赵立杰1，李凯1，常莹莹1，李景奎2
（1.沈阳航空航天大学通用航空重点实验室，辽宁沈阳110136；2.沈阳航空航天大学民用航空学院，辽宁沈阳110136）
来稿日期：2020-01-02
基金项目：辽宁省科学技术基金
（201602578）作者简介：赵立杰，（1964-），男，辽宁阜新人，博士研究生，副教授，主要研究方向：智能材料与智能结构
1引言
柔性机构的应用研究已成为结构优化设计的热点[1]。与传统
机翼相比，柔性机翼能够实现前后缘结构的连续形状变化[2]。这种机翼可随飞行条件的改变自动改变机翼的形状，进而提高飞机飞行性能[3]。柔性机构前后缘可变化机翼的设计思想最初由文献[4]提出。文献
[5]用基础结构法对机翼后缘柔性机构进行了拓扑优化设计。文献[6]采用SIMP 刚度-密度插值法获得了清晰的机翼前缘拓扑结构。文献[7]利用载荷路径法对柔性机翼前后缘进行拓扑优化
设计。文献[8]采用SIMP 插值和遗传算法相结合的方法，得到了稳定的拓扑结构。
目前对于机翼前后缘柔性机构的拓扑优化研究多以单相各向同性材料为主。相比于单相材料，纤维增强复合材料因其材料性能优越，广泛应用于航空航天、汽车等诸多行业[9]。而复合材料的铺层铺角方式直接决定着材料的力学性能，对复合材料铺层铺角的优化设计成为学者关注和研究的重点。文献[10]对在轴向压力和剪力下四边简支层合板的最优纤维铺设方向进行了优化设计。
摘要：以NACA2418标准翼型前缘为研究对象，提出一种基于离散材料优化（DMO ）法的复合材料机翼前缘柔性机构
拓扑优化设计方法。将离散材料优化（DMO ）法与拓扑优化相结合，设计一种机翼前缘柔性机构来实现自适应连续变形，选定机翼前缘上10个离散点的实际位移与目标位移的偏差为目标函数，采用统一拓扑和多相材料优化的材料插值方案建立数学模型，最后用OC 优化准则求解。利用MATLAB 编程获得机翼前缘的拓扑结构，使用CATIA 对拓扑结构进行三维建模，最后将得到的三维几何模型导入Hyperworks 软件进行仿真分析。结果表明，机构可实现机翼前缘0°到9.3°的连续偏转，验证了该方法的可行性。
关键词：复合材料；柔性机翼；离散材料优化；统一拓扑和多相材料优化；拓扑优化中图分类号：TH16；V224
文献标识码：A
文章编号：1001-3997（2020）09-0075-05
Topology Optimization for Compliant Mechanism of Composite Wing Leading Edge
ZHAO Li-jie 1，LI Kai 1，CHANG Ying-ying 1，LI Jing-kui 2
（1.Key Laboratory of General Aviation ，Shenyang Aerospace University ，Liaoning Shenyang 110136，China ；
2.Civil Aviation Institute ，Shenyang Aerospace University ，Liaoning Shenyang 110136，China ）
粤遭泽贼则葬糟贼：Taking the leading edge of NACA2418airfoil as a research object ，a new topology optimization design method for composite wing leading edge compliant mechanism based on Discrete Material Optimization （DMO ）method is proposed ，The Discrete Material Optimization （DMO ）method and topology optimization are going to be integrated to design an airfoil leading edg
e compliant mechanism to achieve adaptive continuous deformation.The deviation between the actual displacement and the target displacement of the 10points selected on the leading edge of the wing is taken as the objective function.A topology optimization model of the compliant structure of composite materials is established by the Material Interpolation Scheme for Unified Topology and Multi-material optimization ，and solved by the OC optimization criteria method .The structural diagram of the compliant mechanism of the leading edge of the wing was obtained by the developed MATLAB code ，and then was modeled by the three -dimensional modeling software CATIA .Finally ，the obtained three -dimensional geometric model was imported into the Hyperworks software for simulation analysis.The results show that this mechanism can achieve continuous deflection of the leading edge of the wing from 0°to 9.3毅，which verifies the feasibility of the method.
Key Words ：Composite Materials ；Compliant Wing ；Discrete Material Optimization ；Material Interpolation Scheme for Unified Topology and Multi-Material Optimization ；Topology Optimization
Machinery Design &Manufacture
机械设计与制造
第9期
2020年9月
75
文献[11]最早采用遗传算法优化设计常刚度层合板铺层。文献[12]将神经网络与遗传算法相结合应用于复合材料铺层铺角的优化。文献[13-14]基于多相材料拓扑优化原理提出一种复合材料铺层铺角优化方法—离散材料优化（DMO）法。文献[15-16]将DMO法的材料插值格式与SIMP和RAMP相结合，提出了统一拓扑和多相材料优化的材料插值方案。
根据复合材料离散材料优化（DMO）法的原理，以0°、30°、45°三种常用纤维铺角的碳纤维复合材料与空体材料一起作为四相材料，采用统一拓扑和多相材料优化的材料插值方案建立复合材料柔性机构拓扑优化模型[16-17]，对机翼前缘柔性机构进行拓扑优化设计。
2复合材料机翼前缘柔性机构拓扑优化2.1离散材料优化（DMO）法原理
离散材料优化（DMO）法是对文献[17]三相材料（两相实体材料，一相空体材料）拓扑优化思想的扩展，由三相拓展到任意相，将复合材料铺层铺角优化设计问题转化为离散材料优化问题，是一种广义上的多相材料插值模型。DMO法对复合材料纤维铺角的优化时，以常用的纤维铺角如15°，30°等作为备选纤维铺角，一种角度的复合材料作为一相材料。单元材料要在备选的不同纤维铺角的复合材料之间进行
选择。将DMO法与拓扑优化相结合优化设计机翼前缘柔性机构，单元材料在不同纤维铺角的复合材料和空体材料之间选择。文献[15]拓展了经典拓扑优化材料惩罚模型，提出统一拓扑和多相材料优化惩罚模型，其公式可表示为：
D e β=m
α∑（xα，β）p Dα，β0≤xα，β≤1（1）
式中：D eβ—第β个单元的弹性本构矩阵；
D
α，β
—第β个单元第α种备选材料的弹性本构矩阵；
m—备选材料（备选铺角和空体材料）的种类数；
x
α，β
—第β个单元第α种备选材料的人工密度；
p—惩罚指数。
2.2复合材料强度理论
2.2.1复合材料基础理论
复合材料单层的纤维铺角有无穷多种，每一种角度对应一种新的材料，应力状态也是无数种，因此各种不同应力状态下复合材料的强度不可能靠实验来确定，需通过建立一定的强度理论，将复合材料的应力和基本强度联系起来。复合材料独立的工程弹性常数有4个：E L，E T，v LT，G LT。E L为沿纤维方向弹性模量，v LT 为垂直纤维方向弹性模量，G LT为泊松比，为面内剪切模量。复合材料单层在材料主方向坐标系下的强度共有5个：X t，X c，Y t，Y c，s。X t—纵向拉伸强度；X c—纵向压缩强度；Y t—横向拉伸强度；Y c—横向压缩强度；s—面内剪切强度。这5个基本强度是相互独立的。单层的4个工程弹性常数和5个基本强度是复合材料的基本力学性能。
2.2.2应力的坐标转换
在复合材料单层中取一单元体，其材料主方向坐标系和参考坐标系的夹角为θ，如图1所示。Oxy坐标系为参考坐标系（偏轴坐标系），OLT坐标系为材料主方向坐标系（正轴坐标系）。x轴和L轴之间的θ角
以x轴逆时针转到L轴为正。则应力转化表达式可表示为：
σ
L
=m2σ
x
+n2σ
y+2mnτxy
σ
T
=n2σ
x
+m2σ
y-2mnτxy
τ
LT=-mnσx+mnσy+（m2-n2）τxy
⎧
⎩
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⎨⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐
（2）其中，m=cosθ，n=sinθ。
O
T
y
L
x
σTσyσ
L
σx
θ
τxy
图1材料正轴坐标系与偏轴坐标系
Fig.1Material Positive Axis Coordinate System and
Off-Axis Coordinate System
2.2.3蔡—吴（Tsai-Wu）张量失效判据
目前对于复合材料强度失效的判据有多种，由于复合材料失效的复杂性，没有一个失效判据应用于所有复合材料，采用的是应用最广泛的蔡—吴[18]张量多项式失效判据，也称应力空间失效判据。其公式可表示为：
F11σ2
L+F22σ2T+F66τ2LT+2F12σLσT+F1σL+F2σT=1（3）式中：σL，σT，τLT—应力张量；F11，F22，F66，F12，F1，F2—与单层基本强度有关的6个强度参数。其中：
F11=1X t X c，F22=1Y t Y c，F1=1X t1X c
F2=1Y t-1Y c，F66=1S2，F12=-12F11F22
√
⎧
⎩
⏐⏐
⏐⏐
⏐⎨
⏐⏐
⏐⏐
⏐
（4）
如果等式（3）左侧各项之和等于或者大于1，材料失效。2.3建立拓扑优化数学模型
选定机翼前缘上10个离散点的实际位移与目标位移的偏差为目标函数，以各备选材料体积分数作为约束，建立数学模型。表达式为：
find：x=｛xα，β｝（α=1，2，…，m；β=1，2，…，N）min：f（x）=n i∑ωi（u x，i-u′x，i）2+（u y，i-u′y，i）2
√
<
KU=F
KU~=L
N
β=1
∑xα，βvα≤V*α
0<xα，β≤1
⎧
⎩
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐⎨
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐
（5）目标函数敏度为：
əf（x）
əx
α，β
=n i∑ωi（u x，i-u′x，i）2+（u y，i-u′y，i）2
[]-1/2*
（u x，i-u′x，i）
əu
x，i
əρ
α，β
+（u y，i-u′y，i）2əy y，rəρ
α，β
[]
⎧
⎩
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⎨⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐
⎫
⎭
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
⎬⏐
⏐⏐
⏐⏐
⏐
（6）
第9期
赵立杰等：复合材料机翼前缘柔性机构拓扑优化设计76
式中：n —选定的位移输出点个数；u x ，i ，u ′
x ，i ，u y ，i ，u ′
y ，i —第i 个输出
点x ，y 方向的实际位移和目标位移；ωi —第i 个输出点的加权因子，其取值范围为0≤ωi ≤1，且各权因子之和为1，即
n
∑ωi
=1；
x —设计变量矢量；x α，β
—单元β中材料相α的密
度；N —离散单元总数；K —总体刚度矩阵；F —输入载荷；
L —伴随载荷；U —位移矢量；U ~—伴随位移矢量；V *α
—材料
相α的目标体积。在设计域的任意单元中，备选相材料的密度和体积之和为1。不同于式（1），这里0<x α，β≤1，x α，β不能
等于0，避免刚度矩阵奇异。根据有限元原理，单元的刚度矩阵公式为：
k e =
Ω∫B T
DB d Ωe
（7）
式中：B —应变-位移矩阵；D —弹性本构矩阵，由式（1）得到。因
此，式（7）可以表示为：k e =
Ω∫
B
T
m α
∑（x
α，β
）p
D α，β
()
B d Ωe
（8）
结构的总体刚度矩阵可表示为：K =N
β∑
Ω∫
B
T
m α
∑（x
α，β
）
p
D α，β
()
B d Ωe （9）
结构中某有限元单元节点的位移u e 表达式为[19]：
u e =N β∑u ~T βk e u β
（10）
位移敏度表达式为：
əu e əx α，β
=-u ~T β
ək e əx α，βu e （11）
由式（5）~式（11），可得到基于离散材料优化（DMO ）法的复合材料机翼前缘柔性机构模型的目标函数表达式及其敏度表达式。
2.4设计变量更新
采用OC 优化准则法求解拓扑优化问题，OC 优化准则法的变量更新方案为[20]：
x new
α，β=
max （x min ，ρα，β-m β）if x α，βB ηβ≤max （x min ，ρα，β-m β）
x a B
ηβif max （x min ，x α，β-m β）<x α，βB η
β≤min （1，x α，β+m β）min （1，x α，β+m β）
if min （1，x α，β+m β）≤x α，βB η
β
⎧⎩
⏐
⏐⏐⏐
⏐
⏐
⏐
⏐⏐⏐⏐
⏐⎨⏐⏐⏐
⏐
⏐⏐⏐
⏐
⏐⏐⏐⏐
（12）
其中：B β=-
əf （x ）/əx α，
β
λə
N i =1
∑x α，βv β
()/əx
α，β
（13）
式中：m β—移动极限常数，取值0.2；η—阻尼因子，取值0.4；λ—
拉格朗日算子，取值二分法中的中间值。
2.5数值不稳定现象的处理
拓扑优化过程中易出现棋盘格，网格依赖性等数值不稳定的现象，采用文献[21]中的过滤方法处理，敏度过滤表达式：
əf （x ）əx α，β
沈阳汽车=1（γ，x α，β）
d ∈N ∑H d d ∈N ∑H d x
a ，d
əf （x ）
əx α，β
（14）
式中：N e —与单元e 的中心距Δ（e ，d ）小于过滤半径r min 的所有单
元数。γ取10-3，H d —权重系数，表达式为：
H d =max （0，r min -Δ（e ，d ））
（15）
3拓扑优化的实现
采用MATLAB 编写程序实现该机翼前缘柔性机构的拓扑
优化设计，实现过程的具体流程图，如图2所示。
图2拓扑优化流程
Fig.2The Process of Topology Optimization
4算例分析
4.1柔性机翼前缘结构拓扑优化设计
以NACA2418标准翼型前缘为研究的对象，翼型弦长d =1000mm ，取机翼前缘截面长250mm ，宽200mm 的区域为初始设计区域，如图3所示。灰区域为设计域，白区域为非设计域。
A ，
B 两端施加约束，中间位置施加驱动力150N 。
250mm
B
A
驱动力
非设计区域
设计区域
图3初始设计区域
Fig.3Initial Design Area
机翼前缘初始线上10个离散点的初始坐标值与偏转10°后的坐标值及加权因子ωi ，如表1所示。采用碳纤维增强复合材料，材料性能及强度，如表2所示。选择0°、30°、45°三种常用角度复合材料与空体材料作为备选材料，根据相关复合材料力学知识，可以求得这三种纤维角度复合材料的弹性本构矩阵分别为：D 0°、
D 30°、D 45°，另取空体材料弹性本构矩阵D k ，共四相材料。根据式（1）建立拓扑优化插值模型。体积约束分别为v 1=0.12，v 2=0.12，v 3=0.1，
v 4=0.66，惩罚因子p =3，移动极限常数m β=0.1，驱动力F =150N 。
机械设计与制造
No.9
Sept.2020
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机械设计与制造
No.9 Sept.2020
表1输出点坐标，目标位移及权因子值Tab.1Output Point Coordinates，Target Displacement and Weight Factor
输出点
坐标目标位移
权因子X/mm Y/mmΔX/mmΔY/mm
122014-14.4780 6.51600.04 217021-12.502815.09200.05 311035-9.160225.29820.11 46054-5.01333.69200.14 51090 1.909741.82750.2 61514611.558040.10850.18 76517115.139931.04630.12 811518116.116522.21200.07 917518716.246811.70200.05 1022518915.8345 2.98910.04
表2复合材料的基本力学性能
Tab.2Basic Mechanical Properties of Composites 材料强度/MPa材料性能/GPa
X t1400E L140
X e1100E T8.6
Y t150v LT0.35
Y c180G LT5
s160
4.2优化结果及仿真分析
运行MATLAB程序，迭代获得机翼前缘拓扑优化的结构，如图4所示。深区域复合材料纤维铺角为0°，浅区域复合材料纤维铺角为30°，中间区域复合材料纤维铺角为45°
。
图4拓扑优化结果
Fig.4Results of Optimization by MATLAB
根据图4的结构图，用CATIA软件对拓扑优化结构进行建模，如图5所示
。
图5CATIA建模
Fig.5Geometric Reconstruction by CATIA
将建好三维模型导入hyperworks软件进行仿真分析，结果如图6~图9所示
。
图6结构位移图
Fig.6Displacement Distributions
图7X方向拉应力云图
Fig.7Stress Distributions of X-Direction
图8Y方向拉应力云图
Fig.8Stress Distributions of Y-Direction
图9XY方向剪力云图
Fig.9Stress Distributions of XY-Direction
由仿真结果可知，机翼前缘拓扑优化结构可以实现连续变形，最大偏转角度为9.3度。机翼前缘结构不同铺角复合材料的偏轴应力及根据式（2）和式（3）计算得正轴应力结果和蔡-吴系数，如表3所示。
表3仿真结果
Tab.3The Results of Simulation
纤维
铺角
偏轴应力/MPa正轴应力/MPa蔡-吴
系数σxσyτxyσLσTτLT
0°258.5153.559.37258.5153.559.370.9336 30°201.1102.459.37211.1292.38-49.30.4491 45°57.5417.21 6.6744.0537.01-20.10.095
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Sept.2020
由表3可知，三种纤维铺层角度复合材料的蔡-吴系数均小
于1，满足强度要求。
5结论
通过对复合材料机翼前缘形状连续变化理论及其柔性机构
拓扑优化设计方法的研究，主要取得了以下主要结论：
（1）提出一种基于DMO 法的复合材料机翼前缘柔性机构拓扑优化方法，将DMO 法与拓扑优化相结合，以统一拓扑和多相材料优化的材料插值方案建立复合材料柔性机构拓扑优化模型，得到清晰稳定的结构。
（2）通过数值计算及对结果的仿真分析，实现机翼前缘柔性机构（0~9.3）°的连续，验证了该方法的可行性。
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