第一部分初等模型
1.划艇比赛赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人、双人、四人、八人四种，八人艇还分重量级（平均体重86公斤）和轻量级（平均体重73公斤）。各种艇的形状相似（下图1），按一定的尺寸建造。McMahon比较了各种赛艇1964-1970年四次2000米比赛中的最好成绩（包
括1964年和1968年的奥运会和两次世界锦标赛），发现有相当一致的差别。下表1列出了这些比赛成绩和各种艇的规格。并且对于尺寸基本相同的八人艇，重量级组的成绩比轻量级组约好5%。
表1.1各种艇的比赛成绩和规格
艇种
2000米成绩（分）1
艇长
（米））
艇宽（米）b
l/b
艇重0（公斤）/桨手数沏
I
IIIII
单人
单人汽车7.16
7.25
7.28
7.17
7.93
0.293
27.0
16.3
双人
6.87
6.92
6.95
6.77
9.76
0.356
27.4
13.6
四人
6.33
6.42
6.48
6.13
11.75
0.574
21.0
18.1
八人
（重）
5.87
5.92
5.82
5.73
18.28
0.610
30.0
14.7
八人
（轻）
18.28
0.598
30.6
14.7
建立一个模型解释这种差别，并且提出，改变八人轻量级艇的尺寸，以便使轻、重量级组可在平等的基础上进行比赛。（［1］）
2.雇员们希望工资又高，工作时间又短。
（1）以一天的工资和工作时间为两个变量，作出雇员的无差别曲线族。注意：为了维持最低生活水平，雇员有一个最低工资标准和一个最少工作时间。说明曲线为什^么是你所画的那个形状。
（2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）作出计时工资线族。按照雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论雇员和雇主将在怎样的一条曲线上达成协议——雇员满意的工资和工作时间。
（3）设雇员和雇主已达成一个协议（工资和工作时间）。如果雇主想把雇员的工作时间增加到，他有两种办法，一是提高计时工资率，在上述曲线的另一点上达成协议；另一是实行超时工资制，即对工时仍按原计时工资率，对工时，付给更高的计时工资。问哪种办法对雇主更有利？
3.艺术品展览的安全性一座艺术品展览馆最近要展出一批具有极高价值的水彩图。展览馆馆长为确保这批画的安全，除了雇用几名保安人员在门口看守以外，决定在引入一套“电视监测系统”。用摄像机对展览馆进行扫描，将图像传输给监测室的电视放出来。如图1所示，在，川方两处各装一
台摄像机。
在展览馆的展墙上，每隔挂一幅画。两个摄像机镜头的视角为，完成一次1说3°20s来回扫描。但是，在监测室的工作人员只有的时间在观察电视画面。请你试着分析这个监测系统的安全性。在某一时刻，有多少幅画处于被监视的状态？写出在一个扫描周期内的时间与处于监测状态的画的幅数的关系式。
假设有一个小偷想偷走展览馆中的一幅水彩画，他能成功避开监测系统的可能性为多大？若镜头转动速度的改变对一切会有什么影响。（［2］）
7/1
20m
B
微分、差分方程模型
1.生理学中的简单防水舱模型
（a）把血液看作装有物质的防水舱，这种物质正在由生理机制所除去。哪一类方程能把该物质的浓度描述为时间的函数？我们需要简单的模型。怎样验证它们？
（b）我们讨论得具体点。假设这种物质的排出是由肾进行的，在这种情形下，排出的速度通常与单位时间内通过肾的物质的数量成正比。试以浓度为基础构造一个简单的模型
（c）设（b）中的物质是一种药物，其浓度为每100立方厘米2〜5毫克。如果药物是内服的，大约60％很快被吸收，其余部分多数被损失。在大约8小时内，正常人的身体能排除约50％的药物。一个正常的成年人大约有5升血液。试为这种药设计一个用量方案。
（d）多数药物是口服的，并且被血液吸收需要时间。同时药物正在由肾排出。对这种情况建立模型。这里是取自J.V.Swintosky的论文（1956）中的一些关于药物的数据。第一种药是磺胺嘧啶，第二种是水扬酸呐，用0表示口服，I表示静脉注射［对它应当应用（a）］。第一列中的“克”表示原服用量，其余的列表示用药后各种时刻血液中药的浓度。你的模型与它们拟合到什么程度？对于不一致的现象你能怎么解释？
表3.1浓度（毫克/立方厘米）
用法
克
1小时
2小时
4小时
6小时
8小时
10小时
12小时
24小时
O
O
I
I
4.0
4.0
1.8
1.8
2.3
1.8
3.8
3.7
2.7
2.8
3.4
3.3
3.6
3.9
2.6
2.7
3.0
3.5
2.1
2.3
2.6
2.0
2.2
一
一
O
I
I
10
10
20
5.0
39.4
56.7
一
一
14.4
31.4
43.0
一
一
15.7
24.2
35.2
12.5
16.2
26.6
(e)一般麻醉剂通常是通过肺吸收的。你认为在建立血液中麻醉药物浓度的模型时什么因素是重要的？试概述一个模型。肺吸收麻醉剂的速度可因麻醉剂的不同而有相当大的变化。麻醉医师检查被麻醉的病人来判断怎样调节麻醉剂的流量。你认为吸收速度是否应当考虑？说明理由。([1])2.在什么年龄你的朋友能否最快地结婚？什么因素使人们结婚？社会学家和心理学家一般认为同等地位的人的习性起主要作用。
(a)假设在某个小的时间间隔&内，一个人结婚的机会与加以及在这个人的年龄组中已婚人的比例成正比。证明这导致微分方程)
解出这方程。
(b)这模型可受到各种理由的批评。如它假设不考虑个人及年龄，只要是同等地位的人中已婚的人的比例相同，那么所有的人都感觉到同样的对结婚的压力。试批判地讨论这模型。
(c)设，这对模型有什么帮助吗？这微分方程的解是什么？用的性质确定在你的年龄组中将终于结婚的人占有什么比例？
(d)Hernes发现
log[C(0]=ab'logk,b<1
给出相当好的拟合，但的各种其他形式也能做到这样好。你能提出一个好的很可能具有的性质吗？
(e)我们没有顾及下列事实引起的问题：因为当你的同等地位的人较年轻时为零，于是微分方程预测它将始终为零。我们怎样能说服这一点呢？记住，我们现在是试图提供一个大致拟合情况的模型。)
(f)讨论怎样处理人与人不会完全相同这一事实。能用某种方式将这事实并入中吗？(我们可以期望C的平均值随时间下降，象更可能结婚的那些人所期望的那样)。c(')
(g)A.J.Coale(1971)发现，作年龄轴的线性变换兀二加一方，以及成婚比例轴的尺度变换，所得的曲线与
尸exp(-厂)
密切拟合。这与前面的讨论拟合到什么程度？(Coale利用了来自许多国家的数据;
Hernes利用美国人口普查的数据)([1])
3．我们公司通过广告进行竞争的最好方法什么？市场研究家为研究广告对顾客态度的影响，已建立了各种各样的模型。比较精致的模型常常考虑到不止一种类型的顾客态度，而每种类型至少有两个、有时甚至多个常熟要估计。显然复杂的模型能使数据拟合得更好，但实际上一个复杂的模型常常和其他模型差不多。从而这就成了一个精巧而缺乏数据的途径。这里你应该尽你所能去建立最简单的模型。
我们已经注意到，当广告中止时在我们公司的市场上顾客购买力的下降大体上象指数衰减(在实际生活中这常是相当好的近似)。看来下列假设是合理的：新顾客被我们的广告吸引过来的速度取决于现在还不批评我们产品的潜在市场的比例以及我们广告的水平。
（a）根据这些思想，构造一个简单的微分方程模型，给以评价。
（b）作出一些可用来检验你的模型的预测（不要忘记可能带来的费用）
（c）我们公司应当怎样使用下六个月的广告预算？是集中两周时间竞争再加上少量附
加的广告，还是在整个六个月中平均使用广告费？作为你的工作的一部分，你必须提供方案
的可取之处并且为之辩护。你需要公司为你提供的补充数据吗？你对你建议抱有多大信心？