本文介绍了平面向量奔驰定理与三角形四心的应用。定理表明，已知O是三角形ABC内的一点，且三个小三角形的面积分别为SA、SB、SC，则SA•OA+SB•OB+SC•OC=0.证明过程中，延长OA与BC相交于点D，利用三角形面积的性质得到DC=SC。进而推导出O是三角形ABC内的一点，且x•OA+y•OB+z•OC=0，则SΔ
根据正常的排版格式，应该将每个公式单独一行，同时需要加上适当的标点符号和文字说明。同时，需要删除明显有问题的段落，将每段话进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一。根据奔驰定理，对于三角形ABC，设P是其内部一点，那么有以下公式：$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}= \tan A:\tan B$，$S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan B:\tan C$，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan C$，因此，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan B:\tan C$。
例1：设P是三角形ABC内一点，且AP=$\frac{1}{3}$AB，BP=$\frac{1}{4}$BC，CP=$\frac{1上海通用五菱宝骏
}{5}$CA，求$\triangle ABP$的面积。根据奔驰定理，我们可以得到$S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{4}$，因此，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。
杭州公安交通信息网例2：若三角形ABC接于以O为圆心，1为半径的圆，且$3OA+4OB+5OC=AB+AC$，则该三角形的面积为多少？根据欧拉定理，我们可以得到$OA^2+OB^2+OC^2=R^2+OG^2$，其中R为三角形外接圆半径，OG为三角形重心到圆心的距离。因此，$3OA+4OB+5OC=3\sqrt{R^2-OG^2}+4\sqrt{R^2-OG^2}+5\sqrt{R^2-OG^2}=AB+AC$，解得$OG=\frac{1}{3}\sqrt{R^2-\frac{1}{9}(AB^2+AC^2+BC^2)}$，再根据海伦公式求出三角形ABC的面积。
例3：设P为三角形ABC内部一点，且满足PB=2PA，$\angle APB=\frac{5\pi}{6}$，且$2PA+3PB+4PC=\frac{94}{5}\pi$，求$\triangle ABC$的面积。根据奔驰定理，我们可以得到$S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}=\frac{BP}{BC}=\frac{2}{3}$，因此，$S_{\triangle ABP}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABC}$。同理，$S_{\triangle BCP}:S_{\triangle ABC}=\frac{CP}{CA}=\frac{4}{5}$，因此，$S_{\triangle BCP}=\frac{4}{5}S_{\triangle ABC
}$。又因为$\angle APB=\frac{5\pi}{6}$，所以$\triangle ABP$是等边三角形，从而可以求出$\triangle ABP$的面积。最后，根据$2PA+3PB+4PC=\frac{94}{5}\pi$，可以求出$S_{\triangle ABC}$的面积。
已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP=OA+\lambda\frac{AB\cdot AC}{AB\cdot\cos\angle BAC+AC\cdot\cos\angle CBA}$$
cross coupe>2021款特斯拉价格表威海二手车交易市场其中$\lambda\in(0,\infty)$，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）。
改写：已知平面上有点O，且△ABC中A，B，C不共线。动点P满足上述条件，则P的轨迹必定经过△ABC的（）。
若H为△ABC所在平面内一点，且$HA+BC=HB+CA=HC+AB$，则点H是△ABC的（）。
法拉利enzo价格改写：在△ABC所在平面内，若点H满足上述条件，则H是△ABC的（）。
已知P为△ABC所在平面上的一点，且$AB=c$，$AC=b$，$BC=a$。若$aPA+bPB+cPC=$，则P是△ABC的（）。
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