物理专业实验
低 温 霍 尔 效 应
对通电的导体或半导体施加一与电流方向相互垂直的磁场，则在垂直于电流和磁场方向上有一横向电位差出现。这个现象与1879年为物理学家霍尔（E.H.Hall）所发现，故称为霍尔效应。利用霍尔效应，可以确定半导体的导电类型和载流子浓度。如果进一步测量霍尔系数随温度的变化，还可以确定半导体的禁带宽度、杂质的电离能及迁移率的温度特性等。所以，霍尔效应实验是研究半导体材料电学性能的重要方法，根据霍尔效应的原理还可以制成霍尔器件，用于测量磁场和功率等，在自动控制和信息处理等方面有广泛的用途。
通过本实验应掌握霍尔效应的原理、霍尔系数的测量方法，了解霍尔器件的应用，并进一步理解半导体的导电机制。
一、实验原理
1、半导体内的载流子。根据半导体导电理论，半导体内载流子的产生有两种不同的机构：本征激发和杂质电离。
（1）本征激发。半导体材料内共价键上的电子有可能受热激发后跃迁到导带上，在原共价键上却留下一个电子缺位——空穴，这个空穴很容易受到邻键上的电子跳过来填补而转移到邻键上。因此，半导体内存在参与导电的两种载流子：电子和空穴。这种不受外来杂质的影响由半导体本身靠热激发产生电子—空穴的过程，称为本征激发。显然，导带上每产生一个电子，价带上必然留下一个空穴。因此，由本征激发的电子浓度n和空穴浓度p应相等，并统称为本征浓度ni,由经典的波尔兹曼统计可得
ni,= n = p = ( Nc Nv)1/2exp(-Eg∕2KT)
= K’T3/2exp(-Eg∕2KT). (1)
式中Nc, Nv 分别为导带、价带有效状态密度，K’为常数，T为温度，Eg为禁带宽度，K为波尔兹曼常量.
(2) 杂质电离。在纯净的第Ⅳ族元素半导体材料中，掺入微量Ⅲ或Ⅴ族元素杂质，成为半导体掺杂。掺杂后的半导体在室温下的导电性能主要由浅杂质决定。
如果在硅材料中掺入微量Ⅲ族元素（如硼或铝等），这些第Ⅲ 族原子在晶体中取代部分硅原子位置，与周围硅原子组成共价键时，从邻近硅原子价键上夺取一个电子成为负离子，而在邻近失去一个电子的硅原子价键上产生一个空穴。这样满带中的电子就激发到禁带中的杂质能级上，使硼原子电离称硼离子，而在满带中留下空穴参与导电，这种过程称为杂质电离。产生一个空穴所需的能量称为杂质电离能。这样的杂质叫做受主杂质，由受主杂质电离而提供空穴导电为主的半导体材料称为p型半导体。当温度较高时，浅受主杂质几乎完全电离，这时价带中的空穴浓度接近受主杂质浓度。
同理，在Ⅳ族元素半导体（如硅、锗等）中，掺入微量Ⅴ族元素，例如磷、砷等，那么杂质原子与硅原子形成共价键时，多余的一个价电子制受到磷离子p+的微弱束缚，在室温下这个电子可以脱离束缚使磷原子成为正离子，并向半导体提供一个自由电子。通常把这种向半导体提供一个自由电子而本身成为正离子的杂质称为施主杂质，以施主杂质电离提供电子导电为主的半导体材料叫做n型半导体。
2、霍尔效应。一矩形载流的半导体材料，如果在垂直的方向上施加一磁场B(如图1所示)，结果在半导体内与电流和磁场相互垂直的方向上，产生一横向电位差V H,这种现象称为霍尔效应，V H称为霍尔电压。
（1）一种载流子导电的霍尔系数。假设一块厚为a宽为d的n型（电子型）半导体样品，如图1所示。沿x方向的电流密度为jx,B沿z方向，以平均漂移速度v沿垂直于B的- x方向运动的载流子，受到洛伦兹力FL = q ( v × B )的作用。向- y方向偏转，则载流子在边界侧沿y轴方向渐渐积累而建立起一电场EH，对载流子受洛伦兹力的偏转产生一阻力FB = qEH。直到与洛伦兹力相平衡为止，即
q ( v × B )=qEH, (2)
上式用标量表示为
EH = vBz。 （3）
由此可知，合成电场E=Ex + EH 与x轴构成一夹角θ，称为霍尔角。考虑到n型半导体中多数
载流子是带负电荷的电子，则有q= - e (其中e =1.6×10-19C)是电子电荷。因此n型半导体多数载流子的平均漂移速度
式中n为导带电子浓度。因此，霍尔电压
VH = EHd = RIxBz∕a , (5)
式中a为样品厚度，R为霍尔系数，
R = -1∕ne . (6)
同理对于p型半导体样品（空穴型）考虑到多数载流子是带正电的空穴，对式（4）以（e）替换（-e）同样得到式（5）的形式，但p型的霍尔系数R应为
R = 1∕pe , (7)
式中p为价带空穴浓度。由式（6.4.5）可得，霍尔系数表达式
式中VH , Ix,a, Bz单位分别为伏特（V）、安培(A)、米(m)和特斯拉(T) 。若测出Ix, Bz和VH的大小和方向就可以按上式计算出霍尔系数R ,并按R的符号根据式（6）和（7）确定样品的导电类型。
以上讨论是基于载流子具有一个恒定的漂移速度，但实际上载流子运动的速度是遵循麦克斯韦速度分布，且不断受到晶格和电离杂质散射等影响而改变的。因此精确计算时,式（6）和（7）应进行修正：
p型半导体，
n型半导体，
式中μp,μn分别为空穴、电子迁移率，μH称为霍尔迁移率。对于以晶格散射（长声学波散射）为主的等能面为球形的非简并样品，比值和(μH∕μn)可近似为3π∕8；以电离杂质散射为主的低阻样品，比值（μH∕μp）和(μH∕μn)可取1.93；高度简并情况的低阻样品，比值取1。
（2）两种载流子导电的霍尔系数。如果在半导体中同时存在数量级相同的两种载流子，那么在考虑霍尔效应时，就必须同时计及两种载流子在磁场下偏转的结果，它们有可能使横向的电子电流和空穴电流大小相等、方向相反，其横向的总电流为零。从理论上可以证明，电子和空穴混合导电并计及载流子速度的统计分布时，霍尔系数为：
式中b = μp∕μn，μ为载流子迁移率。对于单纯一种载流子导电p型（n = 0）或n型（p = 0）公式（11）就变为式（9）或（10）的形式。
3、变温霍尔系数。由于半导体内载流子的产生存在两种不同机构：杂质电离和本征激发。在一般半导体中两种导电机构总是同时起作用，即载流子即可来自杂质电离，又可来自本征激发，但要看哪一种占优势而起主要作用，因两者所需要的能量不同，取决于所处的温度，因此霍尔系数将随温度变化而变化。下面以n型为例分三个温度范围讨论R ～ T之间关系，并根据曲线斜率求出禁带宽度Eg、杂质电离能Ei
（1）本征导电区。图（2）中A点左侧，属于电子和空穴混合型导体，本征载流子浓度ni,= n = p，即为式（1）。根据式（11）霍尔系数表达式
本征导电时，本征载流子浓度ni,随温度变化远大于迁移率μ随温度的变化，因此载流子浓度与温度的关系起主导作用，而认为μ与T特斯拉效应无关，由式（1）和（12）简化为
R = AT -3/2e Eg/2KT
高温时（T -3/2）项对R的影响远小于e Eg/2KT项的影响，因而R与T的关系可近似为
R = B e Eg/2KT (13)
上式两边去对数后得
由此，可作lgR-1∕T 曲线，并由曲线斜率求出禁带宽度Eg的表达式
式中K为波尔兹曼常数，lge=0.4343.
(2) 杂质饱和电离区。如图（2）中AB之间。饱和区范围内杂质已全部电离，载流子浓度与电离杂质的浓度相等（n ≈ Nd）且为一恒定值。霍尔系数由式（10）得
由于μH∕μn的值随散射过程而异，所以R与T的关系取决于载流子散射机理。对于以晶格散射为主的n型高阻样品，(μH∕μn)将随温度T升高而增大，所以lgR随1/T增大而减小，如图（2）中曲线I所示；以杂质散射为主的n型低阻样品，(μH∕μn)几乎与温度T无关，lgR-1∕T 曲线近似一水平直线如图（2）中曲线Ⅱ所示。
(3)杂质电离区。如图（2）所示，当B点右侧区域的温度很低时，杂质未能全部电离，样品载流子浓度n 小于施主杂质浓度Nd，（n ＜ Nd ）载流子浓度与温度关系
n = K＇T 3/4e - Ei /2KT , (17)
式中K＇为常数，Ei为施主杂质电离能，玻尔兹曼常量K =8.62×10-5(eV/k).把式（7）代入式（10），其中（μH∕μp）项可认为与温度无关，则得
R = A＇T -3/4e Ei /2KT , (18)
式中A＇为常数。由于温度很低（T -3/4）项不能忽略，于是改写为
R T 3/4= A＇e Ei /2KT , （19）
同理可以求出样品的杂质电离能Ei（请同学自己推出公式）
4、实验中存在的副效应。测量霍尔电位过程伴着一些热磁效应所产生的电位，叠加在测量值VH 上，引起测量误差。这些副效应是：
（1）爱廷豪森（Ettinghauson）效应。载流子在电场和磁场作用下发生偏转时，其动能以热能形式释放出来，在y方向会产生温差（ӘT∕Әy）E,引起一温差电位VE ∝IxBz ,其方向取决于电流I 和磁场B的方向；
（2）里纪-勒杜克（Righi-Leduc）效应。当沿x方向有一热流Q流过样品时，在z方向存在磁场B，则y方向上存在一温度梯度场（ӘT∕Әy ）RL，引起温差电位VRL ∝QxBz ,其方向由B的方向决定。
（3）能斯脱（Nerust）效应。即使没有电流通过样品，只要x方向有一热流Q，z方向存在B，则y方向有一电势VN ∝QxBz ,其方向由B的方向决定。
（4）样品两侧电极不在理想的等位面时，存在一差值电阻r，即使不加B仍存有一电位差，V0=Ix•r ,其值与VH可能同一数量级，而方向由I方向决定。另外样品所处空间沿y方向存在温度梯度场时，会引起温差电位Vr .
在实际测量中为了求得VH的真值，消除上述效应带来的误差，可采用改变流过样品上的电流和磁场方向的方法，使V0，VN，VRL，和Vr从测量结果中消去。
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