2021年（第43卷）第2期汽车工程
Automotive Engineering2021（Vol.43）No.2 doi：10.19562/j.chinasae.qcgc.2021.02.001
陈龙1，邹凯2，蔡英凤1，滕成龙2，孙晓强1，王海2
（1.江苏大学汽车工程研究院，镇江212013；2.江苏大学汽车与交通工程学院，镇江212013）［摘要］本文中针对大曲率转弯工况下，智能汽车纵横向动力学特性的耦合和动力学约束导致轨迹跟踪精度和稳定性下降的问题，提出一种基于非线性模型预测控制（NMPC）的纵横向综合轨迹跟踪控制方法，通过NMPC和障碍函数法（BM）的有效结合，提高了跟踪精度，改善了行驶稳定性。首先建立四轮驱动-前轮转向智能汽车动力学模型和轨迹跟踪模型，采用非线性模型预测控制计算出期望的纵向力、侧向力和横摆力矩；然后基于轮胎动力学模型建立带约束的非线性规划数学模型，利用障碍函数法求解出四轮轮胎力的最优分配，并最终实现四轮驱动智能汽车纵横向综合轨迹跟踪控制。最后进行Carsim和Simulink联合仿真，结果表明，与传统的预瞄PID控制相比，所提方法可在考虑纵横向动力学耦合的情况下明显改善跟踪精度和行驶稳定性。
关键词：智能汽车；轨迹跟踪；非线性模型预测控制；障碍函数法
Longitudinal and Lateral Comprehensive Trajectory Tracking Control of
Intelligent Vehicles Based on NMPC
Chen Long1，Zou Kai2，Cai Yingfeng1，Teng Chenglong2，Sun Xiaoqiang1&Wang Hai2
1.Automotive Engineering Research Institute，Jiangsu University，Zhenjiang212013；
2.School of Automotive and Traffic Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang212013
［Abstract］Aiming at the lowering of the trajectory tracking accuracy and stability caused by the coupling of longitudinal and lateral dynamic characteristics and the dynamic constraints of intelligent vehicles under large‑cur‑vature turning conditions，a longitudinal and lateral comprehensive trajectory tracking control method based on non‑linear model predictive control（NMPC）is proposed in this paper.Through the effective combination of NMPC and barrier（function）method（BM），the tracking accuracy and driving stability are improved.Firstly，a dynamics mod‑el for a four‑wheel drive and front wheel steering vehicle and its trajectory tracking model are established and the NMPC is adopted to calculate the desired longitudinal force，lateral force and yaw moment.Then a nonlinear pro‑gramming mathematical model with constraints is constructed based on tire dynamics model and t
he BM is used to solve out the optimal distribution of the tire forces of four‑wheels，and finally the longitudinal and lateral comprehen‑sive trajectory tracking control for a four‑wheel drive intelligent vehicle is achieved.In the end，a Carsim and Simu‑link joint simulation is conducted with a result showing that compared with the traditional preview PID control，the method proposed can significantly improve the tracking accuracy and driving stability with consideration of the cou‑pling between longitudinal and lateral dynamics characteristics.
Keywords：intelligent vehicles；trajectory tracking；nonlinear model predictive control；barrier method
*国家重点研发计划（2018YFB0105000，2017YFB0102603）、国家自然科学基金（51875255，61601203，61773184，U1564201，U1664258，U1764257，U1762264）、江苏省自然科学基金（BK20180100）、江苏省六大人才高峰项目（2018‑TD‑GDZB‑022）、江苏省战略性新兴产业发展重大专项（苏发改高技发（2016）1094号）和镇江市重点研发计划（GY2017006）资助。
原稿收到日期为2020年4月22日，修改稿收到日期为2020年7月8日。
通信作者：蔡英凤，教授，博士，E‑mail：caicaixiao0304@126。
汽车工程2021年（第43卷）第2期
前言
智能汽车具有众多优势，如提高车辆行驶安全性、提高道路利用率及减小交通运输成本等，因而成为汽车技术发展的重要方向。智能汽车关键技术包括感知、定位、规划和控制技术，其中，纵横向综合轨迹跟踪运动控制是智能汽车规划和控制的重要环节［1］，成为国内外学者的研究焦点。
针对轨迹跟踪控制的精确性、稳定性和安全性问题，国内外学者开展了大量研究。目前轨迹跟踪控制算法归纳为以下几种：经典控制方法［2-3］、最优控制方法［4］、自适应控制方法［5］、滑模控制方法［6］、模糊控制方法［7］和鲁棒控制［8］。Hayakawa等［9］设计了一种PID前馈-反馈控制方法，将道路曲率作为前馈控制器的重要参数，改善了智能汽车时变车速工况下轨迹跟踪控制的转向稳定性。然而PID控制是一种不基于模型的控制方法，跟踪精度较低，由于难以考虑行驶约束条件［10］，在复杂高动态工况下，跟踪精度和稳定性较差。在过程控制中应用成熟的模型预测控制作为一种基于模型的控制器具有很高的控制效果，且便于添加约束条件，成为智能汽车轨迹跟踪控制领域研究的热点方向［11］。Falcone 等［12-13］设计了一种线性时变模型预测轨迹跟踪控制方法，基于完整的3自由度整车非线性模型，解决了非线性模型预测控制实时性差的问题，从而实现了精确和稳定的轨迹跟踪控制。
随着智能汽车对线控要求的提高，四轮驱动智能汽车成为发展智能驾驶技术的重要载体，四轮独立驱动
电动汽车将驱动电机直接安装在驱动轮内或驱动轮附近，具有驱动传动链短、传动效率高、结构紧凑等突出优点，也为智能控制方法设计提供了较好的线控基础。另外，四轮驱动智能汽车可以通过独立控制电动机驱/制动转矩，给车轮分配不同的转矩产生差动力矩来提高车辆的稳定性和跟踪精度，实现多种动力学控制功能［14-17］。利用四轮驱动汽车研究智能汽车轨迹跟踪问题，有助于进一步提高智能汽车轨迹跟踪的动力学稳定特性，因此，基于四轮驱动智能汽车的轨迹跟踪与稳定性的协调控制具有较大的研究价值。陈特等［18］采用一种滑模变结构轨迹跟踪控制方法，将车身侧倾方向和侧倾角都作为轮胎力分配的反向补偿依据，从而提高跟踪的稳定性，但所提滑模变结构控制方法针对带约束的控制系统无法达到满意的控制效果，同时该方法未考虑纵向速度变化对轨迹跟踪控制的影响。宋攀等［19］对纵横向运动分别设计不同控制方法实现横向轨迹跟踪和纵向速度跟踪，横向控制采用线性时变模型预测控制方法，纵向速度跟踪采用李雅普诺夫控制法，在低速工况下达到了较好的跟踪性能，但这种纵横向独立设计控制器的方法忽略了智能汽车纵横向运动力学耦合对轨迹跟踪控制的影响，在中高速工况下跟踪性能有所下降。周洪亮等［20］设计模型预测控制轨迹跟踪控制方法，首先建立轮胎动力学模型，采用非线性模型预测控制求解前轮转角和四轮滑移率，再采用PID控制求解四轮驱动转矩，实现横纵向综合控制。但PID控制器根据上层期望滑移率求解四轮转矩存在滞后效应，导致输出响应不及时，影响纵向控制精度。徐兴等［21］设计轨迹跟踪与稳定性代价函数，通过设置权重系数将自主转向与差动转向相结合，从而提高了轨迹跟踪的灵活性与跟踪精度。但由于权重系数为定值，难以适应各种工况，且在左右轮的转矩分配中没有考虑摩擦圆约束，导致在极限工况下行驶不稳定。上述研究表明，目前四轮独立驱
动智能汽车轨迹跟踪控制方法主要存在的问题是：（1）横向轨迹跟踪的同时没有考虑速度的跟踪；（2）控制算法忽略各种约束问题；（3）忽略了轮胎动力学存在的纵向力和侧向力的耦合问题。
基于上述四轮独立驱动智能汽车轨迹跟踪控制方法的不足，本文中提出一种基于NMPC的四轮驱动智能汽车纵横向综合轨迹跟踪控制。该方法用于四轮毂电机独立驱动的分布式电动汽车，该控制方法分为上下两层，上层协调控制层采用非线性模型预测控制算法，结合动力学约束，决策出期望纵向力、期望侧向力和期望横摆力矩，实现参考轨迹和纵向速度的跟踪。下层控制分配层，根据上层的期望力或力矩，基于描述轮胎纵向和侧向力耦合特性和非线性特性的轮胎动力学模型，建立轮胎力最优分配代价函数，同时考虑电机的力矩输出约束和地面附着圆约束，将轮胎力分配问题转化为带约束的非线性规划问题，最后通过高效的障碍函数法实现四轮轮胎力的最优分配，然后通过轮胎动态模型计算出每个电机需要提供的电机转矩，从而提高智能汽车在大曲率弯道处的跟踪精度和稳定性。具体的分层控制流程如图1所示。
154
2021（Vol.43）No.2陈龙，等：基于NMPC 的智能汽车纵横向综合轨迹跟踪控制1
四轮驱动智能汽车动力学模型
1.1
车辆动力学模型
本文中研究的四轮驱动智能汽车轨迹跟踪控制
方法将采用车辆-轮胎模型［21］
，模型建立需满足以下
假设：（1）假设智能汽车在平坦路面上行驶，忽略车辆垂向运动；（2）忽略纵向和横向空气动力学。
同时考虑车辆只有纵向、横向和横摆3个方向的运动，建立平面运动车辆模型，如图2所示。
根据牛顿第二定律和横摆力矩平衡，在纵向、横向和横摆3自由度下可以得到［22］
m （v x -v y φ）=F x d
（1）m （v y +v x φ）=F y d （2）I z φ
=M z d （3）
式中：m 为整车质量；I z 为整车绕Z 轴的转动惯量；v x 和v y 分别为车辆坐标系下汽车纵向速度和横向速度；
v x 和v y 分别为车辆坐标系下汽车纵向加速度和横向加速度；
φ和φ分别为汽车横摆角速度和横摆角加速度；F x d 、F y d 和M z d 分别为车辆坐标系下车辆总纵向力总侧向力和总横摆力矩。
F x d =∑i =12
F xi cos δ+∑i =34
F xi -∑i =12
F yi sin δ
（4）F y d =∑i =12
F xi sin δ+∑i =3
4
F yi +∑i =1
2
F yi cos δ
（5）
M z d =∑i =12
l f F xi sin δ+∑i =1
2
l f F yi cos δ-∑i =34
l r F yi +∑i =1
2
(-1)i
d f
2F xi cos δ-∑i =34(-1)i d r 2F xi +∑i =1
2(-1)i
d f
2F yi sin δ（6）
式中：F xi 和F yi （i=1，2，3，4）分别为每个轮胎的纵向力
和侧向力；δ为前轮转角；l f 为前轴到质心的距离；l r 为后轴到质心的距离；d f 为前轮轮距；d r 为后轮轮距。
另外，根据文献［23］中提出的轮胎力与横摆力矩之间的关系，
引入不等式约束：
λμmax
（7）
式中：μ为摩擦因数；W m =0.85为平衡因子；λμ，max 为上限因子，本文中将其设置为常数0.95。1.2
非线性轮胎模型
轮胎的纵向力和侧向力可表示为轮胎侧偏角、路面摩擦因数和垂向载荷等参数的复杂函数。国内外学者根据轮胎动力学的非线性特性，提出了多种轮胎动力学模型，如：“魔术公式”轮胎模型、Burckhardt 轮胎模型和Dugoff 轮胎模型。“魔术公式”半经验轮胎模型，其精度极好，但模型过于复杂，较多应用于车辆仿真模型中，不适合实车控制器的设计。本文中采用Burckhardt 轮胎模型，相比于“魔术公式”，具有模型简单，参数较少的优点，相比于带有切换因子的Dugoff 轮胎模型更加适合控制器的建立。
Burckhardt 轮胎模型［24］用下式表示：F t i =F z i c 1（1-e
-c 2s Res i
）-c 3s Res i
（8）s Res i =
λi 2
+tan α2i
（9）
式中：F t i 为纵向力和横向力的总成；c 1、c 2和c 3为参数；s Res i 为组合摩擦因数。由此轮胎的纵向力和侧向力可表示为
图2平面运动车辆模型
图1
分层控制流程图
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汽车工程2021年（第43卷）第2期
F xi =
λi
s Res i
F t i （10）F yi =k s
αi
s Res i
F t i （11）
式中k s 为系数，k s =0.9~0.95。定义轮胎侧偏角为轮胎平面与轮胎速度矢量之
间的夹角
［25］
，如图3所示。
前轮侧偏角为
αf =δ-θvf
（12）
式中：δ为前轮转角；θvf 为前轮速度方向与纵轴的夹角。由于只考虑前轮转角，后轮侧偏角为αr =-θvr
（13）
式中θvr 为后轮速度方向与纵轴的夹角。
每个车轮的侧向速度与纵向速度的比值用来计
算车轮速度角：
tan θy f =v y +l f φ
v x ∓d f
2φ（14）
tan θy r =v y -l r φ
v x ∓d r
2
φ（15）
考虑轮胎纵向和横向加速度引起的载荷转移效应，每个车轮的垂向载荷可表示为
F z i =ìíî
ïïïïïïïïmg l f +l r éëêù
ûúl r 2-v x g ×h cg 2∓v y g ×l r h c g d f ，i =1，2mg l f +l r éëêùûúl f 2-v x g ×h cg 2∓v y g ×l f h c g d r ，
i =3，4（16）
式中：h cg 为汽车质心的高度；g 为重力加速度。1.3
车轮动态模型
车轮动态模型是描述轮毂电机作用在车轮的转矩与车轮动态之间的关系，根据平面运动微分方程得
J w i ω
i =T d i -F xi r w i （17）
式中：J w i 为每个车轮的转动惯量；ωi 为每个车轮的轮心角速度；T d i 为轮毂电机传输到车轮的转矩；r w i 为车
轮的有效半径。1.4
轨迹跟踪模型
轨迹跟踪模型是建立车辆坐标系与全局坐标系之间的关系，考虑车辆质心的侧向速度和纵向速度，得
Y ·
=v x sin φ+v y cos φ
（18）X ·=v x cos φ-v y sin φ
（19）
式中X 和Y 为汽车质心在全局坐标系的横坐标和纵坐标。
2
NMPC 协调控制器设计
智能汽车是一个纵横向动力学强耦合和强非线
性系统，提出了一种综合横向和纵向控制的分层控制结构，它由上层协调控制层和下层控制分配层组成。所提出的控制方法可以通过协调车辆的横向和纵向动力学，实现四轮驱动智能汽车的纵横向协调运动控制。2.1
上层协调控制方法设计
结合式（1）~式（3）、式（17）和式（18），可建立智能汽车轨迹跟踪非线性动力学状态空间方程：
{
ξ·=f (ξ·
，u )
η=h (ξ)
（20）
式中：ξ=（v x ，v y ，φ，φ，Y ，X ）T 为状态变量；u =
（F x d ，F y d ，M z d ）T
为控制变量；η=(Y ，
φ，v x )T 为输出变量。考虑到该系统是一个带不等式约束的多输入多
输出非线性系统，同时除了解决横向跟踪路径问题，还需要考虑纵向期望速度跟踪控制，本文中设计了一种非线性模型预测控制器实现期望路径和期望纵向速度的跟踪控制。
对于需要实现的跟踪目标并且要求控制量尽量稳定，构建代价函数：
J （ΔU （t ））=（η-ηref ）T
Q （η-ηref ）+
ΔU （t ）T P ΔU （t ）+U （t ）T
RU （t ）+ρε2
（21）
式中：η为预测时域N p 内系统在U （t ）作用下的预测输出；ΔU （t ）为控制时域N c 内控制量增量；ηref 为输出量期望轨迹和期望纵向速度；Q 为输出量权重；P 为控制增量权重；R 为控制变量权重；ρ为松弛因子权重，引入松弛因子的原因是降低系统的保守性，从而
使该非线性规划问题有最优解。
非线性模型预测控制转化为每一个采样周期内
求解以下带约束的非线性规划问题：
图3
轮胎侧偏角
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2021（Vol.43）No.2陈龙，等：基于NMPC 的智能汽车纵横向综合轨迹跟踪控制
min J （ΔU （t ））
（22）ηhc ，min ≤ηhc ≤ηhc ，max
（23）η
（24）
λμmax
（25）
其中，式（22）为输出硬约束，式（23）为输出软约束，式（24）为2.1节提出的控制量非线性约束。
求解该非线性规划问题得到最优控制序列
U *t （t ）=［u *t ，…u *t +N
汽车综合c
-
1
］。根据模型预测控制原理，只
将该控制序列的第一个元素作为被控对象的实际输入，即
u （ξ（t ））=u *t
（26）
在下一个时刻，系统以新的采样时刻的状态为初始状态进行求解，继续将控制序列的第一个元素作用于被控对象，如此循环。2.2
下层控制分配方法设计
上层NMPC 算法计算出来期望力/力矩和期望横摆力矩，然后通过最优力矩分配控制算法分配给每个轮胎力矩执行机构。最优力矩分配控制算法设计式（22）所示代价函数。代价函数中的第1项表示希望分配到四轮的轮胎力尽量小，第2项表示与NMPC 输出的期望力/力矩的误差尽量小。
J=1
2F T W f F +12
（F d -M f F ）T W e （F d -M f F ）（27）
其中：F =(X 1，
Y 1，X 2，Y 2，X 3，Y 3，X 4，Y 4)T F d =(F x d ，F y d ，M z d )T
M f =éëêêêêùû
úúúú1010101001010
101-d f
2
l f
d f 2
l f
-
d r 2
l r
d f 2
l r 式中W f 和W e 为权重。建立X i 和Y i 与轮胎自身坐标系下纵向力F xi 和
侧向力F yi 的关系：éëêùûúX i Y i =éëê
ùûúcos δi -sin δi sin δi
cos δi éëê
ù
û
úF xi F yi （28）
其中δi =
{
δf ，i =
1，2
0，i =
3，4
被控对象为前轮转向和四轮驱动汽车，根据上述轮胎动力学模型可知，控制变量为
U =(δf ，
F x 1，F x 2，F x 3，F x 4)T 最终可将问题转为一个非线性规划问题：
min J （U ）=1
2F T W f F +
12
（F d -M f F ）T W e （F d -M f F ）（29）
约束函数：
éëêùûúX i Y i =éëêùûúcos δi -sin δi sin δi cos δi éëê
ùûúF xi F yi （30）F yi =f （αi
）（31）α1，2=δf -arctan θ1，2（32）α3，4=-arctan θ3，4（33）F 2xi +F 2
yi ≤μF zi
（34）
-T i ，max 2≤F xi ≤T i ，max
2（35）其中，式（21）~式（23）是由轮胎动力学得到的等
式约束，式（24）是轮胎附着条件摩擦圆不等式约束，式（25）表示汽车驱动轮所能提供的驱动转矩必须小于驱动电机所能提供的最大转矩。2.2.1
障碍函数法［26］
控制分配层是一个带不等式约束的非线性规划
问题，无法计算得到解析解，采用障碍函数法来逼近其数值解。
考虑一个常见的带不等式约束的非线性规划问题：
{
min J (x )
s.t g i (x )≤0
（36）
将约束条件引入障碍函数，得到新的代价函数：Cost (x ，t )=J (x )+∑i =1
m I (g i (x ))
（37）
其中I （u ）={
-
1
r
log (-u )，u ≤0
∞，u >0
式中：I （u ）为障碍函数；r 为惩罚因子；m 为不等式约束的个数。
因此，障碍函数法可以描述如下。步骤1初始化给定初始点x 0，初始惩罚因子r 0，选择下降系数c=0，终止条件ε1>0，ε2>0
步骤2从初始点开始，使用牛顿迭代法更新得
到新的x *
（r k ）：
If ‖x *（r k ）-x *
（r k-1）‖≤ε1and Cost (x *(r k )，r k )-Cost (x *(r k -1)，r k -1)Cost (x *(r k -1)，r k -1)≤ε
2
x *=x *
（r k ），break
Else
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