高双;朱翔;谌宗琦;李天匀
【摘 要】Combining the Euler beam under axial pressures with a positive stiffness spring,a quasi-zero-stiffness vibration isolation system was obtained,which had high static stiffness and low dynamic stiffness characteristics.The requirements of the quasi-zero-stiffness system were achieved through the static characteristic analyses.The harmonic balance method was used to solve the dynamic differential equations.The steady state and amplitude frequency response of the system were also ana-lysed.The influences of parameters such as damping and exciting forces on the force transmissibility of the system were discussed.At last,the j umping frequencies of the system were analysed.The re-sults show that the increase of the exciting force and the initial offset make the effects of vibration iso-lation of system worse,therefore the amplitude of the exciting force should be controlled,and the o-verload should be avoided.To choose the proper damping ratio,the vibration isolation effect at high frequencies and the effective isolation frequency range sho
uld be considered comprehensively.%将两端受轴向压力的欧拉梁和线性弹簧并联，组成一个具备高静刚度和低动刚度的准零刚度隔振器。通过对隔振系统进行静力分析，给出系统具备准零刚度特性所需的条件。利用谐波平衡法求解系统的振动微分方程，分析系统的幅频特性，给出了系统的力传递率，讨论了阻尼、激励力等参数对系统传递率的影响。最后分析了该隔振系统的跳跃频率。研究结果表明：激励力以及初始偏移量的增大会使系统的隔振效果变差，因此要控制激励力的大小并尽量避免超载；阻尼比的选取需要综合考虑高频的隔振效果和有效隔振频率范围。
【期刊名称】《中国机械工程》
【年(卷),期】2016(027)021
【总页数】8页(P2869-2876)
【关键词】欧拉梁;准零刚度系统;谐波平衡法;力传递率;跳跃频率
【作 者】长张高速高双;朱翔;谌宗琦;李天匀
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【作者单位】华中科技大学，武汉，430074;华中科技大学，武汉，430074;华中科技大学，武汉，430074;华中科技大学，武汉，430074
【正文语种】中 文
【中图分类】O328
近年来，工程领域对于低频隔振的要求越来越高，而线性隔振器的有效隔振频率的下限为固有频率的倍，这就要求隔振器有着较低的固有频率。质量一定时，承载弹簧的刚度越小越好，但小刚度意味着较大的静态变形，会带来承载等其他问题，因而一般的线性隔振系统很难满足低频隔振的需求。因此，理想的隔振器是有着较高的静刚度和较低的动刚度[1]。准零刚度系统是一种较为理想的隔振器，其将正负刚度机构并联是实现准零刚度特性的一种重要的手段。国内外的研究人员对于通过正负刚度并联这一途径对准零刚度系统作了大量的研究。Zhou等[2]研究了一种由凸轮-滚子-弹簧组成的准零刚度隔振系统的幅频特性以及传递率特性，并用数值方法和相应的试验验证了理论分析。Xu等[3]设计出一种具有准零刚度特性的磁性低频隔振器。Le等[4]研究了一种由2根连杆和弹簧并联组成的准零刚度系统(系统的2根连杆一端与座椅相连，另一端与水平槽中的滑块铰接)，可用于汽车座椅
的隔振并有较好的隔振性能。文献[5-6]研究了类似连杆-弹簧并联形成的准零刚度系统。徐道临等[7]基于跳跃频率区间内准零刚度隔振系统的隔振效果具有不确定性的问题，提出了一种阻尼扰动控制方法。Lan等[8]设计了一种具有较宽负载范围的准零刚度隔振器，采用特殊的平面弹簧来代替线圈弹簧以实现紧凑空间的隔振，并验证了隔振系统的传递率。文献[9-12]将2根水平放置的欧拉屈曲梁(作为负刚度机构)与竖直放置的线性弹簧并联得到准零刚度隔振系统，通过隔振系统回复力的泰勒展开，将系统的非线性振动微分方程转化为Duffing方程来研究。
本文以两端受压的欧拉梁为负刚度机构，将它和线性弹簧并联，在一定条件下组成一个准零刚度隔振系统，对该系统进行了静力和动力特性分析，评价其隔振性能并分析系统参数对于隔振性能的影响。
准零刚度隔振系统由两端受压的欧拉梁和线性弹簧并联构成，两端受轴向压力的欧拉梁模型如图1所示，假设压杆长为l，弹性模量为E，惯性矩为I，垂向力为Fs，轴向压力为F。则该欧拉梁的弯曲微分方程为
求解式(1)并结合边界条件0，可以得到梁中点的挠度表达式：
F→π2EI/l2时，梁中点挠度趋于无穷大，无法描述欧拉梁的后屈曲行为，因此将上述系统等效为由2根刚性杆和中间的扭转弹簧组成、具有几何非线性特点的系统[13]，如图2所示。
对于梁的小变形，根据能量等效原则可以求得扭转弹簧的刚度ke=3EI/l。当梁的中点挠度为d时，系统的总位能为
由位能驻值原理可知∂V(d)/∂d=0，从而得到垂向力Fs的表达式，量纲一化后可以得到：
求导得到欧拉梁的垂向量纲一刚度：
汽车实拍根据式(4)作出不同量纲一轴向压力时的-(中点位移-刚度)曲线，如图3所示。
由图3分析可知，量纲一轴向力在不同的取值范围内，梁的刚度特性不一。时，欧拉梁表现为完全的正刚度特性；时，欧拉梁表现为部分的正刚度特性和部分的负刚度特性；时，欧拉梁表现为完全的负刚度特性。为了利用欧拉梁的负刚度特性，量纲一轴向力需要满足这一条件。时，在原点处取得极大值，这是不可取的，因此量纲一轴向力合理的范围是。
在量纲一轴向力满足条件下，在欧拉梁的中点并联一个刚度合适、垂直放置的线性弹簧，组成一个准零刚度隔振系统。将位置(梁未变形的水平位置)作为工作位置，假设系统承载物体的质量为m。那么此时欧拉梁中点挠度为零，欧拉梁并不提供垂向的回复力，物体完全由垂直的刚度为kV的线性弹簧支撑，此时有：
承载的物体质量m已知时，根据式(5)选取合适的线性弹簧的初始压缩量d0，从而确定线性弹簧的刚度kV和量纲一刚度。由平衡时系统总的垂向刚度，可求得，从而确定轴向压力的大小。
结合隔振系统的静力特性分析，建立系统动力分析模型，推导并分析准零刚度隔振系统的幅频特性、力传递率和跳跃频率特性，考虑不同参数对隔振性能的影响。
2.1 准零刚度隔振系统的幅频特性分析
根据式(3)可以得到系统的回复力(垂向力)：
北京吉普2500再根据式(5)，可以得到梁中点挠度为x时整个隔振系统的回复力(垂向力)：
考虑阻尼作用，引入线性阻尼(阻尼系数为c)，若承载的物体受到简谐力FAcosωt的作用(FA为简谐力幅值)，建立动力分析系统，则准零刚度隔振系统的受迫振动方程为
值得注意的是，该准零刚度隔振系统在附近的动刚度很小，所以系统对于所加载荷的变化十分敏感。承载物体质量微小的变动可能会引起压杆中点挠度较大的变化，因此必须注意承载物体质量的变化。假设物体超载的质量m0=λm(λ为超载部分质量与初始质量的比值)，并且系统在x0处于平衡，那么系统超载时，中点挠度为x+x0，对应系统的受迫振动方程为
将f(x)展开为泰勒级数并保留到三次项，再根据，得到f(x)≈(x/l)3(128EI/l2-8F)。这意味着回复力与位移的三次方成正比，因此
引入如下的量纲一物理量：量纲一位移，圆频率，量纲一时间τ=ωnt，频率比Ω=ω/ωn，量纲一阻尼系数，量纲一激励力幅值，将式(11)代入式(9)并量纲一化，得到：
从式(12)可以看出：欧拉梁变形较小时，无论是否超载，欧拉梁与线性弹簧并联形成的准零刚度隔振系统都具备Duffing振子的特点，超载会使得系统回复力中二次项的系数不为零，即系统关于平衡点不具备对称形式。
将式(12)中用作代换，化简整理后得到：
利用谐波平衡法近似求解式(13)，假设式(13)的解X(τ)=A0+A1cos (Ωτ+φ)，即认为系统的稳态响应幅值为A1，同时还有一个附加的位移A0。将X(τ)的表达式代入式(13)并整理，得到[14]:
忽略式(14)中的二次谐波、三次谐波，由等式两边的谐波系数相等，可以得到：
整理式(15)，得到关于A0的一元九次方程：
根据式(16)不难得到：
雪佛兰多少钱根据式(17)、式(15)的第三式可以得到关于A1的方程：
根据式(16)、式(18)，作出A0-Ω和A1-Ω幅频响应图(图4、图5)。从图4a可以看出：系统的幅频曲线具有多值性，即一个激励力频率可能对应着多个稳态响应幅值A1，因此系统会出现频率跳跃现象；幅频曲线是向右弯曲的，并且γ越大，曲线弯曲程度越大，这说明系统的回复力具有渐硬特性；共振峰值随着量纲一激励力γ的增大而增大，对应共振频率也随之增
大。从图4b可以看出：随着量纲一阻尼系数δ的增大，幅频曲线向右弯曲的程度变小，并且共振峰值和共振频率都随之减小，当δ增大到一定程度时，曲线不再具有多值性，此时系统不再会发生频率跳跃现象。
从图5a可以看出：Ω相同时，A0随着γ的增大而减小；γ保持不变时，A0先会随着Ω的增大而减小，当Ω足够大时，A0随着Ω的增大而增大，并且越来越接近，这一点从式(16)可以很容易看出来。从图5b可以看出：在δ较小时，A0-Ω曲线具有多值性，并且A0存在一个极小值；随着δ的增大，A0的极小值以及极小值对应的Ω逐渐减小(在图中表现为尖点逐渐向左上方移动)；当δ增大到一定程度时，曲线的尖点消失，即原来位置A0的极小值不复存在，此时A0随Ω单调递增。从图5c可以看出：A0存在一个极小值，并且该极小值随的增大而增大，同时与极小值对应的Ω也随之增大。
分析该系统受迫振动的幅频曲线可以发现：在某些频率段，一个激励力频率对应多个振动的幅值，这种多值性会引起系统发生频率跳跃现象，如量纲一阻尼系数δ的变化会影响系统的共振峰值和共振频率，改变幅频曲线的弯曲程度，甚至使得多值性特点消失。top gear 20季
2.2 准零刚度隔振系统的力传递率分析
传递率是评价隔振系统的一个十分重要的指标，通常采用的传递率有力传递率和位移传递率，它们能很好地描述振动通过隔振器后减小的程度。力传递率Tf为
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