摘 要
本论文解决的是交通流量的问题。本文根据某城市的单行道各交叉路口流入流出量相等列出方程组，利用线性代数的相关知识，求得各交叉路口交通流量通解为，此结果即为交通流量图的模型。
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关键词：流入等于流出 线性代数 通解
一、问题重述
在某市中心单行道交叉路口，驶入和驶出如图所示，图中给出了上下班高峰时每个道路交叉口
的交通流量（以每小时平均车辆数计），利用所学知识，建立这个交通流量图的模型。
二、问题分析
城市道路网中每条道路，交叉路口车流量分析是改善评价交通情况的基础。必要时设置单行线，减少了转弯时的交通容量，解决了大量车辆长时间拥堵问题。
几条单行道彼此交叉，存在交叉点分别为A、B、C、D。本题给出了上下班高峰时每个道路交叉口的每小时交通流量。对于四个点流入量等于流出量，从而得出方程组，利用增广矩阵
的初等变换，求出齐次方程组的解，得到线性方程组的通解，从而得最终结果。
三、问题假设
（1）假定全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；
（2）假定全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.
（3）假定汽车行驶的方向随机且概率相同
（4）假定每个道路交叉口的交通流量（以每小时平均车辆数计）
（5）假定车与车之间是相互独立的，互不影响
四、符号说明
（Ab）：方程组的增广矩阵
：方程组的一个特解
：导出组的基础解系
：方程组的通解
五、模型建立与求解
在每一个路口处可根据进出的汽车流量相等关系,建立一个线性代数方程。则列出以下线性方程组：
整理得线性方程组为：
作方程组的增广矩阵，并对它施以初等行变换：
则，所以其线性方程组有无穷解
即原方程组与方程组
同解，其中x5为自由未知量。
令，得方程的一个特解
原方程的导出组与方程组
同解，其中x5为自由未知量。
令，即得导出组的基础解系
因此原方程组的通解为
（k1为任意实数）
于是方程组的通解其中k1为任意常数，所以x有无穷多解.
但是根据题意，即
所以符合交通流量图的模型为
六、模型结果分析与检验
分别将k取最最大值600和最小值0带入通解公式，求得，将其带入图中，交通顺畅，基本不会造成车拥堵现象。因为两种极限情况符合要求，所以通解符合要求，模型结果可靠，具有推广意义。
七、模型评价
1、模型的优点：此模型比较充分的的考虑了题目中的约束条件，简单明了，采用线性代数的方法确立最终模型，建立的模型贴近实际，具有推广意义和参考价值。
2、模型的缺点：模型与实际情况存在一定差异，没有考虑自然条件影响，仍有理想化的地方。
八、参考文献
1.赵树嫄，《线性代数》，中国人民大学出版社
2.傅家良，《运筹学方法与模型》，复旦大学出版社
3.胡建，《线性代数》，化学工业出版社
4.钱春林. 《线性代数》，高等教育出版社
5.姜启源等编，《数学模型》，高等教育出版社
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