清华大学学报(自然科学版)
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1997年第37卷
J o urnal of T sing hua U niv ersity (Sci&Tech)第12期第95～98页
宋 健, 陈在峰
清华大学汽车工程系，北京100084
收稿日期:1997-09-02
第一作者：男,1957年生，副教授
*国家“九五”攻关项目,96-A05-02-02
文 摘 提出了一种以制动器耗散功率最大为目标的汽车防抱死制动系统(A BS)的控制方法。首先对这种方法的控制效果进行了分析。分析结果表明：与经典的滑移率控制相比，利用制动器耗散功率最大作为A BS 的控制目标可以使
车辆具有更好的制动稳定性和较高的制动效能，而且这种方法能够自动根据路况对A BS 进行自适应的调节。然后利用极大值原理导出了控制律。数值仿真计算的结果证明了控制原理的有效性。
关键词 防抱死制动系统；最优化控制；制动器耗散功率;
制动
分类号 U 270.35
由于汽车制动过程具有变化快，非线性明显，轮胎-路面相互作用关系复杂的特点，使得防抱死制动系统(ABS )的控制问题成为突出的难点。
目前，在实用的ABS 系统中普遍采用基于经验的逻辑门限控制方法，即根据车轮角加速度与估计的车轮滑移率来调节车轮制动力矩，达到防止车轮抱死的目的。由于缺乏足够的理论指导，逻辑门限方法在选择门限值，车速估计以及路面识别上存在困难，因此需要针对不同车型进行大量的参数匹配试验，不仅耗资巨大，而且延长了产品开发周期。
另一方面，一些学者依据古典的或者是现代的控制理论，提出了一些新颖的控制方法，例如PID +自适应控制，滑移模态控制等，但要求计算量过大，需要测量系统状态量甚至其高阶导数，故而在ABS 的实时控制中无法应用。
本文依据汽车制动过程的物理实质，导出了一种以制动器耗散功率最大为目标的ABS 控制方法。方法本身具有明显的物理意义，预计具有良好的应用前景。
1 原理的提出
汽车减速制动的过程，实质上是将汽车的平动动能转化为其它形式能量的耗散过程。在强烈制动时，一般安装摩擦式制动器汽车的平动动能将主要通过两处摩擦力作功的方式转化为热能耗散掉，其一是通过路面与轮胎之间摩擦力作功的方式，其二则是通过制动器摩擦力作功的方式。为了提高汽车的制动稳定性，需要尽量减小轮胎的纵向滑移率，即控制路面与轮胎之间的摩擦力作功功率在适当的范围内；而为了提高汽车的制动效能，则应设法使上述二者的摩擦功率之和为最大。据此推理，如果取制动器的摩擦
力功率(或称耗散功率)最大为ABS 的控制目标，则有可能兼顾制动稳定性和制动效能。为了验证这种推理的合理性，首先采用单轮制动模型进行讨论。
建立单轮制动模型如图1所示，设其为二自由度，即质心沿x 方向的平动以及车轮绕对称轴Oy 的转动，运动微分方程如下
I d k
d t
=m gR _-p (1)m d v d t
=-m g _(2)
其中:I 为车轮绕旋转轴Oy 的转动惯量;m 为汽车模型质量;g 为重力加速度;R 为车轮半径;_为地面与轮胎之间的纵向附着系数;p 为制动力矩;k 为车轮绕旋转轴Oy 的转速;v 为车轮质心沿x 方向的速度。
图1 单轮制动模型
考虑几种典型路面[1]
，
分别为干沥青路面，潮湿泥土路面，疏松积雪路面和结冰路面。轮胎在对应路面上的纵向附着系数与滑移率的关系见图2。设车速v 相同，均为20m /s，车轮的滑移率为S ，则对应的地面制动力矩为mg R _。此时，制动器制动力矩p
=mg _R +I k
，若忽略车轮惯性力矩，则制动器制动耗散功率P w =pV (1-S )/R 。取m =342,I = 1.0,R =0.33,g =9.8，由上述公式计算得制动器耗散
功率与滑移率的相互关系见图3。由图3可以看出如下特点:
1)当滑移率为0或1时，制动器耗散功率均为最小值0;
2)无论在何种路面上，耗散功率最大值对应的滑移率S w 均比峰值附着系数_c 对应的滑移率S c 小，由于侧向附着系数一般都是滑移率的减函数，所以S w 处的制动稳定性应较S c 处为高;
3)除了松软积雪路面(S c =1)以外,S w 与S c
相近，即S w 自适应地与S c 趋同。因此采用制动器耗散功率作为ABS 的控制信号，可以自动地根据路况进行自适应的调节;
4)制动器耗散功率在滑移率S >S w 时随滑移率的变化比纵向附着系数在S >S c 时随滑移率的变化更明显，因此根据S w 进行ABS 控制，特征更加显著
。
图2
滑移率与纵向附着系数的关系
图3 滑移率与制动器耗散功率的关系
将对应上述四种典型路面的S w ,S c 及对应的
纵向附着系数_w ,_c 列于表1。由表中数据可以看到在大多数路面条件下，制动器耗散功率最大值对应
的附着系数_w 与峰值附着系数_c 很接近，峰值附着系数利用率均大于90%，符合国家标准对装备ABS 的车辆峰值附着系数利用率不小于75%的要求。因此，根据制动器耗散功率最大进行控制可以满足对ABS 制动效能的要求。
表1 四种典型路面上(当S =S w 时)纵向附着系数利用率路面S c _c S w _
w
(_w /_c )/%干沥青0.170.95990.110.941198.04潮湿泥土0.360.45650.210.424993.09疏松积雪 1.000.27000.180.203975.51结冰
0.10
0.1028
0.08
0.1022
99.43
2 控制律的推导及数值计算
选取轮胎与路面的纵向附着力模型为_=A (1-e
-CS
)-B S =|F x /F z |(3)
S =1-k R /v 为滑移率(只考虑制动工况),A ,B ,C 是与轮胎-路面间相互作用特性有关的参数。对应峰值附着系数_c 的滑移率S c =ln(A C /B )/C 。这种轮胎力模型的优点是形式简洁，高阶可微，适于仿真计算[2]
。
取制动力矩的变化率u 为控制量。于是，制动器的模型简化为一阶积分器，即制动力矩p 的变化率为
d p /d t =u (4)
u ∈[u D ,max ,u I ,max ](u D ,max <0<u I ,max )
其中:u D ,max 为制动力矩下降的最大速率,u I ,max 为制动力矩上升的最大速率。由制动力矩特性可知p
≥0。
取目标函数为制动器的平均耗散功率为
J (t 0,t 0+T )
T =1T
∫
t 0+T t
(p k )d t
这里选用平均功率而非瞬时功率主要是为了数学上
处理方便，在实际应用中也有抑制干扰的效果。因为T 固定，可把J (t 0,t 0+T )作为目标函数。欲确定u (t 0,t 0+T )∈[u D ,max ,u I ,max ]，使目标函数J (t 0,t 0+T )取极大值，这是一个最优控制问题，可以利用极
大值原理求解。取系统的状态变量为[k V p ]T
，满足
微分方程式(1)～(3)。定义协态变量[λ1λ2λ3]T
。设Hamilton 函数为
H =p k -λ1(m gR _-p )/I +
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λ2(g_)-λ3u(5)协态变量满足下列微分方程组[3]
dλ1
d t
= -L H
L k=-p+λ1m gR
L_
L k【/I-λ2g
L_
L k(6)
dλ2 d t =-
L H
L v=
λ1m gR
L_
L v
【/I-λ2g
L_
L v(7)
dλ3 d t =-L H
L p=-λ1/I-k(8)
由于目标函数不含末端状态项，故可知终点时刻的协态变量
[λ1(t0,t0+T)λ2(t0,t0+T)λ3(t0,t0+T)]T=
[000]T(9)由极大值原理，应取u使H最大，则在λ3不恒等于0的区间上有
u=u I,max,
0,
u D,
max
λ3<0
λ3=0
λ3>0
(10)
利用极大值原理方法，前述之最优控制问题已经转化为微分方程的两点边值问题。由问题的物理背景可知，解是唯一存在的。采用组合变尺度方法[3]，通过迭代搜索最优控制。计算中积分采用四阶龙格-库塔方法中数值稳定性较好的Gill公式[4,5]。
首先对初始制动工况进行了计算，系统状态变量初值取为v(0)=20,k(0)=60.606,p(0)=100，制动模型的参数同上，与控制变量有关的参数取为u I,max=5000,u D,max=-6000。取T=0.8，计算结果见图4。由图4可以看到：制动力矩从100上升至1000附近稳定下来，滑移率则从0上升至0.16稳定下来。虽然对应轮胎路面间的最大纵向附着系数_c(=0.892)的滑移率S c=0.265，但S=0.16对应的附着系数为0.835，与_c比较，相差并不多，而横向稳定性将明显高于峰值附着系数点(横向附着系数随滑移率上升而下降)，所以控制效果良好。在终端时刻附近，制动力矩p上升，滑移率也随之升高。导致这种现象的原因在于汽车
系统具有惯性，车轮转速的变化相对制动力矩的变化有滞后。故而制动力矩在末端时刻附近的过度增长将会增大目标函数。控制算法的这点缺陷可以采用截尾的方法予以处理，即在t0+d t(<t0+T)时刻重新利用当前的系统状态计算出下一段时间区间[t0+d t,t0+d t+T]上的最优控制u，如此继续，即可解决这个问题。
上面对最优控制的计算表明，对于初始滑移率
汽车制动器很小的情况，控制算法可以正确调节制动力矩，将车轮的滑移率保持在适当的范围内。由于外界的干扰，有可能使车轮的滑移率超过S c，因此有必要检验在这种情况下控制算法的性能。改取系统状态变量的初值为v(0)=17.63,k(0)=30,p(0)=1000，并取T=0.4，其余不变，计算结果见图5。在初始时刻，车轮的滑移率为0.43，超过了S c，于是制动力矩下降，使滑移率也随之下降；之后，滑移率下降至小于S c，制动力矩又回升至1000附近，使制动力矩与附着条件相适应以充分利用路面附着系数，滑移率稳定于0.15～0.18之间。在终端时刻附近，由于前述之原因，也出现了滑移率上升的现象。显然，这同样也可以采用截尾的方法加以处理。
图4 初始滑移率偏小的工况的仿真计算
图5 初始滑移率偏大的工况的仿真计算
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宋 健，等: 制动器耗散功率最大为目标的ABS控制方法
3 结 论
根据汽车制动的物理实质，提出了一种依据汽车制动器耗散功率来控制ABS的方法。根据以上的分析和数值计算结果，可以得出以下几点结论:
1)采用制动器耗散功率最大作为ABS控制的目标，可以获得比滑移率控制更好的制动稳定性和较高的制动效能。
2)制动器耗散功率极大值点对应的滑移率与峰值附着系数对应的滑移率相近，因此采用制动器耗散功率最大作为目标可以自动地根据路况对ABS进行自适应的调节。
3)以制动器平均耗散功率为目标函数，依据最优控制理论导出的控制律可以正确地控制制动力矩，使滑移率保持在理想范围内。
4)可以采用截尾的方法来改进控制，避免末端时刻滑移率的过分增长。
参 考 文 献
1O ppenh eimer P.Co mpa ring sto pping ca pability o f car s with and witho ut a ntilock braking sy stem
(A BS).SA E,T rans880324,1988,97,Sec.4:
4313～4334
2韩宗奇.用于汽车转弯制动极限工况模拟计算的轮胎力模型.清华大学研究生学报,1987,4:46～57
3叶庆凯，王肇明.优化与最优控制中的计算方法.北京：科学出版社,1986
4聂铁军.数值计算方法.西安：西北工业大学出版社,1990
5陈在峰.汽车防抱死制动系统(A BS)控制方法的研究:[硕士学位论文].北京：清华大学汽车工程系,
1997
Control algorithm of ABS based on maximum of the brake
decay power
Song Jian,Chen Zaifeng
Depa r tment o f Automo tiv e Eng ineering,
T sing hua U nive rsity,Beijing100084,China
Abstract This paper pr esents a new algo rithm o n the co ntro l of anti-lock braking system(ABS),which uses the ma ximum of the deca y pow er of bra ke as the object of co ntro l.An a naly sis o n the algo rithm sho ws that th e v ehicle under the contr ol of the new a lg o rithm can achie
v e bet ter sta bility and high er braking efficiency co mpa red w ith the tradi tional contr ol alg o rithm based on the slip ra tio. M or eov er,the algo rithm is able to realize adaptiv e-co nt rol to A BS acco rding to the va ria tio n o f road co nditio ns.At the end of the ar ticle,a contr ol code is deriv ed with the ma ximum principle.The results o f numerica l simula tio ns pr ov e that it really do es a go od jo b.
Key words anti-lo ck braking system;optimum co ntro l;
deca y pow er o f brake;brake
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