2023-2024学年广东省深圳市高中高二上册期末数学模拟试题
一、单选题
1．若全集{}{}{}3,2,1,2,4,5,1,2,5,2,1,2U A B =--==-，则集合{}3,4-=（）
A ．()U A
B ⋂ðB ．()
U A B  ðC ．()U A B
⋂ðD ．()
U A B ⋃ð【正确答案】B
【分析】根据集合的基本运算即可求解.
【详解】由题意得{}2,1,2,5A B ⋃=-，所以(){}3,4U A B ⋃=-ð.故选：B.
2．设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部为（）
A ．2i
-B ．2i
C ．2
-D ．2
【正确答案】D
【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而得z ，从而求得答案.【详解】由()12i 34i z ⋅+=-+可得34i 55(12i)
12i 12i 12i 5
z -+-====-++，故12i z =+，则z 的虚部为2，故选：D
3．在ABC  中，点D 在边AB 上，3AD DB =.记,CA a CD b ==          ，则CB =
（
）
A ．4133
a b
+  B ．1433
a b
-+
C ．4133a b
-
D ．1343
a b
+转子发动机
【正确答案】B
【分析】根据向量的共线定理表示即可求解.【详解】因为点D 在边AB 上，3AD DB =，所以13
BD DA =
，即1()3CD CB CA CD -=-                ，
所以1433
CB a b =-+      .
故选:B.
4．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（
）
A ．100π
B ．600π
C ．200π
D ．300π
【正确答案】A
【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.【详解】莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为
π
3
的圆弧构成，所以该零件底面周长为π
32020π3
⨯⨯=，故其侧面积为20π5=100π⨯．故选：A.
5．若数列{}n a 是等比数列，且()14,a a a = ，3π,
3b a ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭
，a b ∥
，则()6sin 2023πa +=（）
A ．22
B ．
22
C ．
32
D ．32
【正确答案】D
【分析】根据向量的平行可得1340π
3
a a a -=，结合等比数列通项公式求得6a ，利用三角函数诱导公式即可求得答案.
【详解】由题意数列{}n a 是等比数列，且()14,a a a =
，3π,3b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，a b ∥  ，
可得1340π3a a a -=，即25110π3a a q -=，所以5
16ππ,33
a q a ∴==，
故()()666π3
sin 2023πsin πs 32
s n in i a a a -+=+=-=-=，故选：D.
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若79S S =，612S =，则10S =（）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
【正确答案】A
【分析】根据题意求出数列的首项和公差，即可求得答案.【详解】由已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，79S S =，设数列公差为d ，可得8912150a a a d +=+=，
又612S =，即161512a d +=，解得12
3,5
a d ==-，
故101092
103()1225
S ⨯=⨯+⨯-=，故选：A
7．设1F ，2F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-        ，
则双曲线离心率的取值范围是（）
A ．)
+∞
B ．)
+∞
C ．[)2,+∞
D ．[)
3,+∞【正确答案】A
【分析】由题意，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，先由双曲线的定义2m n a -=，再利用余弦定理
222
4cos 2m n c mn
θ+-=
，
由题意212PF PF a ⋅=-        可得222242m n c a +=-，最后再用,m a c n c a ≥+≥-可得c 、a 的不等关系，可得离心率.
【详解】由题，取点P 为右支上的点，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，根据双曲线的定义知：2m n a -=，
在三角形1F PF 中，由余弦定理可得：2224cos 2m n c
mn
θ+-=，
又因为212PF PF a ⋅=-
可得2cos mn a θ=-，即222242m n c a +=-，
又因为,m a c n c a ≥+≥-，所以222222()()422c a c a c a c a ++-≤-⇒≥
即22e ≥，e ∴≥故选.A
8．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（
）
A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称
B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称
C ．()31f -=
D ．()f x 的一个周期为8
【正确答案】C
【分析】根据()31f x +是奇函数，可得()()20f x f x +-+=，判断B；根据()21f x -是偶函数，推出()()2f x f x --=，判断A；继而可得()()4f x f x +=-，可判断D ；利用赋值法求得(1)0f =，根据对称性可判断C.
【详解】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x -+=-+∴-+=-+，即()()2f x f x -+=-，即()()20f x f x +-+=，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；
又()21f x -是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x --=-∴--=-，即()()2f x f x --=，故()f x 的图象关于直线=
1x -对称，A 结论正确；由以上可知()()()22f x f x f x =--=--+，即()()22f x f x -=-+，所以()()4f x f x +=-，则()()4()8x x f f f x =-=++，故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；
由于()()3131f x f x -+=-+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =-∴=，而()f x 的图象关于直线=1x -对称，故()30f -=，C 结论错误，故选：C
方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.二、多选题
9．下列命题中是真命题的是（
）
A ．命题p ：事件A 与事件
B 互为对立事件；命题q ：事件A 与事件B 互斥．则p 是q 的充分不必要条件
B ．若事件,,A B
C 两两独立，则()()()()
P ABC P A P B P C =C ．有一组样本数据12,,,n x x x  这组数据的平均数为x ，设21i i y x =+（1,2,3,,i n = ），则这组新样本数据1y ，2y ，…，n y 的平均数为2x D ．一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5【正确答案】AD
【分析】根据命题间的逻辑推理关系可判断A ；举反例可判断B ；根据数据的平均数的计算公式可求得新数据的平均数，判断C；根据百分位数的含义求出数据的85%分位数，判断D.【详解】对于A，由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，故事件A 与事件B 互为对立事件，一定可以推出事件A 与事件B 互斥，反之不成立，
故p 是q 的充分不必要条件，A 正确；
对于B ，不妨举例比如从1,2,3,4中随机选出一个数字，事件A ：取出的数字为1或2，事件B ：取出的数字为1或3，事件C ：取出的数字为1或4，则事件AB AC BC ABC ===为取出数字1，所以1()()()2
P A P B P C ===
，()()()()14
P AB P AC P BC P ABC ====
，满足()(())P AB P P A B =，()()()()()()P AC P A P C P BC P B P C
==，，即事件,,A B C 两两独立，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，B 错误；对于C，一组样本数据12,,,n x x x  的平均数为x ，即12n x x x x n +++= ，设21i i y x =+（1,2,3,,i n = ），
则这组新样本数据1y ,2y ，…,n y 的平均数为122()221n n nx n y x n n
x x x ++=
=++++ ，C 错误；
对于D，将数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1从小到大排列为：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6，因为85%108.5⨯=，故这组数的85%分位数为第9个数5，D 正确，故选：AD
10．已知曲线22:sin cos 1C x y θθ+=，(0,π)θ∈则（）
A ．若π
4
θ=，曲线C
B ．若
π
π2
θ<<，曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线C ．若C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则ππ42
θ<<D ．若C 表示两条直线，则π
2
θ=【正确答案】BD
【分析】分类讨论确定方程表示的曲线后判断各选项。
【详解】π(0,)2
θ∈时，cos 0,sin 0θθ>>，方程为22
1
11
sin cos x y θθ
+=，由已知当π
(0,)4
θ∈时，cos sin 0θθ>>，
110sin cos θθ>>，表示焦点在x 轴的椭圆；π4
θ=
时，方程为22x y +=，表示圆，半径为1
42；ππ42θ<<；时，110cos sin θθ
>>，表示焦点在y 轴上的椭圆；