概念的内涵和外延
概念作为一种思维的现象，它一开始就和语言中的词汇联系在一起的。现在不依附于语言的赤裸裸的概念在各类科学中几乎是不存在的。但概念又不等同于语言，语言在不同的组合中所表达的概念就大相径庭。
例如，"白"，可以表示"雪"的颜，在"明白"和"真相大白"中就表示"清楚"；在"白吃"、"白看"中就表示"无代价的"；在"白区"、"白军"中就表示"反动的"；在"写白字"和"念白字"中就表示"错误的"；在"一穷二白"中表示"没有文化"等。
语言是有歧义的，一个词汇的多种含义从另一个角度也表明我们用语言表达概念也有可能是不精确的。这种不精确是严格的抽象思维要尽力克服的。为克服不精确性，抽象思维创造了几个功不可没的概念：
第一个是概念的内涵和外延。概念的内涵就是概念对事物的特有属性的反映。概念的外延就是具体的、具有概念所反映的特有属性的那些事物。比如"商品"这个概念的内涵是为了交换而生产的劳动产品，这个概念的外延是市场上的汽车、房子、食品、电视......等等。要明确概念就要明确它的内涵和外延，也就是要明确这个概念反映的是事物的哪些特有属性和它指的是哪些事物。没有外延的概念就是虚假概念，如"鬼"、"神"、"上帝"等等。
第二个概念是"定义"。概念要明确就是要明确概念的内涵和外延，怎样才能使概念的内涵和外延明确呢？定义是明确概念的内涵的方法。我们日常生活和工作中的许多概念都是模模糊糊和似是而非的，严格的抽象思维要求你首先要审查这些概念有没有准确的定义，如果一个人概念模糊或者概念的运用前后不一致，你是和他谈不清任何问题的。数不清的思维错误其实在这个阶段就已经产生了。
任何定义都是由"什么什么"，"是"、"什么什么"这样三部分组成（参见《形式逻辑原理》，人民出版社，1982年版）。做定义一般有四个简单规则：
一是"是"的前后两部分的外延必须完全一样。
例如定义哺乳动物，说哺乳动物是有肺的脊椎动物，两部分的外延就不一样，后面还包括了小鸟等非哺乳动物。
二是不能循环定义。
如生物学是研究生物的科学，就不对。"是"的后面部分包括了前面的部分，你本来是想用后面来明确前面，如果后面包含了前面，定义仍是不明确的。你必须用一些众所周知的不需要再定义的概念去说明你要定义的概念。有些定义你一眼就能看出它犯的这种错误，如上面的生物学的例子；有些定义则要绕一圈你才能看出它是在犯同样的错误，如：人是有理性的动
物，猛一看这个定义好象也没什么毛病，但仔细一琢磨就有疑问，什么是有理性的动物呢？理性是人区别于动物的高级神经活动，把后一句话带到前一句中就成了：人是有人的......活动的动物，"是"的后面的部分还是间接地包含了"是"的前面的部分。人是有理性的动物，这句话不错，但它不能作为人的定义。
三是"是"的后面不能包含含混不清的概念，也不能用比喻。
做老年人的定义时，就不能说老年人是夕阳。我有一次和一位据说是《第五项修炼》译者的真传弟子，讨论什么是学习型组织，他说学习型组织可不是说组织里的人都好学了组织就成了学习型组织，我就问那么什么才是学习型组织呢？他就跟我急了，说你不修炼怎么会知道什么是学习型组织呢？后来我翻阅了《第五项修炼》，通篇还真不到学习型组织的确切定义，我也就不怪他了；看来学习型组织要定义为须经过修炼才能得来的东西。这就是一个典型的模糊概念、模糊定义。常有些人以社会科学本来就不精确为借口，凭空创造许多不着边际的模糊概念，又要你下功夫去修炼，千万不要听这套。
四是"是"的后面不能是"是"的前后的并列概念、反概念，这项规则实际上是规则三的一种特例。因为这样的话"是"的后面就是一个含混不清的概念。这项规则也可以说是规则二的一种特例，因为你要接着问"是"的后面又是什么，他只能又拿"是"的前面来解释"是"的后面。
例如，不能将偶数定义为非奇数，也不能将奇数定义为非偶数。不能将好人定义为非坏人，也不能将坏人定义为非好人。不能将无机物定义为非有机物，但可以将无机物定义为不含碳的化合物，因为碳和无机物不是同一个层次的并列概念。
第三个概念是划分。"分析"的最初字面意义就是划分、分开、分解。现在有些人常将"分析"鬼怪汽车理解为整个抽象思维过程，为避免混乱，我们就用划分来代表"分析"的原始意义。我们前面说过，概念就是人们用思维将一个一个完整的事物分开、剖开，再将多个具有相同性的"某部分"进行归纳而形成的，或者是将分开的部分用概念（已形成的）代替后再"综合"成完整事物而形成的。显然，概念的正确与否、准确与否和这种"划分"是密切相关的。怎样划分，按什么标准划分才能更有利于形成正确的概念呢？（分析或划分是为了归纳和综合）
首先是你将对哪些完整事物进行划分呢？是一像牛一样的动物？还是一像人一样的动物？确定了这个问题，实际上就确定了我们已经定义过的概念的外延。一个概念的形成总是先从概念的外延的确定开始的，只不过多数情况下人们并没有意识到这一点而已。有些情况下形象思维和记忆默默地替我们做了这些工作。定义是为了确定概念的内涵，划分（分析）事物是为了确定概念的外延。划分可以是对一个具体事物的划分或分解，也可以是对一些已形成的概念的划分或分解，前者是为了归纳，后者是为了演绎。
为了做到划分得正确和准确，有四个规则不可忽视。
规则1，每次划分后的各个部分应当互不相容，互不交叉，不能出现有些事物既属于这个部分又属于另一个部分。
例如，划分或分析一头牛，头、腰、腿等就是互不相容和互不交叉的。如果你按以下的方法进行划分就不对了：你把头和腰看做一个部分，起个名字比如叫"跑"，你又把腰和腿看做一个部分，起个名字比如叫"走"，这样的划分就为以后的归纳、综合、演绎带来了障碍，使抽象思维无法进行下去。"跑"和"走"综合起来后就形成了两个腰的某种动物，这种划分方法只能用于神话或鬼怪传说的思维中。再如对某个已形成的概念的划分：你把小学生和中学生划成了一个部分，起个名字比如叫"红学生"，你又把中学生和大学生划为为另一部分，起个名字比如叫"蓝学生"，把硕士研究生和博士研究生合在一起叫"黄学生"，把除此以外的其它学生叫"绿学生"，把他们综合在一起就不是我们已确定的"学生"的概念，因为"红学生"和"蓝学生"交叉了。
规则2，划分后的各个部分的总和和应当等于被划分的事物或概念的全部外延。如果你违反了规则1，你就根本无法无法满足规则2的要求。但是你仅仅满足了规则1还不够，你还要满足不能多划，也不能少划的要求。
例如上面说的牛，你要是把骑在牛身上的猴子划进去，你就是多划了，各个部分的外延之和就会大于牛的外延；如果你把牛腿忘了算进去，你就是少划了，各个部分的外延之和就会小于牛的外延。再如上面的对概念学生的划分，你把幼儿园小朋友也算进去就不是我们通常理解的学生的概念，你把中专生遗漏了，你也得不到我们通常理解的学生概念。
规则3，每一次划分标准应该统一和一贯。对已形成的概念进行划分尤其要注意这条规则。当你对人进行划分时，当你是按年龄标准进行划分时，在划分完之前不要再把标准换成性别等等，你只能等按年龄划分完之后，再对划分的各部分再按性别进行划分。抽象思维还不能接受对一个概念同时按两个以上的标准进行划分（我们以后讲科学具象思维方法时还会提到这个问题）。
规则4，对已形成的概念的划分。要始终准确化这个概念的内涵，不能对内涵模糊不清的概念进行划分，并且在划分的过程中内涵不能变。
例如你的学生概念是由法律规定的入学、学习和毕业条件的内涵时，你可以进行小学生、中学生、大学生等的划分。但是划分时你的学生概念不清楚你就无法划分，幼儿园算不算呢？你确定不了。另外，在划分的过程中，你的被划分的概念不能变，例如，如果又变成学习知识的人都是学生，你以前的划分就无效了。
第四个概念是集合。外延的全部整体叫做一个集合，组成一个集合的那些具体事物叫做该集合的元素。集合中的元素的个数，有些集合只有有限个，有些集合则有无穷个。集合是又一种描述概念外延的方式，前面的一些关于概念的外延的一些规则和规定，同样适用于关于集合及其元素的规定，尽管描述的语言有所区别。一个集合中的元素必须是互不相同的事物，同一个事物不能算做一个集合的不同元素。我们引入集合和集合的元素的概念，是因为它能更简洁地描述和比较各个不同概念的外延，而不用罗嗦地说一大堆。如果一个元素a 是一个特定集合A的元素，我们就说a属于A，记做a∈A；如果a不属于A，记做a∈/A。对于有限个元素的集合来说，我们可以把全部元素在{}里一一列出来。并用逗号一一分开。如果这有限个元素列出来也较长，你可以在倒数第二个元素的位置用"..."代替你想省略的一些元素。例如集合{a1,a2,...,an}，如果是无穷个元素组成的集合可表示为{a1,a2,......}。
一个集合可以是另一个集合的元素。
例如，学生的集合可以是以班为元素来组成的，而一个班又可以以这个班的全体学生为元素来组成。
只有一个元素的集合不能简单地认为这个集合就等同于这个元素。
例如，某中学的校长这个集合只有李先生一个元素，某中学的校长这个概念不等于李先生这
个概念，但某中学的校长这个概念的外延等于李先生，也就是某中学的校长这个集合等于李先生，因为我们把集合定义为概念的全部外延。一个事物可以是多个不同概念的外延。但这个事物不完全等同于任何一个概念。