2010年(第32卷)第8期
汽 车 工 程A utomo ti ve Eng i nee ri ng
2010(V o.l 32)N o .8
2010134
*
*国家 863 高科技项目(2006AA 110102)和吉林省科技厅重点项目(20086006)资助。原稿收到日期为2009年9月17日，修改稿收到日期为2009年11月16日。
管 欣，张素民，詹 军
(吉林大学，汽车动态模拟国家重点实验室，长春 130025)
[摘要] 提出了一种用于汽车动力学实时仿真的悬架建模方法。将悬架系统模型建成为连接车身和车轮的无质量复合铰，并基于凯恩方法推导了悬架复合铰的运动方程。在满足动力学实时仿真要求的同时
不降低悬架系统的运动学精度。利用该方法建立了某轿车面向结构的麦弗逊式前悬架模型，并集成到由符号计算软件产生的该轿车的多体动力学模型中。仿真与实车道路试验结果的对比表明该悬架模型具有较高的仿真精度。
关键词：悬架模型；凯恩方法；复合铰；符号计算；实时仿真
A R eal tim e S imu l ati on M odel for A ut o m oti ve Suspensi on Based on K ane sM et hod
Guan X in ,Zhang Su m i n &Zhan Jun
J ilin Un i v ersit y,S tate K e y Labora tory of Au to mobile Dynam ic S i mu l a tion,Changchun 130025
[A bstract] A suspension m odeling m et h od for rea l ti m e vehic le dyna m ics si m u lation is proposed .Specifica l l y ,the suspensi o n syste m ism odeled asm assless co m posite jo i n t connecti n g car body and whee ls ,and the k i n e m atic
equations of the jo i n t are deri v ed based on Kane sm e t h od .The equationsm eet the require m ents of real ti m e dyna m ics si m u lation w it h out degrading t h e k i n e m atic accuracy of suspension syste m.Based on the m ethod ,a structure ori ented m odel for theM acPherson strut fr
ont suspension of a car is bu ilt and then i n tegrated into a m ulti b ody dyna m ics m ode l for the car ,created by sy m bo lic co m putati o n so ft w are .The co m parisons bet w een the results o f si m ulati o n and t h at of rea l veh icle field tests sho w that the m odel has relati v e l y h i g h si m ulati o n accuracy .
K eyw ords :suspension m ode;l Kane s m et hod ;com posite j oints ;sy m bolic co m putation ;real ti m e si m
ulation
前言
汽车悬架的运动分析是汽车总布置设计、运动校核的重要内容之一，也是研究悬架几何学及其对行驶平顺性、操纵稳定性、制动安全性、乘坐舒适性和动力加速性等汽车性能影响的基础
[1]
。
目前，在汽车悬架建模理论中，最为典型的是基于侧倾中心/力矩中心的建模方法和基于多体动力学的建模方法
[2-3]
。应用侧倾中心方法建立的悬架模型虽然能够满足整车动力学模型对实时性的要求，但因为采用的是水平车身位置的侧倾中心/力矩中心去获得悬架特性，所建立的模型不能应用于车
辆大位移运动的仿真，而且模型没有直接利用悬架
的几何及弹性等特性，因而很难直接分析车辆部件之间的载荷关系以及悬架特性参数对车辆性能的影响307两厢
[4]
。应用多体系统动力学可以建立面向结构、适
用于复杂工况的汽车整车动力学模型，但是由于悬架各杆件的质量和转动惯量与车体相比十分小，因此按传统多体动力学建立的包含悬架模型在内的整
车动力学数学模型通常为刚度较大的代数微分方程组，计算效率比较低，不能满足实时仿真的需要
[5]
。
针对车辆实时仿真动力学的要求，文献[6]和文献[7]提出一种新的建模思路：将悬架视为连接车体和车轮的无质量复合铰。
本文中利用凯恩方法推导了无质量复合铰的运
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2010年(第32卷)第8期
动方程，建立了面向结构的麦弗逊式悬架模型。凯恩方法以凯恩方程为代表，利用广义速率代替广义坐标描述系统的运动，并以矢量形式的力与达朗伯惯性力直接向特定惯性基矢量方向上投影以消除理想约束反力。与拉格朗日方法相比，它可以避免计算以及求导系统能量函数而直接导出动力学方程，计算工作量明显减少。与牛顿欧拉方法相比，方程中不出现理想约束力，因而兼有牛顿欧拉方法和拉
兰博基尼格朗日方法的特点[8]
。此外，凯恩方法更适合于符号推导运算，可以采用成熟的符号计算软件开发自动产生实时车辆仿真代码的程序。
1 凯恩方法理论基础
1 1 系统拓扑结构
为获得多体系统的拓扑构型，须描述刚体之间的相互连接情况。常见的数学描述方法有：关联数组、关联矩阵、通路矩阵和内接物体数组
[8]
。文中选
用内接物体数组和物体数组来描述系统的拓扑构型。对于一个具有大地(物体B 0)和N b 个物体相互连接的多体系统(图1)，定义N b 阶一维整形数组L (i)(i =1,∀,N b )为其内接物体数组，其中,i 是物体B i 的下标,L (i)是物体B i
的内接物体的下标。
图1 树系统示意图
如果将L 看作上述定义的一种算子，设定L (0)=0。定义0次,1次,2次,∀,s 次的内接物体数组分别为:
L 0(i)=i ,L 1(i)=L (i),L 2
(i)=L [L (i)],L s (i)=L [L s -1
(i)]
(1)物体B i 的本地基n #
i 到其内接物体B j 的本地基n #
j 转换为 {n
i }=[A ij
]{n
j }
(2)
从物体B i 的本地基n #
i 到惯性参考基n #
的转换为
{n
i }=[A i 0
]{n
}
(3)
式中:[A i 0
]=
∃H (i)
r=1
[A
s p
]，其中s =L
r -1
(i ),p =
L r
(i)，物体数组H (i)为该物体至B 0的通路上的物体个数。
1 2 广义坐标、广义速率、偏速度和偏角速度
具有N 个自由度的完整多体系统相对惯性参考基的运动可以用N 个独立广义坐标q i (i =1,2,∀,N )来描述。也可以用N 个独立广义速率u r (r =1,2,∀,N )来描述。一般这个广义速率可以用独立广义坐标导数的线性组合来表示:
u 1 u N
=[W ]q !
1
q !
N
+{Z }
(4)
反之，独立广义坐标的导数也可以用独立广义
速率表示:
q !
1 q !
N
=[Y]u 1
元旦高速收费吗u N
+{X }
(5)
广义速率确定后，组成系统的任意质点P 相对于惯性参考基的绝对速度v #
以及任意物体B i 的绝对角速度 #i ，均可表示为广义速率的线性组合:
v #
=%N
r =1
v #r u r +v #t
(6)
i =
%
N
r=1
#r i
u r + #t
i
(7)
式中:v #r 、v #t 、 #r i
和 #t
i 均为q i (i =1,2,∀N )的函数。
v #r
称为质点P 的第r 个偏速度, #r
i 称为物体B i 的
第r 个偏角速度。1 3 动力学方程
对于一个具有N b 个物体和N 个独立广义坐标的多体系统，凯恩方程在惯性参考基里的表达式为
f r +f *
r =0 (r =1,∀,N )
(8)
式中f r 和f *r 分别为广义主动力和广义惯性力,
f r =%N b
i=1F
r i
(9)
f
*r =
%N b i=1F
*r i
(10)F r i
=F #
i !v #r ci
+M #
i ! #r
i (11)
F
*r i
=F #*i
!v #r ci
+M #
*
i ! #r
i
(12)
式中:v #r
ci 为物体B i 质心P ci 的第r 个偏速度, #r
i 为物体B i 的第r 个偏角速度,F #
i 和M #
i 分别为作用在物
2010(V o.l 32)N o .8管欣，等：基于凯恩方法的汽车悬架实时仿真模型
!651 !
体B i 上主动力的主矢和相对质心P ci 的主矩,F #
*
i
和M #*
i 分别为物体B i 的惯性力主矢和相对质心P ci 的主矩。
2 麦弗逊悬架模型的建立
2 1 广义坐标、速度和角速度
图2是麦弗逊悬架结构示意图。相对来说，下
控制臂和减振器的上活塞具有较小的质量，而转向节与车轮为旋转铰连接，除车轮自转外其余5个自由度运动状态完全相同，可以将它们一起考虑为有质量的轮轴系统。因此，把悬架看作连接车身和轮轴系统的复合铰，既可有效减少整车模型的方程数目和降低方程刚性程度,
又有利于提高求解效率。
图2 麦弗逊悬架示意图
车体本地基n #
c 相对于惯性参考基具有3个转动自由度和3个移动自由度，相对广义坐标阵{q c }=[!1 ∀1 1 #1x #1y #1z ]T
。轮轴系统相对于车体具有绕主销轴的转动和绕下控制臂旋转轴的转动2个自由度，分别用 2和!2表示。如果按传统多刚体动力学简化方法，麦弗逊式悬架下摆臂和车身应视为旋转铰连接。然而由于前悬架下摆臂橡胶衬套的纵向和横向弹性特性是影响操纵稳定性的主要因素，因此必须考虑橡胶衬套的力学特性，将下摆臂与车体的约束在这两个方向释放开，复合铰具有2个移动自由度，用#2x 、#2y 表示。综上，悬架复合铰的相对广义坐标阵为
{q k }=[!2 0 2 #2x #2y 0]
T
整个系统广义坐标阵可表示为{q }=[q T
r q T
t ]T
(13)
其中:
{q r }=[!1 ∀1 1 !2 0 2]
T {q t }=[#1x #1y #1z #2x #2y 0]T
车体本地基绕x l 轴旋转!2得到下控制臂本地
基n #
l ，转换矩阵为
[A lc
]=10
00
cos !2-si n
!20si n !2
cos !2
(14)
车体本地基经过3-1-3坐标转换得到轮轴系
统本地基，相应的欧拉角分别为∃、%和 2，两个坐
标系之间的转换矩阵为
[A kc
]=
cos ∃cos 2-si n ∃cos %si n 2
si n ∃cos 2+cos ∃cos %si n 2si n %si n
2-cos ∃si n 2-si n ∃cos %cos 2
-sin ∃si n 2+cos ∃cos %cos 2
sin %cos 2
si n ∃sin %-cos ∃si n %cos %
(15)
式中 2是由转向引起的绕主销轴的转角。∃和%从主销轴轴向矢量推导得出，可表示为下控制臂旋转角!2的函数。主销轴矢量l #c
可表示为
l #
c
=d #
c
3-d #
c 2-#
#
c 2
(16)
其中上标c 表示在车体本地基中，矢量d #
2、d #
3和##
2如图2所示。矢量l #
重庆交通违章信息网
c
归一化的单位矢量u #c
l
是轮轴系统本地基的z 轴，可表示为
{u c
l }=
si n ∃si n %
-cos ∃sin %
cos %
(17){l c }=l c
{u c l
}=[l c x
,l c y
,l c z
]
T
(18)
其中l c
是矢量l c
的长度。从式(17)和式(18)中可以推导得出∃和%及其时间导数:∃=-arctan(l c x /l c
y )
%=arctan[(l c
x si n ∃-l c
y cos ∃)/l c
z ]
(19)
∃!
=[P c ][d
c 2]{h c l }!!
2-[P c
]{y !
k }
%!
=[S c
][d
c
2]{h c l
}!2!-[S c ]{y !
k }
(20)
其中:{h c
l }表示下控制臂的旋转轴矢量,
{y !
k }=[#!
2x #!
2y 0]T
,
[P c
]=[-l c y ,l c
x ,0](l c x
)2
+(l c y
)
2
,
[S c
]=
[si n ∃cos %,-cos ∃cos %,-si n %]
l
c
。
由于轮轴系统本地基由相对于车体本地基的连
!652 !汽 车 工 程2010年(第32卷)第8期
续转动决定，根据角速度叠加原理，轮轴系统相对惯性参考基的绝对角速度可以表示为
#
k = #c + #
ck
(21)
式中 #
c 表示车体相对惯性参考基的绝对角速度, #
c ={q !
r }T
[W c
]{n
}
(22)
其中:[W c
]
=
I 3&3
O 3&3
#ck 表示轮轴系统相对于车体的角速度，并且: #ck ={x !
k }T
[A c 0
]{n
}
(23)
其中:{x !
k }=[!!
2 0 !
2]
T
综合式(21)~式(23)可以得出:
#
k ={q !
r }T
[W k
]{n
}(24)
其中:[W k
]
=I 3
&3[A c 0
]
式(24)对时间求导，轮轴系统相对于车体的角加速度!#k 为
!#
k ={q !!
r }T [W
k
]{n }+{q !
r }T
[W !
k
]{n
}(25)
轮轴系统质心处的位置矢量R #
k 为
R #
k =#
1+d #
1+##
2+d #
2+p #
k
(26)
轮轴系统质心处的速度v #
k 可由对式(26)求导得出:
v #
k =({q !
t }T
[V k
s
]+{q !
r }T
[W ][V k
]){n #
}(27)
其中:[W ]=I 3&3I 3&
3O 3&3[A c 0],[V k
s
]=I 3&3
[A c 0
]
,[V k
]=
[d
1][A c 0
][d
2][A l 0
]+[p
k ][A k 0]
。
轮轴系统质心处的加速度a #
k 可由对式(27)求导得出:
a #
k ={q !!
t }T
[V k s
]{n #
}+{y !
r }T [V k
]{n #
}+
{q !
t }T
[V !k s三元催化器是什么东西
]{n #
}+{y r }T
[V !k
]{n #
}
(28)
其中广义速率:{y r }T ={q !
r }[W ]2 2 动力学方程
系统的动力学方程为
[a ]{q !!}+[b ]{q !
}={f }(29)
式中:[a]=
%N b
i=1(m i [V i w ][V i w ]T
+[W i
][I i 0][W i ]T
),[b]=
%N b i=1(m i [V i w
]
[V !i w
]T
+[W i
][I i 0][W !i ]T
)+%
N b
i=1
[W i
][I i 0][
i ][W i ]T
,
{f }=
%
N b
i=1
([V i w ]{F i }+[W i
]{M i }),
[I i 0]=[A i 0
]T
[I i ][A i 0
]
其中:m i 为物体B i 的质量,{F i }为作用在B i 的合力,{M i }为作用在物体B i 的合力矩。
3 仿真结果与分析
根据以上的方法建立了麦弗逊悬架模型并集成到整车模型中。为了验证模型的正确性，进行了车速为80km /h 的实车标准双移线工况道路试验。试验中记录的15s 转向盘转角数据如图3所示。
图3 转向盘转角
将记录的转向盘转角和油门开度输入到仿真模型中进行对比。仿真模型的积分步长设定为1m s ，仿真时间设为15s ，利用并行计算方法完成仿真所需要的计算时间为10 06s ，因此可满足实时性的要求。将车体横摆角速度、车体质心侧向加速度和车体侧倾角仿真结果与道路试验对比，如图4~图6所示。从对比图中可以看出，仿真曲线在趋势上与试验结果吻合较好，但由于忽略悬架杆系的质量和弹性，造成仿真结果在数值上存在一定误差。
图4 车体横摆角速度
2010(V o.l 32)N o .8管欣，等：基于凯恩方法的汽车悬架实时仿真模型!653 !
图5
车体质心侧向加速度
图6 车体侧倾角4 结论
基于凯恩方法建立了面向结构的悬架仿真模型，将悬架模型嵌入到整车模型中，将仿真结果与试
验数据对比，得出以下结论:
(1)仿真计算结果与试验数据吻合较好，证明
这种建模思路是可行的;
(2)采用复合铰建模方法，提高了模型求解效率，因此应用该方法建立的悬架模型可用于车辆动力学实时仿真;
(3)由于建立的悬架模型是面向结构的，模型的适用范围广;
长安微型车(4)采用凯恩方法有利于符号计算，可利用成熟的符号计算软件开发自动产生实时车辆仿真代码的程序。
参考文献
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1991.
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[3] 叶显峰.面向结构的汽车悬架实时仿真模型的建立[D ].长春:
吉林工业大学,2000.
[4] 管欣，张威，叶显峰.应用于车辆实时动力学仿真的悬架模型
[J].汽车工程,2003,25(5):477-480.
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大学学报,2004,25(3):203-207.
[7] ChoiG J ,Yoo Y M ,Lees K P ,et a.l A Real ti m eM ulti body V e
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[8] 洪嘉振.计算多体系统动力学[M ].北京：高等教育出版社,
1999.
2010第五届汽车测试及质量监控博览会9月将在北京举行
第五届汽车测试及质量监控博览会将于2010年9月14-16日在北京全国农业展览馆隆重举行。展会由英国专业展览公司UK I P 主办，北京海富展览服务有限公司承办。
国内汽车工业始终保持稳定增长促进了汽车测试及质量监控行业的发展，展会吸引了世界各国的汽车制造厂家，相关产业链的营运商、供应商和采购商。尤其是在最新的汽车测试、评估和质量工程技术领域，踊跃参与的中外企业和商务团体与日递增。
目前签约参加2010汽车测试及质量监控博览会的参展客商已逾240家。
第八届中国国际轮胎博览会9月将在上海举行
第八届中国国际轮胎博览会将于2010年9月8-10日在上海光大会展中心举行。此届的轮胎展将是规模最大的一届。详细资料请浏览www .c itexpo .co m .
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