上海市长宁区2022届高三一模数学试卷
2021.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{|2}A x x =≤，{1,3,5,7}B =，则A B =
2. 4(2)x +的二项展开式中2x 的系数为
3. 32lim 31
n n
n n →∞-=+ 4. 若线性方程组的增广矩阵为120111c c ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，解为1
1x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= 5. 在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 正半轴，顶点为坐标原点. 若角α的终边经过点
(3,4)-，则sin()απ+=
6. 3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学，则共有 种不同的安排方法
7. 已知双曲线2
2
16
y x -=的左、右焦点为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线M 的左、右两
支分别交于点A 、B . 若2ABF 为等边三角形，则2ABF 的边长为
8. 在复平面xOy 内，复数1z 、2z 所对应的点分别为1Z 、2Z ，对于下列四个式子： ①2211||z z =；②1212||||||z z z z ⋅=⋅；③2
211||OZ OZ =；④1212||||||OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅. 其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号）
9. 设x 、y ∈R ，0a >，0b >，若3x y a b ==
，2a b +=11
x y
+的最大值为 10. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 、5S 、7{10,0}S ∈-，则n S 的最小值为
11. 已知点A 、B 在抛物线2:4y x Γ=上，点M 在Γ的准线上，线段MA 、MB 的中点均在 抛物线Γ上，设直线AB 与y 轴交于点(0,)N n ，则||n 的最小值为 12. 设曲线C
与函数2
()12
f x x =
（0x m ≤≤
）的图像关于直线y =对称，若曲线C 仍为某函数的图像，则实数m 的取值范围为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “
1
1x
<”是“1x >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件
14. 给定一组数据15、17、14、10、12、17、17、16、14、12，设这组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则（ ）
A. a b c >>
B. c b a >>
C. c a b >>
D. b c a >>
15. 已知平面α经过圆柱1OO 的旋转轴，点A 、B 是在圆柱1OO 的侧面上，但不在平面α上，则下列4个命题中真命题的个数是（ ）
① 总存在直线l ，l α⊂且l 与AB 异面； ② 总存在直线l ，l α⊂且l ⊥AB ； ③ 总存在平面β，AB β⊂且βα⊥； ④ 总存在平面β，AB β⊂且β∥α. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 若函数()3sin 4cos f x x x ωω=+(0,0)3
x π
ω≤≤>的值域为[4,5]，则cos
3
ωπ
的取
值范围为（ ） A. 74[,]255 B. 73[,]255 C. 74[,]255- D. 73
[,]255
-
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥BC ，12AC BC CC ===. （1）求四棱锥11A BCC B -的体积V :
（2）求直线1AB 与平面11ACC A 所成角的正切值. 18. 已知
ABC 三个内角A 、B 、C 对应边分别为a 、b 、c ，4a =，1
cos 4
B =-
. （1）若sin 2sin A C =，求
ABC 的面积；
（2）设线段AB 的中点为D ，若19CD =，求ABC 外接圆半径R 的值.
19. 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用：购置费、燃油费、养护保险费. 某种型号汽车，购置费共20万元，购买后第1年燃油费共2万元，以后每一年都比前一年增加0.2万元.
（1）若每年养护保险费均为1万元，设购买该种型号汽车n (*n ∈N )年后共支出费用为n S 万元，求n S 的表达式；
（2）若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加10%，设使用n (*n ∈N )年后年平均费用为n c ，
当0n n =时，n c 最小. 请你列出6n >时n c 的表达式，并利用计算器确定0n 的值(只需写出0n
的值).
20. 已知函数1
()21
x f x =
+（x ∈R ）. （1）求证：函数()f x 是R 上的减函数；
（2）已知函数()f x 的图像存在对称中心(,)a b 的充要条件是()()g x f x a b =+-的图像关 于原点中心对称，判断函数()f x 的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐 标；若不存在，说明理由；
（3）若对任意1[1,]x n ∈，都存在23[1,]2
x ∈及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，求实 数n 的最大值，
21. 城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离. 在直角坐标系xOy 中，定义点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“直角距离”(,)d A B 为：1212(,)||||d A B x x y y =-+-. 设(1,1)M 、(1,1)N --. （1）写出一个满足(,)(,)d C M d C N =的点C 的坐标；
（2）过点M 、N 作斜率为2的直线1l 、2l ，点Q 、R 分别是直线1l 、2l 上的动点，求(,)d Q R 的最小值；
（3）设(,)P x y ，记方程(,)(,)8d P M d P N +=的曲线为Γ，类比椭圆研究曲线Γ的性质(结论不要求证明)，并在所给坐标系中画出该曲线.
参考答案
一. 填空题
1. {1}
2. 24
3. 1
4. 1-
5. 45
-
6. 6
7. 4
8. ②③
9. 1 10. 49
4
- 11. 22 12. (0,2]
二．选择题
13. B 14. B 15. C 16. A
三. 解答题 17.（1）
83
；（2）22
18.（1）15；（2）
410
5
汽车保险费用计算器19.（1）229201010n n n S =++；
（2）510 1.15n n c n
-⨯-=，07n = 20.（1）略；（2）1
(0,)2
；（3）2 21.（1）(0,0)（在y x =-上）；（2）1；
（3）对称性：关于x 轴、y 轴对称，关于原点对称； ② 顶点：(3,1)±±，(1,3)±±； ③ 范围：33x -≤≤，33y -≤≤
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