圆齿轮和椭圆齿轮的设计灵活得多㊂
5 结论
(1)类圆曲线是在椭圆曲线的基础上通过改变极坐标极点变形得到的一种新型封闭曲线，也可以把它看作是更广义的椭圆曲线或偏心圆曲线㊂一般意义上的椭圆曲线和偏心圆曲线只是类圆曲线的一种特殊情况㊂
(2)类圆曲线与椭圆曲线的最大差别在于，类圆曲线表达式中引入了两个参数 偏心率e和离心率ε，并且偏心率e承担改变节曲线最大㊁最小向径的任务，而离心率ε承担改变节曲线形状的任务㊂
(3)在离心率ε较小时，类圆节曲线非圆齿轮最大㊁最小传动比的位置与偏心圆齿轮㊁椭圆齿轮传动相同；在离心率ε较大时，类圆节曲线非圆齿轮最大传动比的位置与偏心圆齿轮㊁椭圆齿轮传动的相同，而其最小传动比的位置与偏心圆齿轮㊁椭圆齿轮传动截然不同㊂
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(编辑 王艳丽)
作者简介：陈 明，男,1957年生㊂哈尔滨工业大学机电工程学院教授㊁博士研究生导师㊂主要研究方向为机械传动与控制㊁机构学㊂发表论文30余篇㊂刘延平，男,1985年生㊂哈尔滨工业大学机电工程学院博士研究生㊂
㊃2331㊃
中国机械工程第25卷第10期2014年5月下半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.
谐波分析在轮毂质量分类判定中的应用
杨 光 秦永左
长春理工大学，长春,130022
摘要：介绍了谐波分析法的原理，阐述了谐波分析法在汽车轮毂跳动量检测及分类判定中的应用㊂通过傅里叶变换，计算出了谐波的幅值和初始相位，使相位按照特定的步长从0°变化到360°
，画出了谐波波形㊂通过傅里叶变换将离散的数据分解成周期性的谐波数据，增强了采用谐波分析法检测轮毂质量的直观性㊂
关键词：跳动量；谐波分析;4次谐波;
轮毂中图分类号:T P 37 D O I :10.3969/j
.i s s n .1004-132X.2014.10.011H a r m o n i cA n a l y s i s i nA p p l i c a t i o no fH u b Q u a l i t y C l a s s i f i c a t i o nJ u d g m e n t Y a n g G u a n g Q i nY o n g
z u o C h a n g c h u nU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,C h a n g
c h u n ,130022A b s t r a c t :T h e p r i n c i p l e s o f h a r m o n i c a n a l y s i sw e r e i n t r o
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r o m0°t o 360°,t h e h a r m o n i cw a v e c a nb e d r e w.W i t h t h eF o u r i e r t r a n s f o r m ,t h e d i s c r e t ed a t aw e r e d e c o m p o s e d i n t o p e r i o d i c h a r m o n i c d a t a ,a n d i t e n h a n c e s t h e h a r m o n i c a n a l y s i s t e s -
t i n g h u b q u a l i t y
i n t u i t i v e n e s s .K e y w o r d s :r u n o u t ;h a r m o n i c a n a l y s i s ;f o r t hh a r m o n i c ;h u b 收稿日期:2012 12 19
0 引言
作为汽车关键部件的汽车轮毂，在车辆行驶
过程中，与车辆的舒适性和安全性密切相关㊂汽车轮毂的轴向跳动量和径向跳动量是决定汽车轮毂质量的一个非常重要的性能指标，因此汽车轮毂的质量检测水平也反映了一个国家汽车工业的
发展水平[1‐2
]㊂随着汽车轮毂制造工艺的发展，单
纯依靠汽车轮毂跳动量及跳动量的一次㊁二次谐波检测汽车轮毂质量是否合格已经不能满足现代汽车行业对汽车轮毂质量的要求，从而使得通过跳动量的四次谐波判断汽车轮毂质量是否合格被提上了日程㊂
1 谐波分析法判定汽车轮毂质量的原理
汽车轮毂轴向跳动量和径向跳动量是指汽车轮毂转动一周时，胎圈座处的径向跳动和轴向跳动所形成的摆动量最大值与最小值的差值
[1
]㊂
由于汽车轮毂的端面轮廓是一个复杂的封闭的圆形曲线，所以使得汽车轮毂跳动量具有明显的非正弦周期性，并且汽车轮毂上各点的轴向跳动量和径向跳动量大小不同，从而使得汽车轮毂旋转一周时，轴向跳动和径向跳动是以2π为周期
的随机变化的数据，所以汽车轮毂的轴向跳动量
和径向跳动量可以用傅里叶级数来表示[
3]
㊂由傅里叶变换理论可知，任何一个非正弦的
周期函数可以分解为一系列正弦波信号，同时，一系列的正弦波可以叠加为一个周期的非正弦波信号㊂汽车轮毂测量传感器采集的测量数据是以汽车轮毂旋转一周为基本计量单位的非正弦周期性随机信号，汽车轮毂旋转一周，测量传感器采集到的测量数据就是一个周期的数据信号㊂
设f (x )为一非正弦周期函数,
其周期为T ，频率和角频率分别为f ㊁ω㊂由于工程实际中的非正弦周期函数都满足狄里赫利条件，所以可将它
展开成傅里叶级数[1,4]
，
即
y =f (
x )=A 0+A 1s i n (x +φ1)+A 2s i n (2x +φ2)+ +A n s i n (n x +φn )
=A 0+∑∞
n =1
s i n (n x +φn )
(1
)其中,A 0为直流分量或恒定分量,
其他各项是具有不同初始相位㊁不同振幅并且频率具备整数倍关系的一系列正弦量㊂A 1s i n (x +φ1)项为一次谐波或基波,A 1㊁φ1分别为其振幅和初相角;
A 2s i n (2x +φ2)项的角频率为基波角频率ω的2
倍，称为二次谐波,A 2㊁φ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波㊁四次谐波等㊂基波㊁三次谐波㊁五次谐波等统称为奇次谐波；二次谐波㊁四次谐波等统称为偶次谐波；除恒定分量和
㊃
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基波外，其余各项统称为高次谐波㊂式(1
)的形式可以改写为
y =f (x )=a 0+∑∞
n =1
A n s
i n (n x +φn )=a 0+∑∞
n =1
a n c
o s n x +∑∞
n =1
b n
s i n n x (2
)a n =A n s i n φ
n b n =A n c o s φ
n A n =a 2n +b 2
n
φ
n =a r c t a n (a n /b n üþýï
ïïï)(3)式(2)是一个无穷三角级数，式中,a 0,a 1,
,a n ,b 1,b 2, ,b n 称为傅里叶因数,
由此可知，为了求得各次谐波分量的振幅A n 和相位φn ，必须先求出傅里叶因数㊂
假设汽车轮毂转动一周，跳动量传感器采集
的数据点数是N ,
采用离散傅里叶因数，计算时使传感器采集的数据完全参与运算，如下式所示:
a n =1π∑N
i =1x i
c o s (2πn i N
)b n =1π∑N
i =1x i
s i n (2πn i N üþ
ýï
ï
ïï)(4
)式中,x i 为跳动量测量传感器第i 个采样数据;N 为汽车轮毂旋转一周时，跳动量测量传感器的采样点数㊂
根据式(4)计算出傅里叶因数，并根据式(3
)计算出谐波参数A 1㊁φ1㊁A 2㊁φ2㊁A 4㊁φ4,
由下式就可以画出一次谐波㊁二次谐波和四次谐波曲线图:
y
1=A 1s i n (2πω1+φ1)y
2=A 2s i n (4πω1+φ2)y
4=A 4s i n (8πω1+φ4}
)(5
)ω1=
n
N
汽车轮毂谐波跳动量定义为谐波的正峰值的
2倍，由式(5)的幅值计算出汽车轮毂的一次谐波㊁二次谐波和四次谐波的跳动量j 1㊁j
2和j 4分别为
j
1=2|A 1|j
2=2|A 2|j
4=2|A 4|(6
)2 谐波分析法判定汽车轮毂质量的物理
意义
系统启动测量之后,
通过跳动量测量传感器采集数据之后，根据式(4
)计算出傅里叶因数，根据式(5
)画出各次谐波波形图并计算出各次谐波的跳动量，依据系统设定的汽车轮毂质量分类判定标准来判决汽车轮毂质量是否合格㊂图1是型
号为53388的汽车轮毂实测一周,
采样点数为512点的跳动量数据以及依据各次谐波数据画出的波形图，图中纵坐标表示汽车轮毂的跳动量，横坐标表示汽车轮毂旋转的角度㊂其中,A 为一次谐波波形图,B 点为一次谐波高点,C 为原始数据波形图,D 为二次谐波波形图,E 点为一次谐波低
点,F 为四次谐波波形图㊂根据汽车轮毂质量技术标准，设定一次谐波㊁二次谐波和四次谐波跳动量的判定阈值分别为η1㊁η
2
和η4，汽车轮毂质量是否合格判定如下:
图1 原始数据及谐波数据波形
(1)当汽车轮毂一次谐波跳动量j 1大于η1,
汽车轮毂二次谐波跳动量j 2小于η2，汽车轮毂四次谐波跳动量j 4小于η4时，汽车轮毂质量不合格㊂
图2a 中O 为合格汽车轮毂的圆心,
虚线为合格汽车轮毂的外轮廓几何形状，实线为被检测汽车轮毂的外轮廓几何形状,O 1为被检测汽车轮毂的圆心,O 与O 1未重合,
表明被检测的汽车轮毂偏心㊂
(2)当汽车轮毂的一次谐波跳动量j 1小于η
1，汽车轮毂二次谐波跳动量j 2大于η2，汽车轮毂四次谐波跳动量j 4小于η4时，汽车轮毂质量不合格㊂
图2b 中O 为合格汽车轮毂的圆心,
虚线为合格汽车轮毂的外轮廓几何形状，实线为被检测汽车轮毂的外轮廓几何形状,F 1和F 2为被检测汽车轮毂椭圆形的两个焦点，表明被检测的汽车轮毂外形轮廓几何形状呈椭圆形㊂
(3)当汽车轮毂一次谐波跳动量j 1小于η1,
而汽车轮毂二次谐波跳动量j 2小于η2，汽车轮毂四次谐波跳动量j 4大于η4时，汽车轮毂质量不合格㊂
图2c 中O 为合格汽车轮毂的圆心,
虚线为合格汽车轮毂的外轮廓几何形状；实线表示被检测汽车轮毂外轮廓的几何形状,F 1和F 2为被检测汽车轮毂横向椭圆形的两个焦点,F 3和F 4为被
检测汽车轮毂纵向椭圆形的两个焦点㊂
从图2可知，汽车轮毂跳动量的一次谐波所
表示的意义是一个表面光洁并且没有局部缺陷的
汽车轮毂，但该汽车轮毂可能存在圆心的偏差[
3
];㊃
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(a)一次谐波(b)二次谐波
(c)四次谐波
图2 汽车轮毂谐波跳动量的物理意义
汽车轮毂跳动量的二㊁四次谐波所表示的是汽车轮毂外圆轮廓的几何形状误差㊂
在汽车铝轮毂的铸造㊁加工㊁处理等工艺过程中，一些固有的机械制造工艺因素经常会使得汽车轮毂跳动量的谐波波形按某一规律产生相应的谐波误差，因此通过测量汽车轮毂谐波跳动量并分析产生谐波跳动量误差的原因，可以在汽车轮毂铸造过程中改进铸造工艺或采取相应的工艺措施来减少㊁修正或避免产生谐波跳动量误差，增强汽车轮毂的可靠性并提高质量[3]㊂
在实际工程中，汽车轮毂生产厂家可以根据不同汽车轮毂用户的不同需求，设定汽车轮毂跳动量的一次谐波㊁二次谐波或四次谐波跳动量作为汽车轮毂质量的合格判据，从而实现汽车轮毂质量的分类判定㊂
3 测试分析与结论
在为某公司开发的汽车轮毂跳动量自动检测系统中已经成功应用了谐波分析法，并且有效地实现了汽车轮毂质量的分类判定，在应用该谐波分析法之前我们进行了全面算法测试㊂测试中，根据厂家对汽车轮毂质量的不同要求而设定的技术标准对汽车轮毂进行分类判定㊂在测试中，首先依据厂家提供的经过特殊工艺加工的标准汽车轮毂检验系统的测量数据的可靠性及数据的重复性对汽车轮毂进行测量，测量数据如表1㊁表2所示㊂然后又对10种型号的汽车轮毂产品进行了测量，用以验证算法的准确性，测量数据如表3所示㊂
根据表1㊁表2和表3的测量结果，得出如下结论:
表1 单个标准汽车轮毂单次装卡多次测量mm 测量
次数
汽车轮
毂型号
外侧径向
一次谐波
外侧径向
二次谐波
外侧径向
四次谐波
内侧径向
一次谐波
内侧径向
二次谐波
内侧径向
四次谐波1533880.0460.0350.0170.0340.0690.016 2533880.0400.0310.0150.0360.0650.011 3533880.0360.0270.0120.0330.0570.008 4533880.0330.0250.0110.0350.0680.007 5533880.0320.0240.0140.0320.0680.012 6533880.0420.0340.0130.0380.0640.013 7533880.0300.0250.0090.0340.0610.014 8533880.0380.0260.0170.0330.0600.015 9533880.0330.0260.0130.0330.0670.008 10533880.0330.0220.0150.0360.0690.006 表2 单个标准汽车轮毂重复装卡单次测量mm 序
号
汽车轮
毂型号
外侧径向
一次谐波
外侧径向
二次谐波
外侧径向
四次谐波
内侧径向
一次谐波
内侧径向
二次谐波
内侧径向
四次谐波1533880.0500.0260.0210.0360.0610.015 2533880.0480.0310.0240.0380.0670.014 3533880.0470.0260.0180.0370.0620.017 4533880.0450.0310.0190.0400.0680.011 5533880.0500.0270.0150.0350.0650.014 6533880.0520.0280.0250.0380.0660.016 7533880.0510.0300.0210.0340.0660.014 8533880.0430.0260.0180.0360.0720.009 9533880.0470.0320.0260.0350.0580.017 10533880.0490.0270.0240.0400.0690.012表3 多个汽车轮毂单次装卡单次测量mm 序
号
汽车轮
毂型号
外侧径向
一次谐波
外侧径向
二次谐波
外侧径向
四次谐波
内侧径向
一次谐波
内侧径向
二次谐波
内侧径向
四次谐波1533880.0540.0270.0220.0040.0670.012 21670500.0640.0070.0050.0260.0480.019 3705660.0580.0120.0160.0280.0500.025 *******.0710.0300.0180.0240.0420.015 59616650.0610.0080.0050.0270.0490.020 *******.1670.0070.0060.0280.0480.022 *******.0420.0100.0090.0230.0380.018 88017750.0720.0140.0120.0220.0500.020 *******.0580.0160.0130.0250.0370.0
12 109707750.0560.0090.0060.0270.0450.015 (1)从表1中的数据可以看出，在单个标准汽车轮毂单次装卡多次测量中，由于跳动量测头与汽车轮毂的胎圈座接触还有一定的机械间隙，导致第一次采集的跳动量数据较大；随着测量次数增加，跳动量测头与汽车轮毂的胎圈座逐渐紧密接触，测量数据逐渐稳定并保持在较小的变化范围内，另外，由于铸造工艺原因，使得胎圈座内侧径向二次谐波跳动量要比胎圈座外侧径向二次谐波跳动量要大一些，所以，要保证测量数据的准确并且尽可能消除测量过程之中的机械接触误差，需要选取第2次以上的测量数据，但这样做是以牺牲测量速度为代价的㊂
(2)单个标准汽车轮毂重复装卡单次测量就是指在一次测量完成之后跳动量测头都要退回系统设定的基准位置㊂从表2中的数据可以看出,
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