“不空也不满”与“方案决策”
            ——例析用不等式组解决生活问题
                              晋三中  刘华
不等式是刻画现实世界中量与量之间不等关系的重要数学模型，利用不等式(组)可以解决生活中的一些实际问题，其中，“不空也不满”型问题和“方案决策”型问题又是近年中考的热点题型，下面结合具体实例解析如下：
一、“不空也不满”型问题
例：用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，请问：有多少辆汽车？多少吨货物？
分析：解决此类问题的关键在于正确理解“不空也不满”的意思，可以先考虑“不满”是什么意思？再考虑“不空”是什么意思？然后再结合起来考虑，最终将它译成数学语言。本题“最后一辆汽车不满也不空”的意思是这一辆汽车装的货物大于0吨而小于8吨。另外，此类题型比较有
规律性，它有两个条件，中间用分号隔开，第一个条件用来设未知数，第二个条件用来列不等式组。本题具体解法如下：
解：设有辆汽车，则共有吨货物，依题意知：最后一辆汽车装的货物大于0吨，小于8吨，而最后一辆汽车装的货物=总货物－其余汽车装的货物。注：其余汽车为(－1)辆。于是有
    解得：
∵是正整数
∴取6，总货物=4×6+20=44(吨)
答：有6辆汽车，44吨货物。
【针对练习】将一筐苹果分给若干儿童，如果每人分4个苹果，则剩下9个苹果；如果每人分6个苹果，则最后一个儿童分得的苹果将少于3个，问：共有几个儿童？几个苹果？
二、“方案决策”型问题
例：今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨。
⑴该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？
⑵若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少？
分析：①本题的主要关系式为：甲货车装的荔枝+乙货车装的荔枝≥30吨；甲货车装的香蕉+乙货车装的香蕉≥13吨，通过解不等式组求出甲(或乙)车辆数的取值范围，从而得到方案数。
②要判断哪种方案运费最少，可用列举法分别求出各种方案的运费，再比较数值大小来确定。另外也可以建立一个总运费的一次函数模型，通过一次函数的增减性来确定最少运费的方案。
解：⑴ 设安排甲种货车辆，则安排乙种货车辆，依题意得：
      解得：
∵是正整数
∴取5，6，7，即安排甲、乙两种货车共有三种方案：
①甲货车5辆，乙货车10-5=5辆；
②甲货车6辆，乙货车10-6=4辆；
③甲货车7辆，乙货车10-7=3辆；
⑵ 方法一：
方案①需要运费=2000×5+1300×5=16500(元)
方案②需要运费=2000×6+1300×4=17200(元)
方案③需要运费=2000×7+1300×3=17900(元)
∵16500＜17200＜17900
∴方案①运费最少，最少运费是16500元。
方法二：设安排甲种货车辆，则安排乙种货车辆，总运费为W 元，依题意得：W=2000+1300，化简得：
  ()
∵在一次函数中，ｋ=700＞0，W与同增同减
∴当取最小值5时，W最小，W最小=700×5+13000=16500(元)
【针对练习】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千元，计划用这两种原料生产A、B两种产品，共50件，已知生产一件A种产品要用甲原料9千克，乙种原料3苹果汽车千克；生产一件B种产品要用甲原料4千克，乙种原料10千克。请根据条件安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？并设计出来。
总之，对于不等式(组)的应用题，我们要从题目中挖掘出所隐含的数量关系：运输问题中，
运输量≥总货量，(全部运完，宁可车不装满，也不能剩)，生产问题中，所用原料量≤总原料量，(宁可不用完，也不能不够用)。当然，对于不同问题还需考虑具体条件，因题而异，仔细分析。生命在于运动，知识在于运用，运用不等式(组)，我们还可以解决很多的生活问题。