东风汽车工程研究院 陈耀明 2006年5月
前 言
少片变截面钢板弹簧在我国已有多年的制造和使用经验，特别是大、中型客车，采用者相当广泛。然而，涉及变截面簧的设计计算方法，虽然二十几年前悬架专委会曾做过一些介绍，但资料零散、重复、不完整，尤其是比较常用的加强型变截面簧，资料反而欠缺。撰写本文的目的，就是为悬架设计者提供变截面簧的比较完整的设计计算资料，主要是刚度计算公式和应力分布计算方法。变截面簧轮廓线包括梯形和抛物线形两大类，每类又含有根部、端部加厚，或只有根部加厚，或都不加厚等几种变型。这样，可以说几乎所有的变截面簧轮廓线都可在本文到计算公式。此外，本文还介绍了各种轮廓线的选型原则以及若干设计经验等，可供设计人员参考。
附录中列出已有资料中的一些计算公式，并证明了它们和本文公式的一致性。本文的式（1）～（3）引自日本资料“自动车用重型钢板弹簧”，其它公式（6）～（15）是笔者近期重新推导出来的。当然，有一些和过去推导出来的公式完全一致。 一、 纵截面为梯形的变截面弹簧
这种弹簧的轧锥部分（3l ～4l 段）为梯形，而根部和端部都将厚度增大，称为加强型变截面簧，见图1。图1为四分之一椭圆钢板弹簧，其刚度计算公式为：
6
54321αααααα+++++=
E
K ----------------（1）
若对称地扩展成为半椭圆钢板弹簧，其总刚度为：
6
543212αααααα+++++=
E
K ----------------（2）
若弹簧由若干等长、相同轮廓线的叠片所组成，则其合成的总成刚度为：
6
543212αααααα+++++=
汽车除甲醛nE
K ----------------（3）
式中 )/(10058.22
5
mm N E ×=为弹性模数
n 弹数，单片弹簧1=n
31
3
114bt l =α
⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡++−+−+−−=
122
111212122112221221113
2ln 223)(22212
t t t Al t t l A t Al t t l A t Al t bA α )(43
23332
3l l bt −=
α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+−+−−=232232222323322
32322
2
3234ln 223)(22212t t t Bl t t l B t Bl t t l B t Bl t bB α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+−+−−=3423
4323242443242
4223
4335ln 223)(22212t t t Cl t t l C t Cl t t l C t Cl t bC α )(43
53634
6l l bt −=
α
而 121
2l l t t A −−=
342
3l l t t B −−=
4
53
4l l t t C −−=
其中 b 弹簧宽度
实际应用中，有些弹簧的轮廓线有所简化，见图2，其刚度计算式也有所变化： 1、
增厚转折点急剧变化，2型。
这时，21l l = ，02=α ； 54l l = ，05=α 。
将1α ，3α ，4α ，6α代入式（1）～（3）求解。 2、
没有加厚，为一般轮廓断面，3型。
这时，021==l l ，01=α ； 21t t = ，02=α ；
54l l = ，43t t = ， 05=α 。 将3α ，4α ，6α代入式（1）～（3）求解。 3、
端部没有平直段（非卷耳端、短轧锥），4型。
这时，021==l l ，01=α ； 21t t = ，02=α ； 03=l ，03=α ；
54l l = ，43t t = ，05=α 。 将4α ，6α代入式（1）～（3）求解。 从图1可见，沿片长的应力分布为： )
(x W n x
P ⋅⋅=
σ ---------------（4）
式中 P 端部负荷
x 端部至计算断面距离
)(x W 计算断面的断面系数 n 弹数 断面系数为：
6
)()(2
x t b x W ⋅= ----------------（5）
式中 )(x t 沿片长变化的厚度 b 弹簧宽度
当10l x ≤≤ ， const t x t ==1)( 21l x l ≤≤ ， ))((
)(211
222t t l l x
l t x t −−−+= 32l x l ≤≤ ， const t x t ==2)( 43l x l ≤≤ ， ))((
)(233
43
2t t l l l x t x t −−−+= 54l x l ≤≤ ， )(
)(344
54
3t t l l l x t x t −−−+= 65l x l ≤≤ ， const t x t ==4)(
对于2型弹簧，在根部和端部厚度有突变，该位置之应力也有突变。
二、 纵截面为抛物线形状的变截面弹簧
这种弹簧的轧锥部分（1l ～2l ）为抛物线形状，该抛物线的顶点在端点（集中载荷作用点），而根部和端部都将厚度增大，以满足结构强度的要求，见图3。该抛物线函数为：
21
1
22102123(()()(l x
t l x t l x t x t === ---------------（6）
图中所标尺寸定义如下：
1l 端部加强（平直）段长度 1t 端部加强段厚度
2t 端部平直段与抛物线交点处的厚度 2l 根部加强（平直）段距端点长度 4t 根部加强段厚度
3t 根部平直段与抛物线交点处的厚度
l 端点至根部总长度
0t 抛物线延长段至根部交点处的厚度
若设定： 32323)(t t I I ==
η ，334341(t t I I ==η ，32
1212)(t t
I I ==η ， 则各段惯性矩有如下关系：
当10l x ≤≤ ， ηη
ηη232223
23111212⋅=⋅=⋅⋅=⋅=I I t b t b I 当21l x l ≤≤ ， 2
323232333)((1212)()(l x I l x t b x t b x I ⋅=⋅⋅=⋅=
当l x l ≤≤2 ， 131333
4412
12ηη⋅=⋅⋅=⋅=I t b t b I
按照材料力学中求小挠度梁的挠度的方法，分三段积分，就可求到端点在P 力作用下的挠度（即变形）。图3所示四分之一椭圆钢板弹簧的刚度为：
3
3
3l
k EI K ⋅=
--------------（7） 其中，挠度系数
3
12
2
32132
1
1
)
(2)1
2(1
ληηλλληη⋅+⋅−−
+=
k --------------（8）
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