新高考新定义开放性和探究专题
题型一：数列新题型
n∈N*
的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：φ1 =1,φ3 =2.数列a n
满足a n=φ2n
，其前n项和为S n，则S10=()
A.1024
B.2048
C.1023
D.2047
2(2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测)南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列a n
本身不是等差数列，但从a n
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列b n
(则称数列a n
为一阶等差数列)，或者b n
仍旧不是等差数列，但从b n
数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列c n
(则称数列a n
为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64⋯是一阶等比数列，则该数列的第8项是( )．
A.28
B.215
C.221
D.228
3(2023·上海黄浦·统考二模)设数列a n
的前n项的和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n<a n+1，则称数列a n
为“K数列”．关于命题：①存在等差数列a n
，使得它是“K数列”；②若a n
是首项为正数、公比为q的等比数列，则q∈[2,+∞)是a n
为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是()
A.①和②都为真命题
B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题
D.①和②都为假命题
题型二：立体几何新定义
4(2023·辽宁沈阳·统考一模)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面
体(八个面均为正三角形)的总曲率为(
)
A.2π
B.4π
C.6π
转子发动机D.8π
5(2021·全国·统考模拟预测)图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底2024新高考数学新定义、开放性和探究专题含答案
面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为()
A.100π
B.600
C.200π
D.300π
6(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测)我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图①)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即12
V 球=πR 2⋅R -13πR 12⋅R =23πR 3.现将椭圆x 24+y 29
=1绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图③)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于()
A.32π
B.24π
C.18π
D.16π
题型三：函数新定义
7(2023·陕西商洛·统考二模)古希腊数学家普洛克拉斯指出：
“哪里有数，哪里就有美．”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称．如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质．如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”．下列关于“优美函数”的说法中正确的有(
)①函数f x =x 2x +2-x
-1≤x ≤1 可以是某个正方形的“优美函数”；
③函数f x =ln 4x 2+1-2x -1可以是无数个正方形的“优美函数”；
④若函数y =f x 是“优美函数”，则y =f x 的图象一定是中心对称图形．
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
8(2021·陕西渭南·统考三模)已知符号函数sgn x =1,x >0,
0,x =0,-1,x <0,
偶函数f x 满足f x +2 =f x ,
当x ∈0,1 时,f x =x ，则下列结论正确的是(
)A.sgn f x >0
B.f 40412 =1
C.sgn f 2k =0k ∈Z
D.sgn f k =sgn k k ∈Z
9(2023·陕西安康·统考二模)宋代理学家周敦颐的
《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，
里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图(如下图)将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数f x ，若存在圆C ，使得f x 的图象能将圆C 的周长和面积同时平分，则称f x
是圆C 的太极函数．下列说法正确的是()
①对于任意一个圆，其太极函数有无数个
②f x =log 122x +1 +12
x 是x 2+y +1 2=1的太极函数③太极函数的图象必是中心对称图形
④存在一个圆C ，f x =sin x +cos x 是它的太极函数
A.①④
B.③④
C.①③
D.②③
题型四：向量新定义
10(2022·浙江·高三专题练习)定义d a ,b =a -b 为两个向量a ，
b 间的“距离”，若向量a ，b 满足下列条件：(ⅰ)b =1；(ⅱ)a ≠b ；(ⅲ)对于任意的t ∈R ，恒有d a ,tb ≥d a ,b ，现给出下面结论的编号，
①.a ⊥b ②.b ⊥a -b ③.a ⊥a -b ④.a ≥1⑤.a +b ⊥a -b
则以上正确的编号为(
)A.①③ B.②④ C.③④ D.①⑤
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