子午线轮胎有限元分析
洪宗跃，吴桂忠
(北京橡胶工业研究设计院，北京　100039)
中图分类号:U463.341+.6;O241.82  文献标识码:E  文章编号:100628171(2006)0120055207
  帘线2橡胶复合材料是一种较为特殊的复合材料，在橡胶制品中有着广泛的应用，尤其是在轮胎中起着重要的作用。橡胶起密封气体、提供轮胎与地面抓着力的作用，帘线则承担大部分负荷。二者结合构成性能优异的帘线2橡胶复合材料。子午线轮胎的材料主要有两种：一种是纯胶料材料，包括胎面胶、胎肩垫胶、胎侧胶、胎圈护胶、三角胶和气密层胶等；第二种是帘线2橡胶复合材料，包括胎体、带束层、胎圈加强层和钢丝圈等。
本讲将从帘线2橡胶复合材料的组分———橡胶和帘线出发，用弹性力学的观点和方法，研究帘线2橡胶复合材料的力学性能，表述帘线2橡胶复合材料的工程常数，最后推导出材料常数的计算公式。
1　橡胶的力学性能
111　橡胶的应力2应变关系
纯橡胶是无法使用的，为了获得良好的力学性能，需要在纯胶中加入各种填充材料，并配以适当的硫化体系进行硫化。硫化胶的力学性能是时间和温度的函数，其静态模量2时间形变曲线呈现出明显的3种形态：玻璃态、高弹态和粘流态。在此所讨论的橡胶力学性能均为硫化胶在高弹态下所表现出来的力学性能。
橡胶材料是一种大变形、不可压缩超弹性的材料，橡胶力学中通常选择100%～500%变形范围内的定伸模量或定伸应力等指标作为研究对象。但在实际应用中，轮胎橡胶的变形受帘线的约束，其应变小于10%，因此在帘线2橡胶复合材料结构分析中使用的是橡胶的初始模量(变形小于10%)。
在此前提下，弹性模量与应变近似呈线性关系，不考虑橡胶在加工时的定向及部分结晶，橡胶的各向异性将消失。因此，根据弹性理论，可对橡胶做如下假设：连续性、小应变、线弹性、均匀性、各向同性和无初应力。将橡胶简化为线弹性的各向同性材料可以满足求解的需要。
112　橡胶的弹性常数
橡胶材料是一种双模量材料，具有不可压缩性，假设在小应变范围内是线弹性。由于炭黑以及各种配合剂在橡胶中可以充分混合，橡胶可以视为均质的；不考虑胶料在加工时(压延、挤出)的定向及部分结晶，
其各向异性消失；橡胶的粘弹性暂不考虑，这样可将硫化胶看作是线弹性、均质、各向同性的不可压缩的工程材料。
橡胶弹性具有低模量、大变形、外力去掉后迅速恢复但恢复不完全的特点。由热力学第一定律和第二定律可知，橡胶的弹性来自熵的变化，在小变形时，橡胶体积的稍微膨胀虽然引起内能变化，但数值很小，接近理想状态，而熵的变化非常大，因此橡胶的弹性是熵弹性。
1940年,Moo ney通过大量试验研究得到橡胶弹性力学的表达式。Mooney得到的半经验公式解决了非线性弹性理论中最难的问题之一，给出了弹性势函数的具体形式，同时试验证实了橡胶是不可压缩的材料。正是在这个基础上，从1948年起,Rivlin用半逆法获得了一系列简单而重要问题(圆柱体扭转、立方体弯曲等)的精确解,
用这些结果预测橡胶制品的性能，精度可达百分
之几。
对于线弹性、均质、各向同性的不可压缩材料，其弹性性质可以用两个独立的弹性常数：杨氏模量(E r )和泊松比(μr )来表征。在小变形、小应变的条件下,E r 可由应力2应变曲线的线性部分得到，即直线的斜率。
对于橡胶类不可压缩材料，通常认为其泊松比为0.5，为了避免计算刚度矩阵出现的奇异性，一般采用0.49。因此，对不可压缩的各向同性材料来说，只有一个独立的弹性常数E r 。
剪切弹性模量(G )可根据弹性理论得到
G =
E r
2(1+μr )
  也可以引入橡胶体积弹性模量(K r )来表示
橡胶的弹性:
E r =2G (1+μr )=3K r (1-2μr )
  当μr =0.5时,E r =3G,K r →∞。弹性模量可由试验测得。影响弹性模量的因素很多，其中试验温度、形变速率和硫化胶组分是主要因素。
橡胶具有双模量特性，在应变相同的条件下，拉伸过程与压缩过程具有不同的模量，一般来说，拉伸弹性模量小于压缩弹性模量。113　Mooney 和Ogden 模型
橡胶是一种非线性、不可压缩或近似不可压缩的超弹性材料，承载时可产生很大的变形。对于超弹性材料，本构关系通常是以应变不变量或基本伸长率表示的应变能密度得到。常用的这种函数有Mooney 模型和Ogden 模型等。
Mooney 模型:
W =
∑∞
m =0∑
∞
n =0
C mn (I 1-3)m (I 2-3)
n
式中,C mn 为常数，且C 00=0,I 1和I 2为Cauchy 2
Green 变形张量C ij 的第1和第2不变量。
Ogden 模型:
W =∑n μn α
n (λ1αn +λ2αn +λ3α
n -3)
式中,λ1,λ2和λ3为3个基本伸长率。
第二类Piola 2K irchhoff 应力张量S ij 为
S ij =5W 5E ij =2
5W
5C ij
  刚度张量D ij kl 推导公式为
D ij kl =
52W E ij E kl =
452W
C ij C kl
  常用的Mooney 模型有下述几种。
Neo 2Hookean 模型:
W =C 10(I 1-1)
  Moo ney 2Rivlin 模型:
W =C 10(I 1-1)+C 01(I 2-1)
  Y oeh 模型:
W =C 10(I 1-3)+C 20(I 1-3)
2
+C 30(I 1-3)
3
  Moo ney 模型的三次式:
　W =C 10(I 1-3)+C 01(I 2-3)+C 11(I 1-3)(I 2-3)+C 20(I 1-3)2+C 02(I 2-3)2
2　帘线的力学性能211　帘线的应力2应变关系
帘线是由单丝按一定工艺要求捻制而成，是承受载荷的主体。为了提高帘线的性能，制造帘线时必须加捻，这相当于给帘线施加一个初始应力。如果将帘线看作圆柱体，则帘线之间有空隙，也就是说材料分布不均匀。高分子材料帘线(锦纶、聚酯、芳纶)具有粘弹性。纤维类帘线具有明显的应力2应变曲线非线
性性质。帘线的应力2应变性能与橡胶不同，而与金属材料的应力2应变性能相似。纤维帘线的应力2应变性能对湿度、帘线结构、捻度和拉伸速率很敏感，这对试验技术提出了严格的要求。帘线的应力2应变曲线总体上呈非线性，但如果只考虑帘线在小应变时的情况，可以简化非线性特点，近似认为是线弹性关系。
只考虑帘线在小应变时的情况，钢丝帘线在被破断前可以简化非线性特点，其应力2应变基本上呈线性关系。212　帘线的弹性常数
轮胎中的帘线可认为是具有5个独立弹性常数的横观各向同性材料，即在垂直于帘线方向的平面内呈各向同性，但实际上只有单丝才能满足
这种假设。轮胎用钢丝帘线通常是加捻的，在单丝和股之间有空隙，因此不能像橡胶那样认为是匀质的各向同性材料。
在实际计算中，只需要帘线的纵向弹性模量、
泊松比和剪切模量，而忽略横向弹性模量和泊松比，因为帘线2橡胶复合材料体系的多数性能受这两个因素的影响较小。另外，帘线的粘弹性、股数和捻度等因素对帘线的弹性常数都有显著影响。如纤维加捻成帘线时，在某些场合，帘线的拉伸弹性模量会降低1/3，而典型胎体帘线的拉伸弹性模量会降低1/2。
帘线拉伸弹性模量(E c)与捻度(T n)之间的关系为
E c=
E f
1+4π2R2T2n
式中,E f为单丝弹性模量,R为帘线当量半径。
压缩条件下帘线泊松比(μc)与捻度的关系为
μ
c=
1
4π2R2T2n
  拉伸条件下帘线泊松比与捻度的关系式比较复杂，这里不便给出。
轮胎使用加捻帘线是因为帘线加捻后可以提高轮胎使用状态下的疲劳寿命，而且也有利于帘线与橡胶的粘合。
3　帘线2橡胶复合材料的力学性能
311　帘线2橡胶复合材料的简化模型
轮胎用帘线2橡胶复合材料的性能不同于刚性复合材料，其特点如下:①帘线是由许多细丝和纱线合股加捻组成的，而不是直棒;②帘线在复合材料中的体积分数很小，但其对轮胎力学性能的影响却很大;③帘线的模量大大高于橡胶的模量，两者间的刚度比相差约3～4个数量级;④帘线直径存在着较大的尺寸不均匀性。
为了便于分析研究，建立适合的帘线2橡胶复合材料的简化模型是必要的。目前，帘线2橡胶复合材料的细观力学理论是在刚性复合材料细观力学理论基础上发展起来的，其目的是希望用组分材料(帘线和橡胶)
的弹性模量来预测复合材料的弹性模量、刚度或柔度。Walter和Patel综述和发展了这一领域的理论研究，提出了单层板的偏轴力学性能和层合板力学性能的近似计算公式。由于帘线2橡胶复合材料的组分材料具有大刚度比特性，加上橡胶的不可压缩性假设，使其力学性能的近似计算公式得以大大简化，为实际应用提供了方便。
建立帘线2橡胶复合材料简化模型的前提是做如下基本假设：单层板是宏观均匀、线弹性、宏观正交各向异性、无初应力；帘线是均匀、线弹性、各向异性、规则排列、完全成一条线；橡胶是均匀、线弹性、各向同性。此外，还要假设帘线与橡胶的粘合是完好的。
事实上，忽略其粘弹性，帘线2橡胶复合材料可认为是两种线性材料的组合，其中橡胶是均匀、各向同性的材料；帘线是横观各向同性的圆柱体材料。因此，帘线2橡胶复合材料可认为是线弹性、相均匀、正交各向异性的材料。简化后的帘线2橡胶复合材料简单层板如图1所示，用“1”标记单层板的纵向(帘线方向),“2”标记单层板的横向(垂直于帘线方向),“3”标记垂直于层板方向，从而构成材料主轴坐标系。用5个弹性常数才能确定单层帘线2橡胶复合体系的力学性能，这5个弹性常数是纵向杨氏模量(E1)、横向杨氏模量(E2)、面内剪切模量(G12)、主泊松比(μ12)和次泊松比(μ21)，其中只有4个常数是独立的。如同任何一种各向同性材料一样，这5个常数与整个帘布层的厚度尺寸有关。可以设想，这种复合材料的弹性常数主要取决于帘线和橡胶的力学性能以及各自所占的体积分数。这些弹性常数可以通过试验直接测得(压延帘布层)，也可以根据帘线和橡胶各自的力学性能通过一系列理论公式计算得到
。
图1　单层帘线增强橡胶复合材料主轴坐标系
关于帘线2橡胶复合材料的细观力学理论，比较为大家所公认的主要有以下5个公式。
(1)Hermans公式
Hermans采用弹性力学求解独立模型精确
解的方法对复合材料的细观力学性能进行了研
究，采用独立圆柱模型得到弹性力学的精确解。
E 1=E c <c
E 2=
2E r (1+<c )
(1-<c )(1+μr )[1+(1-2μr )(1+<r )]
μ12=μr (1-<c )+μc <c
μ21=E 2
E 1
μ12
G 12=
G r (1+<c )
1-<c
式中,<c 和<r 分别为帘线和橡胶的体积分数,E c
和μc 为帘线的纵向弹性常数,E r ,μr 和G r 为橡胶的各向同性常数。帘线体积分数按下式计算:
<c =
πN d 2
4h
<r =1-<c
N =
N 0R 0R j
式中　N ———帘线密度;
d ———帘线直径;h ———单层板厚度;N 0———初始帘线密度;R 0———轮辋半径;R j ———节点半径。
Hermans 的工作引入了一些新的常数，并得到了一组公式，只是这些公式比较复杂，使用起来不是很方便。
(2)G o ugh 2Tangorra 公式
G ough 和Tangorra 以帘线2橡胶复合材料为研究对象，取一长方形试样并做如下假设:
①试样的长边保持线性和平行，从局部看是无限大的区域;
②橡胶和帘线是均匀的，因此整体应变与局部应变是一致的;
③帘线方向的应力对应于帘线弹性模量，但是帘线与部分橡胶一样承担剪切和横向应力;
④虽然考虑了帘线和橡胶在两个主方向截面的面积，帘线的有限厚度并不影响应力计算。
考虑帘线与橡胶的相互作用并利用材料力学的方法推导出压延帘布弹性常数的近似表达式:
E 1=E r (1-<c )+E c <c E 2=E r (1-<c )1-μ2轮胎钢丝
r
=43E r (1-<c )μ12=μr =0.5
μ21=2E r (1-<c )E r (1-<c )+3E c <c
=E 2
E 1μ12
G 12=G r (1-<c )
  (3)Halpin 2Tsai 公式
为了建立比采用简单单向复合物原理更精确的弹性常数的表达式，需要使用比材料力学更为先进的概念(如弹性理论)。Halpin 2Tsai 公式是半经验性公式，但是建立在较复杂的微观力学分析基础上。如果用这些方程式预测的单丝、单层复合物的力学性能的数值与实测值相当符合，则可以将试验所测的弹性常数代入方程式中，以预测叠层的性能。Halpin 2Tsai 公式实质上是证明了Hermans 解可以进行简化，并提出了其简化解。此公式可以应用于任何几何形状的纤维。
E 1=E r (1-<c )+E c <c
E 2=
E r (1-2<c )1-<c
μ12=μc <c +μr (1-<c )
μ21=E 2
E 1
μ12
G 12=
G c +G r +(G c -G r )<c
G c +G r -(G c -G r )<c
G r
  (4)赤坂2平野公式
赤坂隆和平野正在1972年提出了一套非常简单的计算公式，假设帘线和橡胶在横断面上均以矩形截面相互间隔。
E 1=E c <c E 2=E r (1-<c )(1-μ2
r )
=4E r
3(1-<c )μ12=μr =0.5
μ21=0G 12=G r <r =1-μr
2E 2=
E 24
  (5)Tabaddor 公式
Tabaddor 对帘线2橡胶复合材料力学性能的有关概念及边界效应对其力学性能的影响进行了详细的研究和分析，并对平板模型中代表体积单元的一维、二维和三维近似情况进行计算，推导出一系列近似公式:
E 1=E r (1-<c )+E c <c ≈E c <c
E 2=
E c E r E c <r +E r <c
≈
E r
1-<c
μ12=μc <c +μr (1-<c )
μ21=E 2
E 1
μ12
G 12=
G c G r
G c <r +G r <c
312　帘线2橡胶复合材料的弹性常数
轮胎中的帘线2橡胶复合材料实质上是由作
为增强相的帘线在基体相橡胶中排列组成的刚柔相辅的复合材料，呈现明显的各向异性。子午线轮胎胎体帘线径向分布，带束层帘线斜向排列，通常将这种材料看作正交各向异性材料和各向异性材料。轮胎中的帘线2橡胶复合材料其纤维(单丝)方向与主轴方向不一致，即是所谓的偏轴性能，如图2所示
。
图2　偏轴坐标与主轴的关系
对于纤维(单丝)方向与主轴方向一致的正交各向异性单层板，虎克定律为
ε1ε2
γ12
=S 11S 120S 12S 2200
S 66
σ1σ2τ12
式中　σ1,σ2———分别为1和2轴的轴向应力;τ12———1和2轴平面内的剪切应力;ε1,ε2———分别为1和2轴的轴向应变;γ12———1和2轴平面内的剪切应变;S ———柔量。
柔量与工程常数的关系为
S 11=1/E 1S 12=μ12/E 1
S 22=1/E 2S 66=1/G 12
  对于偏轴性能，虎克定律为
εx εy γxy
=
S 11 S 12 S 16 S 12 S 22 S 26 S 16
S 26
S 66
σx σy τxy
式中偏轴转换柔量矩阵 S ij 为 S 11=S 11co s 4θ+(2S 12+S 66)sin 2θcos 2θ+S 22sin 4θ
S 12=S 11(sin 4θ+cos 4θ
)+(S 12+S 22-S 66)sin 2
θcos 2θ S 22=S 11sin 4θ+(2S 12+S 66)sin 2θcos 2θ+S 22cos 4θ
S 16=(2S 11-2S 12-S 66)sin θcos 3θ-(2S 22-2S 12-S 66)sin 3θco s
θ S 26=(2S 11-2S 12-S 66)sin 3θco s
θ-(2S 22-2S 12-S 66)sin θcos 3θ
S 66=2(2S 11+2S 22-4S 12-S 66)sin 2θco s 2θ+
S 66(sin 4θ+cos 4
θ)偏轴复合材料工程常数的表达式如下:E x =1/ S 11E y =1/ S 22G xy =1/ S 66μxy =-E y  S 12
  将 S ij 和偏轴复合材料工程常数的表达式代入G ough 2Tangorra 公式，可以得到偏轴性能的G ough 2Tangorra 公式:
E x =
G r (1-<c )[E c <c +3G r (1-<c )]
E c <c sin 2θcos 2θ+14
E c <c sin 4
θ+G r (1-<c )
G xy =G r (1-<c )[E c <c +3G r (1-<c )]
3E c <c (1-3sin 2θcos 2
θ)+G r (1-<c )
μxy =3E c <c sin 2
θco s 2θ+2G r (1-<c )
4E c <c sin 2θcos 2θ+E c <c sin 4
θ+4G r (1-<c )  通常将单层帘线2橡胶复合材料模拟为横观各向同性材料，采用Halpin 2Tsai 公式确定材料主轴坐标系中的弹性常数。
如图1所示，取1方向为单层板的横向,3方向为单层板的纵向,122平面为横观各向同性平面，于是Halpin 2Tsai 公式变为
E 3=E r (1-<c )+E c <c
E 1=
E r (1-2<c )1-<c
μ31=μc <c +μr (1-<c )
μ13=E 3
E 1
μ31
G 31=
G c +G r +(G c -G r )<c
G c +G r -(G c -G r )<c
G r