十字路口红灯的合理设置
一、问题的提出
作为城市交通的指挥棒，红灯对交通的影响起着决定性作用．如果红灯的设置不合理，不仅会影响到交通秩序；还有可能会影响到行人和自行车的安全． 目前杭城还有很多路口的红灯设置存在一些不合理的因素，我们以古墩路一个路口界于天目山路和文苑路之间的红灯设置为例，该路口是刚开通的，交管部门对路况和车流量的研究还不是很成熟，因此红灯的设置存在一些问题．该路口的车流量相对比较小，有几个方向的车流量特别小，但灯时间设置太长，经常出现路口空荡荡但是车辆必须长时间等待的情况；同时在这样的路口，右转红灯显得有些多余．另外，该路口不同时段的红灯设置没有什么区别，显然这是非常不合理的．
下面我们就针对该路口来研究一下红灯设置的合理方案．我们主要研究两个方面：红灯周期的设置以及一个周期内各个方面开灯的时间．
二、模型的建立 1、红灯周期
从《道路交通自动控制》中，我们可以到有关红信号灯的最佳周期公式：
s
q L C ∑
-+=
15
其中 ： C 为周期时间．
相位：同时启动和终止的若干股车流叫做一个相位．
L 为一个周期内的总损失时间．每一相位的损失时间I=启动延迟时间－结束滞后时间；而整个周期的总损失时间为各个相位总损失时间的和加上各个灯间隔时间R ．（通俗地讲，启动延迟时间即司机看到灯到车子启动的反应时间，结束滞后时间即灯关闭到最后一辆车通过的时间．）
即R
I
L+
∑
=
q为相应相位的车流量
为相应相位的饱和车流量．（当车辆以大致稳定的流率通过路口时，该流率即该相位的饱和车流量．）
2、南北方向和东西方向开灯时间的分配
不妨忽略黄灯，将交通信号灯转换的一个周期取作单位时间，又设两个方向的车流量是稳定和均匀的，不考虑转弯的情形．
设E是单位时间从东西方向到达路口的车辆数；S是单位时间从南北方向到达路口的车辆数．假设在一个周期内，东西方向开红灯、南北方向开灯的时间为R，那么在该周期内，东西方向开灯、南北方向开红灯的时间为1－R．
我们要确定交通灯的控制方案，即确定R．度量一个十字路口的串行效率的主要依据是单位时间内所有车辆在路口滞留的时间总和．因此要确定R，只需保证在一个周期内，所有车辆在路口滞留的时间总和最短即可．一辆车在路口的滞留时间通常包括两部分，一部分是
每辆车遇红灯后的停车等待时间，另一部分是停车后司机见到灯重新发动到开动的时间
t，它是可以测定的．
首先，对任意给定的R（0<R<1），计算出所有车辆在路口滞留的总时间．在一个周期中，从东西方向到达路口的车辆为E辆，该周期中东西方向开红灯的比率为R，需停车等待的车辆共为R
E⋅辆．这些车辆等待信号灯改变的时间最短为0（刚停下就转灯），最长为R（到达路口时，刚转红灯），所以它们的平均等待时间为R/2．由此可知，东西向行驶的所有车辆在一个周期中等待的时间总和为
2 22
ER
R
R
E=
⨯
⨯
同理可得，南北向行驶的所有车辆在一个周期中等待时间的总和为
2)
1(2
R S-
凡遇红灯的车辆均需花费t 单位时间启动，这部分时间也必须计入总滞留时间．一个周期中，各方向遇红灯停车的车辆总和为)1(R S R E -⋅+⋅，对应的这一部分滞留时间为
)]1([0R S R E t -⋅+⋅⋅
从而总滞留时间为
2)1(2)]1([)(2
20R S ER R S R E t R T T -++-+⋅⋅==
2
])1[(20002S
S t R E t S t R S E ++-+-+=
])1([1
000Et t S S E R R -++==∴当
时，车辆总滞留时间最短．
令B=VH ，表示一个周期中经过十字路口的车辆总数，上述表达式简化得最佳的0R 为
B
t E S S R 0
0)(⨯-+=
容易看到，最佳控制方案B
t E S S R 0
)
(⨯-+=
．
3、两个方向直行和左转开灯时间的分配
进一步考虑车辆转弯的情况（假设右转弯不设红灯）．设南北方向直行和左转开灯时间总和（即上面的R ）为一个单位时间，其中直行开灯时间为r ，则左转开灯时间为r -1；设单位时间内直行车辆数为H ，左转车辆数为L ．
则由上面的分析可知：L
H t L H H r +⨯-+=
)(．
三、调查结果与数据处理 1、调查数据
通过实地考察和网上查询，我们还得到以下数据：
世界上先有红绿灯还是先有汽车2、数据处理
根据上述数据和前面建立的模型，我们可以计算出最佳周期和每个方向开灯的时间．（见表中最后两列）
上面的表格已经给出了不同时段，该路口的红灯周期和各个方向的灯时间．不过，事实上，红灯的设置是非常复杂的，它牵涉到各种因素，不可能用一个固定的模型解决一切问题，它必须根据实际情况不断调整．我们上面给出的方案只是一种理想化的、近似的方案，不过相信它对交警部门会有一定的参考价值和实际意义．
参考文献：
1、谭永基，俞文，数学建模，复旦大学出版社．
2、吴孟达，成礼智等，数学建模的理论与实践，国防科技大学出版社．
3、段里仁，道路交通自动控制，中国人民公安大学出版社．