尹伟奇1，姚振汉1，薛小香1，洪宗跃2
(1.清华大学工程力学系，北京 100084;2.北京橡胶工业研究设计院，北京 100039)
摘要：以MSC.Marc软件为平台，建立子午线轮胎的三维非线性稳态滚动有限元模型。在模型计算中，考虑了轮胎的静态载荷施加过程、自由滚动过程、完全刹车滑动过程、防抱死刹车过程和牵引过程，得到了轮胎接地面的接触应力分布情况及轮胎牵引力与转速之间的关系等结果，有利于进一步了解轮胎的动态性能。
关键词：子午线轮胎；非线性有限元分析；帘线2橡胶复合材料；加强筋模型；稳态滚动
中图分类号:TQ336.1+1;O241.82 文献标识码:A 文章编号:10002890X(2005)0720389207
在轮胎设计过程中，有限元分析是结构和动态特性分析的有力工具[1]。轮胎有限元分析的关键是力学模型的建立。国外许多大轮胎公司都将有限元法引入轮胎分析及优化设计中，并在此基础上建立了一系列轮胎设计新理论，如RCO T, STEM,CSSO T,DSOC2T和PD EP等。在有限元静力分析方面已取得了很好的效果。
装在车上的轮胎最终是要运动的，只对其进行静态分析是不够的，因此，需要借助有限元方法对其进行滚动分析。在有限元分析中，圆柱形的可变形体在拉格朗日框架下的接触分析的计算成本有时很大，它不仅需要作与时间相关的瞬态处理，还需要将整个结构细分网格以便取得准确的接触特性。然而，完全轴对称结构仅涉及定常移动/转动速度时，如果采用的参考系与物体一起运动但不绕旋转轴转动，这些问题可认为是稳态的。
本研究以MSC.Marc软件[2]为平台，考虑橡胶材料的非线性和不可压缩性、帘线2橡胶复合材料的各向异性、轮胎大变形导致的几何非线性以及轮胎与路面的接触非线性边界条件，建立子午线轮胎的三维非线性稳态滚动有限元模型。
1 稳态滚动分析原理
111 运动方程
研究如图1所示的轴对称物体。物体绕对称
作者简介：尹伟奇(19802)，男，湖南邵阳人，清华大学在读硕士研究生,
主要研究方向为计算固体力学。
图1 轮胎运动示意
轴T s在点P s以角速度ωs旋转，同时以侧偏角速度ωc在点P c绕轴T c转动。假设物体上有一质点在t=0时位于P0，在t时刻，其运动由三部分组成:
・由于旋转从P0运动到位置X;
・由于变形从X运动到位置Y,Y=D(X),D 为由稳态条件得到的与时间相关的函数;
・由于侧滚由Y运动到Z。
3个运动可描述为:
X=R s(P0-P s)+P s(1)
Y=D(X)(2)
Z=R c(Y-P c)+P c(3)式中
R s=exp( ωs t)(4)
R c=exp( ωc t)(5)
在式(4)和(5)中, ωs 和 ωc 为非对称张量,
矢量r 与旋转张量ωs T s 和ωc T c 的关系如下:
ωs r =ωs T s ×r (6) ωc r =ωc T c ×r
(7) 对式(4)和(5)求导，得
R s = ω
s R s (8) R c = ω
c R c (9) 对式(3)求导可得质点速度(v ):
v =R c [ωc T c (Y -P c )+ωs
5D
5
α](10)
式中,α=ωs t ，为旋转角。
类似地，对式(3)进行二次求导可得加速度
(a ):
a =R c [ω2
c (T c T c -I )(Y -P c )+2ωs ωc T c 5D 5
α+ω2s 52
D 5α2](11)
式中, 为张量积,I 为单位张量。
在式(10)和(11)前乘R T c 转换为:
v =ωc T c (Y -P c )+ω2s
5D
5
α(12)
a =ω2
c (T c T c -I )(Y -P c )+
2ωs ωc T c 5D α+ω2s 52
D α2](13)
112 惯性影响
惯性对系统方程右端项的影响可采用变分形
式计算得到:
δπ=∫
ρa δu d V =-ρω2c
∫
V
(T c T c
-I )・
(Y -P c
)δu d V -2ωs ωc
∫V
T
c
5D
5α
δu d V +ρω2s
∫V
5D 5α・
5δu 5αd V
(14)式中,ρ为密度,V 为体积,u 为位移。
将式(14)线性化得:
Δδπ=-ρω2c
∫
V
Δu (T c T c
-
I )・(Y -P c
)δu d V -2ωs ωc
∫V
T
c
5
Δu αδu d V +
ρω2s
∫V
5Δu 5α・
5δu 5αd V
(15)式(15)可用于计算惯性影响对刚度矩阵的贡献。113 转动接触
为了在接触中考虑转动的影响，将式(12)中
的速度矢量分解为法向和切向分量。在接触表
面，对于所有与地面接触的节点，其法向分量被强制为零。用于摩擦力计算的相对滑移速度是切线分量与地面运动的速度差。
2 子午线轮胎的三维稳态滚动有限元模型
子午线轮胎主要包括胎面、胎肩、胎侧、胎体、
带束层和胎圈等部位[3]。胎侧、胎面和胎圈护胶等使用硬度不同的胶料；胎体、带束层、胎圈包布和钢丝圈都是一层或多层帘线2橡胶复合材料。211 有限元网格划分
为了更好地模拟帘线2橡胶复合材料，需合理简化模型，本研究利用软件提供的加强筋模型来模拟轮胎中复杂的多层帘线2橡胶复合材料。利用加强筋模型可以直接在Marc 前处理中定义轮胎中不同部位帘线的角度和位置，比一般的复合材料模型更能真实地模拟帘线2橡胶复合材料的几何和材料非线性。
首先在Marc 中调入轮胎的材料分布CAD 图，划分网格，得到轮胎子午面的网格划分图，如图2所示。使用该二维轴对称非线性有限元模型可以模拟轮胎轮辋定位2充气2自由旋转的过程[4]。使用MSC.Marc 软件中提供的方法，可以方便地由轴对称网格旋转拉伸成三维模型(如图3所示)，并且接地部位网格划分得比较细。设轮胎的转轴为X 轴方向，轮胎行驶方向为Z 轴方向，静态负荷在Y 轴方向。212 材料模型
纯橡胶材料采用Mooney 2Rivlin 非线性弹性材料模型[5～7]，通过对单轴拉伸或单轴压缩、平面拉伸(纯剪切)及等轴双拉等简单试验测得的数据进行曲线拟合，可以得到相应的材料参数；带束层、胎体、钢丝圈和胎圈包布采用加强筋模型[8,9]，对橡胶基体和帘线分别定义，橡胶基体采用Mooney 2Rivlin 模型，帘线采用线弹性模型。213 单元模型
三维模型采用8节点实体单元，共有16730个单元13651个节点。为解决不可压缩性，橡胶材料单元采用基于Herrmann 公式[10]的不可压缩单元，其在中心点增加了静水压自由度；加强筋材料采用相应的加强筋单元，有5530个。
图2
有限元网格划分
图3 三维网格模型
214 边界条件
根据轴对称模型和三维有限元静力模型计算
分析可知，轮胎2轮辋接触边界条件对轮胎与地面之间的接触作用影响不大；同时，由于接触分析很耗费计算资源，且不易收敛，因此在本研究的稳态滚动计算模型中简化了轮胎与轮辋的接触边界条件，限制与轮辋装配接触的节点和钢丝圈节点的位移自由度，如图4所示。模型考虑了轮胎与路面的接触边界条件，通过直接约束法来解决接触问题，将路面定义为刚性体，通过控制点来控制地面的位移和受力，定义轮胎与刚性路面之间的接触关系。215 载荷工况
在模型中共包括以下几种载荷工况:(1)充气压力：施加在轮胎的内表面;
(2)静负荷：通过路面相对于轮胎轴心的位移或者给定路面的作用力来实现;
(3)稳态滚动：通过轮胎的转速控制
;
图4 轮胎2轮辋接触边界条件的简化示意
(4)自由滚动：通过轮胎的扭矩控制。
模型采用了新的Lagrange 格式的增量方
法[11]来处理轮胎的大变形几何非线性，并考虑了随动载荷(充气压力)。3 计算结果分析311 接地面分析
在未考虑摩擦的有限元静力分析中，加载1120kg 后轮胎的变形如图5所示，轮胎接地面上接触正应力分布如图6所示，接地面中心周向
节点和轴向节点的接触正应力分布分别如图7和8所示。从图7和8可以看出，施加静态载荷后，轮胎接地面内最大值并不出现在接地面中心，而是偏离中心节点。312 牵引力与轮胎运行角速度的关系
轮胎行驶速度为100km ・h -1,
在其转动角
图5 加载后轮胎变形位移
图6
轮胎接地面接触正应力分布云纹
钢丝轮胎图7 施加静态载荷时轮胎接地面中心周向节点
的接触正应力分布
图8 施加静态载荷时轮胎接地面中心轴向节点
的接触正应力分布
速度从零提高到16.4r ・s -1的过程中，地面对轮
胎的摩擦牵引力与轮胎的转动角速度呈一定的关系，如图9所示。从图9可以看出，牵引力与摩擦因数关系很大，摩擦因数越大,
在相同转动角速度
图9 不同摩擦因数下牵引力与转速的关系
摩擦因数:1—0.5;2—0.8。
下，地面提供的摩擦牵引力也越大。
313 接地面摩擦应力分布
在不同行驶速度下完全刹车(轮胎抱死、转速为零)时接地面中心周向节点和轴向节点的Z 方向摩擦应力分布分别如图10和11所示(摩擦因数为0.5)。
在100km ・h -1的行驶速度下以不同转动角速度刹车时接地面中心周向节点和轴向节点的Z 方向摩擦应力分布分别如图12和13所示(摩擦因数为015)。
从图10～13可以看出，在刹车时，地面对轮胎的摩擦应力分布很不均匀，最大摩擦应力值出
现在接地面的前端(即行驶方向)。
在100km ・h -1的行驶速度下以不同转动角速度牵引时接地面中心周向节点和轴向节点的
Z 方向摩擦应力分布分别如图14和15所示(摩擦
图10 完全刹车时轮胎接地面中心周向节点
的摩擦应力分布
行驶速度(km ・h -1):1—20;2—40;3—60;4—80;5—100。
图11 完全刹车时轮胎接地面中心轴向节点
的摩擦应力分布
注同图10
。
图12 刹车时轮胎接地面中心周向节点
的摩擦应力分布
转动角速度(r ・s -1):1—0;2—1.64;3—3.28;4—4.92
。
图13 刹车时轮胎接地面中心轴向节点
的摩擦应力分布
注同图12。
因数为0.5)。
从图14和15可以看出，在轮胎处于牵引状态时，地面对轮胎的摩擦应力分布也很不均匀,
最
图14 牵引时轮胎接地面中心周向节点
的摩擦应力分布
转动角速度(r ・s -1):1—11.48;2—13.12;3—14.76;4—16.40
。
图15 牵引时轮胎接地面中心轴向节点
的摩擦应力分布
转动角速度(r ・s -1):1—13.12;2—14.76;3—16.40。
大摩擦应力值出现在接地面的后端(即行驶方向
的反方向)。314 自由滚动分析
设轮胎扭矩为零来模拟轮胎的自由滚动过程。行驶速度从零逐渐提高到100km ・h -1时，轮胎行驶速度与转动角速度的关系如图16所示。
从图16可以直接得到轮胎在不同行驶速度下自由滚动时的转动角速度。从图16还可以看出，垂直负荷一定时，轮胎的行驶速度与转动角速度之间呈线性关系。轮胎在自由滚动状态下转动角速度与摩擦力的关系如图17所示。从图17可以看出，在自由滚动状态下接地面的摩擦力很小，与刹车时的情况相比，几乎可以忽略不计。
轮胎在不同速度下自由滚动时与路面间的摩
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