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I．题源探究·黄金母题
【例1】随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，三个数字也必须合成一组出现，那么这种方法共能给多少汽车上牌照？
【解析】将汽车牌照分为两类，即字母组合在左．字母组合在右边.
字母在左时，分6步确定一个牌照的字母与数字:
第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；
第2步，从剩余的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；
第3步，从剩余的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；
第4步，10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；
第5步，从剩余的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；
第6步，从剩余的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法；
根据分步计数原理，字母组合在左的牌照个数为
26×25×24×23×10×9×8=11232000.
同理，字母组合在右的牌照个数也为11232000.
所以，根据分类计数原理，共能给
11232000+11232000=22464000.
辆汽车上牌照.
精彩解读
【试题来源】人教版A版选修2-3第9页例9．
【母题评析】本题考查利用分类计数原理与分步计数原理计算简单的计数问题．
【思路方法】认真阅读试题，探究需要分类还是需要分步，还是既要分类又要分步，然后按分析计算每类（或每步）的不同的方法数，再根据相应的计数原理计算出总的方法数．
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，
项为
1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有
（    ）
（A）18个          （B）16个          （C）14个          （D）12个
【答案】C
【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
汽车牌照颜1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．
【例3】【2013年高考山东，理】用十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A.            B.      C.      D.
【答案】B
【命题意图】本类题问题主要考查利用分类计数原理和分步计数原理解决计数问题，考查考生运算求解能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查利用两个计数原理解决实际问题的能力．
【难点中心】解答此类问题的关键是认证阅读试题，弄清需要分类还是需要分步还是既要分类又要分步，判定方法是一种方法是否能独立完成任务，若能，若完成任务的方法类型不同，则需要分类，否则不需要分类，分类时要做到不重不漏；若一种方法不能独立完成任务，需要几步完成都完成才能完成，则需要分布．
III．理论基础·解题原理
考点一  分类加法计数原理（加法原理）
    一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.
考点二  分步乘法计数原理(乘法原理)
一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.
考点三  两个原理的区别
    1.“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.
2.“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题或古典概型、随机变量分布列大题的形式出现，小题难度中等偏下，大题为中档难度，有时也会与平面几何、立体几何等知识交汇．
【技能方法】
    1.计数问题中应用计数原理判定方法：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．
    2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．
    3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．
    4.用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．
    (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
    (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
    (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．
    (4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
【易错指导】
    1.分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．