陈 鑫 刘江南 龙汪鹏 吕剑文
湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，__
柔性铰链无间隙、无摩擦的优点使其在精密工程领域获得广泛应用。由两个弹性在中点处交叉组成的双交叉柔性铰链具有较大的运动行程和较低的转动刚度，但转动精度较低。对此，学者们通过改变交叉点位置、设计变厚度等方式改进其双结构，但是均难以实现准零轴漂的高转动精度。
为进一步提高转动精度，学者们通过增加数量n(n≥3)和采用对称布局，设计分析了不同多交叉柔性铰链构型。毕树生团队率先提出了广义三交叉柔性铰链，通过加强位移约束提高了转动精度；
后续通过改变交叉点位置，总结了多交叉柔性铰链的多种拓扑构型，并通过仿真进行了综合性能对比；
根据对比结果，重点研究了三交叉形式的内外环柔性铰链的刚度特性；
汽车铰链 并进一步研究了圆周对称的多交叉柔性铰链的内部约束特性。DU等基于TRIZ创新原理，提出一种高精度的全对称多交叉柔性铰链。上述研究中柔性铰链的弹性均为直梁型结构。在多交叉柔性铰链构型中，直梁存在刚度和应力较大、转角范围较小等不足。
相比直梁，曲梁具有低刚度、低应力的优点，可实现较大挠度。有学者将样条曲梁[10-11]、圆弧曲梁-直梁组合的折叠和双曲梁应用于环形柔性铰链构型[14-15]，以降低转动刚度和增大转角范围。多交叉柔性铰链构型相比环形柔性铰链构型具有更大转角范围，但是应用曲梁结构的设计研究鲜有报道，尚缺乏对应的大变形力学分析模型。
本文以圆弧曲梁为变形单元，在分析多交叉柔性铰链对称拓扑构型的基础上，提出一种在纯转矩作用下具有零轴漂特性的多交叉曲梁柔性铰链，实现转动刚度和变形应力的优化。为精确分析其性能，基于梁约束模型(beam constraint model，BCM)建立圆弧曲梁变形模型，并推导圆弧曲梁变形应力方程。应用链式梁约束模型(chained beam constraint model，CBCM)进行多交叉曲梁柔性铰链的大变形力学分析建模，通过实验和有限元仿真验证理论模型的准确性；
进一步分析不同设计变量对柔性铰链转动刚度和变形应力的影响，探究不同刚度特性的参数设计方案。
圆弧曲梁具有恒定曲率和较大的偏转范围，有利于设计多交叉柔性铰链。首先定义圆弧曲梁的相关设计变量，实现其参数化设计。进而根据尺寸建立载荷-位移关系和推导变形应力方程，完成圆弧曲梁的变形建模，为后续柔性铰链的设计分析奠定基础。
1.1 设计变量定义
在多交叉柔性铰链内部，圆弧曲梁的尺寸由其连接的静刚体和动刚体决定，如图1所示。在固定端点o处建立变形单元(element)坐标系oxeye，xe轴指向柔性铰链中心O。动刚体上自由端点A的位置决定的初始形状，用OA与xe轴的夹角表示，定义为位形角αλ。
图1 圆弧曲梁结构示意图
定义半径系数λ以表征动、静刚体的相对大小，进而由静刚体直径D确定动刚体半径Rλ：
Rλ=0.5Dλ/(1-λ)λ∈(0,1)
(1)
弦长(chord length)Lc由αλ、Rλ、D确定：
(2)
当OA长度为(Rλ+0.5D)时，处于最大拉伸状态。引入长度系数ξ(ξ1)计算弧长(arc length)La和曲率半径(radius of curvature)Rc：
(3)
给定圆心角φ，由弧长La最大值确定长度系数ξ上限，得到ξ的取值范围：
(4)
进一步根据弦长Lc与弧长La的几何关系，得到位形角αλ的取值范围：
(5)
设OA在固定端切线方向的投影长度为L(下文简记为投影长度)，其表达式为
L=Lccos(0.5φ)
(6)
直梁的圆心角为0°，即L=Lc。为避免L≤0，设置φ∈[0°,90°)。设计为恒等截面，宽度为W，厚度为T。
1.2 载荷-位移关系的建立
为描述的受载变形，在坐标系oxeye上建立变形坐标系oxy，x轴沿固定端切线方向，x轴与xe轴的夹角为α，如图2所示。
图2 圆弧曲梁变形
在变形坐标系oxy内，定义平面载荷-弯矩M、切向力F、法向力P和平面位移-转角θ、切向位移Δx、法向位移Δy。使用投影长度L将所有平面载荷、位移变量进行量纲一化处理：
(7)
式中，E为材料弹性模量；
I为截面惯性矩。
根据梁约束模型，将位移作为自变量，得到自由端的量纲一载荷-位移关系：
(8)
kT=12L2/T2kp=12+p(0.2-p/700)
式中，κ为量纲一曲率，κ=L/Rc=sinφ。
式(8)适用于小曲率条件(|κ|≤0.1)和中等变形条件(平面位移小于梁长的10%，|p|≤5.0)。
1.3 变形应力方程推导
在变形坐标系oxy内，圆弧曲梁上任意点的量纲一纵坐标和切向位移分别为y(x)、δy(x)。小曲率条件下，δy(x)关于量纲一法向力p的方程为
(9)
式中，c1、c2、c3、c4为待定系数，|κ|≤0.1，x∈[0,1]。
基于Euler-Bernoulli梁假设，得到具有大长厚比(L/T≥10)的圆弧曲梁的支配方程:
(10)
y(x)=δy(x)+0.5κx2
两端(x=0,1)的变形边界条件为
(11)
联立式(9)～式(11)并对式(9)求导，得
(12)
圆弧曲梁具有大长厚比，可视为Euler-Bernoulli梁而忽略剪应力，故上任意一点的应力可近似为弯曲应力σb和轴向应力σt的叠加：
(13)
通过求解上述公式，得到的变形应力分布，并确定最大变形应力值及其位置。
通过在动、静刚体之间对称配置n个相同圆弧曲梁，设计多交叉曲梁柔性铰链，其平面对称轴根据数量的奇偶设置于1方向上或1与n中间方向上，如图3a所示。
设对称轴一侧相邻的交叉半角为β，改变交叉半角和数量，对应得到不同的平面对称构型。为构建通用力学模型用于柔性铰链的设计分析，首先建立其变形方程(载荷平衡方程和变形协调方程)，进而分析零轴漂转动载荷条件以确定构型参数，并进行大变形问题求解建模。
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