值}]
求函数的极大值近似值的命令：
FindMaximum [函数, {自变量, 初始值}] 或 对- f[x]求极小值。
最后得到：极小值 - 0.0792014 和极小值点1.1547；极大值 - 6.0792和极大值点 -1.1547
具体运行结果如下图所示：
图5 求函数f(x) = x3 - 4x + 3的极值点
（5）已知一组数据(-1,2)，(0,2.5)，(1,3)，(2,4)，(3,4.5)，(4,5.5)，求已知数据的拟合函数。
由一组数据求函数的近似解析式，就是数据拟合问题。
求已知数据的拟合函数的命令：
Fit[数据表, 基本函数组, 自变量或自变量组]
具体运行结果如下图所示：
图6 求函数的近似解析式
为了检验拟合的程度，可以画出数据的散点图以及拟合的函数图像进行比较。
绘制散点图的命令：ListPlot[点列, 可选项]
图7 绘制散点图
对求得的函数的近似解析式f1, f2分别单独绘图。
一元函数作图的命令：Plot[{函数1, 函数2,…},作图范围, 可选项]
得到f1, f2的图形如下图所示：
图8 函数解析式f1的图形
图9 函数解析式f2的图形
将多个函数的图像画在同一坐标系中：Show[图形变量组, 可选项]
图10 函数解析式f1的拟合情况
图11 函数解析式f2的拟合情况
从图中可见，两次的拟合程度都比较理想。
第二次比第一次的拟合程度高，但从简单实用的角度，可以选择第一个拟合函数。
如需要更精确，只要增加基本函数组的幂次即可。
基本函数组包括幂函数、正弦函数、对数函数等
（6）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅰ（指数模型）的通解与特解，并绘图。
Mathematica 中求解微分方程通解的命令：
DSolve[微分方程或方程组, 未知函数, 自变量]
Mathematica 中求解微分方程特解的命令：
DSolve[{微分方程或方程组, 初始条件}, 未知函数, 自变量]
具体运行结果如下图所示：
图12 求传染病模型中模型I的通解与特解
一元函数作图的命令：Plot[函数, 作图范围, 可选项]
不妨假设x0 = 1, k = 1, 绘出的图形如下图所示：
（其中y = e ^x用Exp[x]格式表示）
图13 传染病模型中模型I的图形
（7）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅱ（阻滞模型，SI模型），的通解与特解，并绘图（三种形状： S形状，正态形状，钟形）。
Mathematica 中求解微分方程通解的命令：
DSolve[微分方程或方程组, 未知函数, 自变量]
Mathematica 中求解微分方程特解的命令：
DSolve[{微分方程或方程组, 初始条件}, 未知函数, 自变量]
具体运行结果如下图所示：
图14 求传染病模型中模型II的通解与特解
一元函数作图的命令：Plot[函数, 作图范围, 可选项]
不妨假设n = 10000, x0 = 1, k = 1, 绘出相关图形如下图所示：
图15 传染病模型中模型II的图形：x - t
由上图可知，x – t曲线为S形。
图16 传染病模型中模型II的图形：dx/dt - t
由上图可知，dx/dt – t曲线为正态形状。
图17 传染病模型中模型II的图形：dx/dt - x
由上图可知，dx/dt – x曲线为钟形。
（8）应用Mathematica求解传染病模型，模型Ⅲ（SIS模型），的通解与特解。
Mathematica 中求解微分方程通解的命令：DSolve[微分方程或方程组, 未知函数, 自变量]
Mathematica 中求解微分方程特解的命令：
DSolve[{微分方程或方程组, 初始条件}, 未知函数, 自变量]
具体运行结果如下图所示：
图18求传染病模型中模型III的通解与特解
（9）应用Mathematica求解以下方程：
求解方程组的命令：Solve[{方程1, 方程2, …}, {未知数1, 未知数2, …}]
图19  应用Mathematica求解方程组
由方程组的解可知，这两种树不能同时在一片林区中无限期地共存。
2、写出简短程序，绘制特殊图形
（1）在Mathematica中绘制如下的星空图。
在Mathematica中输入以下代码便可得到星空图，代码及图形如下图所示：
（其中涉及到使用伪随机实数以及使用表格Table来存储等相关知识点）
图20 在Mathematica中绘制星空图
（2）在Mathematica中绘制心形图。提示：心形曲线的方程为，r = a(1－sinθ)
极坐标式函数作图的命令：PolarPlot[极坐标函数, 变量范围, 可选项]
根据题目提示的心形曲线方程，绘出的图形如下图所示：
图21 在Mathematica中绘制心形图：r = a(1－sinθ)
除此之外，我还采用了另一种心形曲线，绘出的图形如下图所示：
图22 在Mathematica中绘制其他的心形图
（3）在Mathematica中绘制三叶草或四叶草的图形。
极坐标式函数作图的命令：PolarPlot[极坐标函数, 变量范围, 可选项]
参数方程作图的命令：ParametricPlot[参数方程, 参数范围, 可选项]
本题可以使用极坐标方程和参数方程分别绘制三叶草的图像。具体代码如下：
极坐标方程绘图：PolarPlot[1 + Cos[3x] + 1.5 Sin[3x]^2, {x, 0, 2 Pi}]
参数方程绘图：ParametricPlot[{(1 + Cos[3x] + 1.5 Sin[3x]^2) Cos[x], (1 + Cos[3x] + 1.5 Sin[3 x]^2) Sin[x]}, {x, 0, 2 Pi}]
这两个代码绘出的图形是相同的。具体运行结果如下图所示：
图23 使用极坐标式函数的作图命令绘制三叶草
图24 使用参数方程的作图命令绘制三叶草
四叶草其实是异变后的三叶草，并非另一个物种。那么，只要尝试改变一个系数就可以得到四叶草的方程。
以极坐标绘图为例，具体绘图命令是：
PolarPlot[1 + Cos[4 x] + 2 Sin[4 x]^2, {x, 0, 2 Pi}]
具体运行结果如下图所示：
图25 使用极坐标式函数的作图命令绘制四叶草
（4）在Mathematica中绘制瓶子或罐子。
瓶子可以看作是一个近似的圆柱体，我画圆柱体时采用的方法是将一条线段绕z轴旋转实现。这里可以进行类比，瓶子可以看作是某一曲线绕z轴旋转得到的图形。
绘制三维旋转图要用到RevolutionPlot3D命令。
本题我采用的是将函数{1,Sin[t],t}绕z轴旋转，最后得到的图形如下图所示：
图26 在Mathematica中绘制瓶子
（5）在Mathematica中绘制海螺。
绘制三维参数图要用到ParametricPlot3D命令。
要消除网格、边界框、坐标轴，只需将Mesh, Boxed, Axes设置为False
图27 在Mathematica中绘制海螺
（6）在Mathematica中绘制魔方。
绘制三维等高线图要用到ContourPlot3D命令。
以三阶魔方为例，我先将x = -1, 0 , 1, 2; y = -1, 0, 1, 2; z = -1, 0, 1, 2 这几个平面画出，并规定x, y, z的取值范围，使其出现图中形状。然后再利用Mesh->False将网格线消除。
最后具体的运行结果如下图所示：
图28 在Mathematica中绘制魔方（以三阶魔方为例）
（7）在Mathematica中绘制漫画人形图。
此处我本来想自己设计一个卡通人物，先写一些局部（如鼻子，嘴巴等）的函数，再用Show命令整合到一起。但是由于存在一些bug，最终我改用Wolfram知识库里的卡通流行曲线。Wolfram知识库里大约有数千条卡通流行曲线，在Mathematica中输入：
EntityValue["PopularCurve","Entities"]
会显示出所有曲线的名字，如下图所示：（此处截图只截了部分）
图29 在Mathematica中调用Wolfram知识库里的卡通流行曲线
再输入：
Print[Labeled @@ EntityValue[#, {"Image", "Name"}]] & /@  EntityValue["PopularCurve", "Entities"];
便可以打印出所有曲线的信息，并按照这些曲线名字的字母表顺序依次显示。
具体运行结果如下图所示：（此处只列举了部分）
图30 在Mathematica中输出Wolfram知识库里的卡通流行曲线（举例1）
图31 在Mathematica中输出Wolfram知识库里的卡通流行曲线（举例2）
（8）绘制其它任何，你觉得有意思的图形，现实存在的，或幻想的，或未来的图形。
a. 在Mathematica中绘制出莫比乌斯环的图形：
绘制三维参数图要用到ParametricPlot3D命令。
具体运行结果如下图所示：
图32 在Mathematica中绘制莫比乌斯环
b. 在Mathematica中画出一个弹簧绕成的圈：
绘制三维参数图要用到ParametricPlot3D命令。
具体运行结果如下图所示：
图33 在Mathematica中绘制弹簧圈
c. 在Mathematica中画出一个球体浮在正方体水杯内的图形：
绘制三维图形要用到Graphics3D命令。
绘制球体用到Sphere函数，绘制立方体要用到C彩轮胎uboid函数。
不透明度通过Opacity来设置。
具体运行结果如下图所示：
图34 在Mathematica中绘制如上图形
d. 在Mathematica中画出彩轮胎的图形：
绘制三维图形要用到Graphics3D命令。
实现彩效果要用到颜函数ColorFunction。
具体运行结果如下图所示：
图35 在Mathematica中绘制彩轮胎的图形
第三部分  结果与讨论（可加页）
一、实验结果分析（包括数据处理、实验现象分析、影响因素讨论、综合分析和结论等）
（1）问题1：如何求函数f(x) = x3 - 4x + 3在区间[-2，2]的极值。
求解方法：
首先绘出函数f(x) = x3 - 4x + 3的图形，如下图所示：
一元函数作图的命令：Plot[函数, 作图范围, 可选项]
图36 函数f(x) = x3 - 4x + 3的图形
通过观察可以发现，函数f(x) = x3 - 4x + 3在 x=1 附近有极小值，在 x= -1 附近有极大值。
求函数的极小值近似值的命令：FindMinimum[函数, {自变量, 初始值}]
求函数的极大值近似值的命令：FindMaximum [函数,{自变量, 初始值}]
求函数极大值时，也可以对- f[x]求极小值。
最后得到：极小值 - 0.0792014 和极小值点1.1547；极大值 - 6.0792和极大值点 -1.1547
具体运行结果如下图所示：
图37 求函数f(x) = x3 - 4x + 3的极值点
（2）问题2：已知一组数据，如何求已知数据的拟合函数。
求解方法：
由一组数据求函数的近似解析式，就是数据拟合问题。
求已知数据的拟合函数的命令：Fit[数据表, 基本函数组, 自变量或自变量组]
以题目中的数据(-1,2)，(0,2.5)，(1,3)，(2,4)，(3,4.5)，(4,5.5)为例，具体步骤如下：
首先，在Mathematica中求出函数近似解析式，具体运行结果如下图所示：
图38 求函数的近似解析式
然后，为了检验拟合的程度，可以画出数据的散点图以及拟合的函数图像进行比较。
绘制散点图的命令：ListPlot[点列, 可选项]
图39 绘制已知数据的散点图
对求得的函数的近似解析式f1, f2分别单独绘图。
一元函数作图的命令：Plot[{函数1, 函数2,…},作图范围, 可选项]
得到f1, f2的图形如下图所示：
图40 函数解析式f1的图形
图41 函数解析式f2的图形
将多个函数的图像画在同一坐标系中：Show[图形变量组, 可选项]
图42 函数解析式f1的拟合情况
图43 函数解析式f2的拟合情况
从图中可见，两次的拟合程度都比较理想。
第二次比第一次的拟合程度高，但从简单实用的角度，可以选择第一个拟合函数。
如需要更精确，只要增加基本函数组的幂次即可。基本函数组包括幂函数、正弦函数、对数函数等。
（3）问题3：如何在Mathematica中绘制瓶子。
求解方法：
瓶子可以看作是一个近似的圆柱体，我画圆柱体时采用的方法是将一条线段绕z轴旋转来实现。这里可以进行类比，瓶子也可以看作是某一曲线绕z轴旋转得到的图形。
绘制三维旋转图要用到RevolutionPlot3D命令。
本题我采用的是将函数{1,Sin[t],t}绕z轴旋转，最后得到的图形如下图所示：
图44 在Mathematica中绘制瓶子
（4）问题4：如何在Mathematica中绘制三叶草、四叶草的图形。
求解方法：
极坐标式函数作图的命令：PolarPlot[极坐标函数, 变量范围, 可选项]
参数方程作图的命令：ParametricPlot[参数方程, 参数范围, 可选项]
本题可以使用极坐标方程和参数方程分别绘制三叶草的图像。具体代码如下：
极坐标方程绘图：PolarPlot[1 + Cos[3x] + 1.5 Sin[3x]^2, {x, 0, 2 Pi}]
参数方程绘图：ParametricPlot[{(1 + Cos[3x] + 1.5 Sin[3x]^2) Cos[x], (1 + Cos[3x] + 1.5 Sin[3 x]^2) Sin[x]}, {x, 0, 2 Pi}]
这两个代码绘出的图形是相同的。具体运行结果如下图所示：
图45 使用极坐标式函数的作图命令绘制三叶草
图46 使用参数方程的作图命令绘制三叶草
四叶草其实是异变后的三叶草，并非另一个物种。那么，只要尝试改变一个系数就可以得到四叶草的方程。
以极坐标绘图为例，具体绘图命令是：
PolarPlot[1 + Cos[4 x] + 2 Sin[4 x]^2, {x, 0, 2 Pi}]
具体运行结果如下图所示：
图47 使用极坐标式函数的作图命令绘制四叶草
（5）问题5：如何在Mathematica中绘制一些其他较难的特殊图形，如星空图、海螺等。
求解方法：
首先在网上进行检索得到类似的代码，然后对已有代码进行解读，进而自己再根据相关需要写出所求的图形代码。
以绘制海螺为例，涉及到的知识点如下：
绘制三维参数图要用到ParametricPlot3D命令。
要消除网格、边界框、坐标轴，只需将Mesh, Boxed, Axes设置为False
图48 在Mathematica中绘制海螺
二、小结、建议及体会
此次实验的内容主要是应用Mathematic求解动态模型和利用Mathematica进行绘图。应用Mathematica求解动态模型具体包括：利用 Mathematica求解微分方程，求函数的极值和进行数据拟合。利用Mathematica进行绘图指的是编写简单程序绘制特殊图形，例如：星空图、心形图、三叶草、四叶草、瓶子或罐子、海螺、魔方、漫画人物等其它图形。
在此次实验之前，我通过阅读相关资料和文档，回顾了动态模型的分析方法和理论，以及如何应用Mathematica求解动态模型的相关方法。上机实验时，我遇到不懂的问题及时查阅了相关帮助文档，或者在网上进行检索，或者在网络教学平台上与其他同学交流讨论，然后顺利完成了此次实验。
此次实验，帮助我熟悉和掌握了动态模型的分析方法和理论，以及应用数据分析工具Mathematica进行动态模型求解的方法。同时，还促使我学会了如何绘制某些特殊图形，进而提高了我的数据分析能力、检索能力和实验动手能力，也巩固了课程所学内容，夯实了理论基础，实现了理论与实践相结合。
此次实验面临的问题主要是如何绘制特殊图形。在对题目给定的图形进行了一定的分析后，我通过在网上进行检索以及查阅、揣摩老师提供的参考图片，最终在Mathematica中基本实现了题目中所要求的相应图形，完成了此次实验。
虽然我目前还只掌握了Mathematica的部分功能，甚至还有很多的功能都了解得不够深入、不够透彻，但是我相信通过不断的学习和练习，我一定能慢慢发现和学会 Mathematica的其他潜在功能。同时，我还将不断使用Mathematica解决一些现实问题，让Mathematica发挥出它的价值。
老师提供的课件和相关资料比较有用，此次实验进行得较为顺利。无进一步建议。
第四部分  评分标准（教师可自行设计）及成绩
观测点
考核目标
权重
得分
实验预习
1．预习报告
2．提问
3．对于设计型实验，着重考查设计方案的科学性、可行性和创新性
对实验目的和基本原理的认识程度，对实验方案的设计能力
20%
实验过程
1．是否按时参加实验
2．对实验过程的熟悉程度
3．对基本操作的规范程度
4．对突发事件的应急处理能力
5．实验原始记录的完整程度
6．同学之间的团结协作精神
着重考查学生的实验态度、基本操作技能；严谨的治学态度、团结协作精神
30%
结果分析
1．所分析结果是否用原始记录数据
2．计算结果是否正确
3．实验结果分析是否合理
4．对于综合实验，各项内容之间是否有分析、比较与判断等
考查学生对实验数据处理和现象分析的能力；对专业知识的综合应用能力；事实求实的精神
50%
该项实验报告最终得分
教师签名：        。