回归直线方程与独立性检验【题集】
1. 回归直线方程
12（1）（2）1.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：（年龄岁）（脂肪含量）
根据上表的数据得到如下的散点图．
脂肪含量
年龄岁）
根据上表中的样本数据及其散点图．
求．
计算样本相关系数（精确到
），并刻画它们的相关程度．
若关于的线性回归方程为
，求的值（精确到
），并根据回归方程估计年
龄为
岁时人体的脂肪含量．
附：参考数据：
，
，
，
，
，
．
参考公式：相关系数
，
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
．
（1）12（2）
2.我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中
国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布．
购买只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于
的牡蛎的可能性有多大？
年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量（人）与年收益增量（万元）的数据如下：
人工投入增量（人）年收益增量（万元）
该基地为了预测人工投入增量为
人时的年收益增量，建立了与的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：
；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，对人工投入增量做变换，令
，则
，且有，
，
太平洋汽车模型
，
．
年收益增量（
万元）
人工投入增量（万人）
根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程（精确到）．
根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠
的模型，预测人工投入增量为
人时的年收益增量．
回归模型模型①
模型②回归方程
附：若随机变量
，则
，
；样本
的最小二乘估计分式为：
，
，
另，刻画回归效果的相关指数
．
，现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
参考数据：设，
，，
．
参考公式：对于一组数据，
，
，，其回归直线
的斜率和截距
的最小二乘估计公式分别为：
，
．
根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次关于活动推出天数
的回归方程适合用
来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次．
推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式现金
会员卡
扫码
比例
商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受
折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受
折优惠的概率为，享受折
优惠的概率为，享受
折优惠的概率为，现有一名顾客购买了元的商品，根据所给数据
用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少．
（1）4.一个工厂在某年里连续个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数
据：
通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明．
12（2）解答下列各题：
建立月总成本与月产量之间的回归方程．通过建立的关于的回归方程，估计某月产量为万件时，此时产品的总成本为多
少万元？（均精确到）
附注：①参考数据：
，
，
，
，
．
②参考公式：相关系数
，回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
．
（1）（2）（3）5.某单位共有
名员工，他们某年的收入如下表：
员工编号
年薪（万元）
求该单位员工当年年薪的平均值和中位数．
从该单位中任取人，此人中年薪收入高于万的人数记为，求的分布列和期望．已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为万
元，
万元，万元，
万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程
中系数计算公式分别为：，
，其中，为样本均值．
6.全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与”的评分值进行了统计，制成如
图所示的散点图：
运动参与评分值
年份代码：注：年份代码
分别对应年份
（1）
（2）
根据散点图，建立关于的回归方程．
从该市的市民中随机抽取了容量为的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为，以频率为
概率，若从这名市民中随机抽取人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为，求的分布
列和数学期望．
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为：
．
（1）
（2）
7.某项科研活动共进行了次试验，其数据如表所示：
特征量第次第次第次第
次第次
从次特征量的试验数据中随机地抽取两个数据，求至少有一个大于的概率．
求特征量关于的线性回归方程；并预测当特征量为时特征量的值．
（附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
）．
8.某地区某农产品近几年的产量统计如表：
年份
年份代码
年产量（万吨）
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