一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间
不超过3分钟的概率．
解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为
⎩⎨
⎧∉∈=]5,0[,0]
5,0[,1)(x x x f 于是有.6.05
3
)()30(3
===
≤≤⎰
dx x f X P
二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,
0;0,8001)(800x x e x f x
任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．
解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则
287.0800
1)1000()()()(45
10008001000800321≈=-==>===-∞
+-∞
+-⎰e e dx e X P A P A P A P x
x
)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=
638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=
（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则
287.0800
1)1000(4
51000
800
1000800
≈=-==>-
∞+-∞
+-⎰e
e dx e X P x
x
从而有713.01)1000(1)1000(4
5≈-=>-=≤-
e
X P X P ，进一步有
638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P
三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有
).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥
这个性质叫做指数分布的无记忆性．
(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上
的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有x
e
x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．
设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有
)
(1)
(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥===
=≥+≥
t
s
t s e e e λλλ--+-=----=]
1[1]1[1)(． 另一方面，我们有
t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．
综上所述，故有
)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．
（２）由题设，知X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤>=-．，
；
，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用
5年以上的概率为
6065.01.0)()5()5(5.05
1.05
1.05
≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰
⎰
e e dx e dx x
f X P s X s X P x
x ．
答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．
四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2
)
3(2X X Y -=
． 解：X 的分布律为
（1）X Y 211-=的分布律为
（2）2
)
3(2X X
Y -=的分布律为
即
五、设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧
≤>+=.0,
0;0,)1(2)(2x x x x f π
求随机变量函数X Y ln =的概率密度．
解：因为)()()(ln )()(y
X y Y e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为
)( )
1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y y
y
y
y
y
X
Y
Y π，即
)( )
1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y
y
Y π． ８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布
一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示
两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为
Y 的边缘概率分布为
二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数
)3
arctan )(2arctan (),(y
C x B A y x F ++=．
求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞+=∞+-∞F F F ，得
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12
πA =
（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2
y x y x F ++=
πππ
，所以（X ，Y ）的联合概率密度为 .)
9)(4(6),(),(2
22"
y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 x
x
x
X x
dx x dy y x f dx x F ∞
-∞-∞
-+∞
∞
-=+==⎰
⎰
⎰
2
arctan
1)4(2),()(2ππ
2
arctan 121x π+=
y
x
y
Y y
dy y dx y x f dy x F ∞
-∞-∞
-+∞
∞
-=+==⎰
⎰⎰
3
arctan
1)9(3),()(2ππ
3
arctan 121y π+=
X 及Y 的边缘概率密度分别为
⎰⎰
⎰
+∞+∞
∞-+∞
∞-++⋅=++==0222222)
9(1
)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )
4(2)3arctan 31()4(11220
22x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==02
2222241
)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ
)
9(3)2arctan 21()9(122
022y x y +=+=∞+ππ
三、设),(Y X 的联合概率密度为
⎩
⎨⎧>>=+-., 00;
0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f
求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X
落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由
1),(=⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dy dx y x f ，有16
1
32==
⎰⎰∞+∞
+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞
-其它0
,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x x
y
⎩⎨⎧>>--=--其它0
0,0)1)(1(32y x e e y x
（3）X 及Y 的边缘概率密度分别为
⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞
+∞-⎰⎰000200
06),()(2032x x e
x x dy e e dy y x f x f x y x X
⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰000300
06),()(3032y y e
x x dx e e dx y x f y f y y x Y
（4）⎰
⎰⎰⎰
---==
∈x y x
R dy e dx e
dxdy y x f R Y X P 32
20
33
26),(}),{(
630
6271)(2---⎰-=-=e dx e e x
四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2
x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：
(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为
⎩
⎨
⎧∉∈=.),(, 0;
),(,),(R y x R y x C y x f 则由
12
9)322()2(21322
12
2
21
2
==-+=-+==--+-⎰⎰
汽车指数⎰⎰⎰C
x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R
解得9
2
=
C ．故有 ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;
),(,92
),(R y x R y x y x f
(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 22
1
2210229292),()2(
⎰⎰-++=
212
10)2(92292dx x x xdx 27
13
)
322(92922132102=-++=x x x x ．
13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2
N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．
解：(1) )4.22
1
3.1()8.416.2()8.56.1(<-≤
-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ
(2) )78.12
1
78.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---=
.0402.09973.09625.02=--
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