2020-2021学年湖南省长沙一中集团七校联考九年级（上）第三次月考数学试卷（12月份）
1.若函数y=(a−1)x2+2x+a2−1是二次函数，则()
A. a≠1
B. a≠−1
C. a=1
D. a=±1
2.关于二次函数y=2x2−8x，下列结论中正确的是()
A. 图象与x轴有两个交点
B. 当x=2时，y有最大值−8
C. 当x>1时，y随x的增大而增大
D. 函数图象开口向下
3.若二次函数y=kx2−4x−2与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是()
A. k>−2
B. k>−2且k≠0
C. k<2
D. k≥−2且k≠0
4.对于反比例函数y=−2
x
，下列结论：①图象分布在第二、四象限；②当x>0时，y随x的增大而增大；③图象经过点(1,−2)；④若点A(x1,y1)，B(x2,y2)都在图象上，且x1<x2，则y1<y2，其中正确的是()
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
5.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金
分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，则下列结论中
正确的是()
A. AB2=AP2+BP2
B. BP2=AP⋅BA
六大汽车集团
C. AP
BP =√5−1
2
D. BP
AP =√5−1
2
6.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE=
2AE，DF=2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则
S
四边形EHFG
S
菱形ABCD
的值为()
A. 1
9
B. 1
6
C. 1
3
D. 2
9
7.如图所示，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△
ACB的是()
A. AB
AP =AC
AB
B. BC
BP
=AC
AB
C. ∠ABP=∠C
D. ∠APB=∠ABC
8.将抛物线y=−5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的
抛物线为()
A. y=−5(x+1)2−1
B. y=−5(x−1)2−1
C. y=−5(x+1)2+3
D. y=−5(x−1)2+3
9.已知反比例函数y=2k−3
x
的图象经过点(1,1)，则k的值为()
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
10.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，
下列结论：
①abc>0；②b2−4ac>0；③8a+c<0；
④5a+b+2c>0，
正确的有()
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
11.已知a
2=b
3
=c
5
，则a+b
c
的值为______．
12.如图，直线y=x+m与双曲线y=3
x
相交于A，B两点，BC//x轴，AC//y轴，则△ABC面积的最小值为______．
13.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平
分∠ACB，若AD=2，BD=3，则AC的长_________．
14.如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，
分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD
与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．
(1)HE：AH=______ ；
(2)S△AFE：S正方形ABCD=______ ．
15.若二次函数的图象的对称轴方程是x=3
，并且图象过A(0,−4)和B(4,0)
2
(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴x=3
对称的点A′的坐标；
2
(2)求此二次函数的解析式．
16.如图，矩形OABC的两个顶点A，C分别在y轴和x轴
(x>0)和y2=
上，边AB和BC与反比例函数y1=4
x
k
(k>0,x>0)图象交于E，F和点H，G.AE：AF=2：
x
3．
(1)求反比例函数y2的解析式；
(2)若点C的坐标为(8,0)，求GH的长．
17.已知抛物线y=(x−m)2−(x−m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
(2)若该抛物线的对称轴为直线x=5
．
2
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公
共点．
18.已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点(不
与B，C点重合)，∠ADE=45°.求证：△ABD∽△DCE．
19.已知：△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG，点D、G分别在AC、BC上，E、F在AB
上；
(1)若AC=3，BC=4，求DG的长；
(2)如图2，四边形HPEQ、MNRF为正方形，设正方形HPEQ、MFRN、DEFG的边
长分别为a、b、c，求证：a+b=c．
20.某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关
信息如下表：
时间x(天)1≤x<5050≤x≤90
售价(元/件)x+4090
每天销量(件)200−2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？