2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题
4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)若0
11lim[
(
)]
1x
x
a e x
x
，则a 等于
（Ａ）０（Ｂ）１
（Ｃ）２
（Ｄ）３
(2)
设
1y ,2y 是一阶线性非齐次微分方程
y p x y q x 的两个特解. 若常数
,
使
12y y 是该
方程的解,1
2y y 是对应的齐次方程的解
, 则
（A ）
11,
22
(B)
11,
2
2
(C)reventon怎么读
21,
3
3
(D)
22,
3
3
（3）设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且()
0g x 。若0()
g x a 是()g x 的极值，则f g x
在
0x 取极大
值的一个充分条件是(A)
0f a        (B)
0f a        (C)
0f a        (D) 0
f a （4）设10
10ln ,,x
f x x
g x
x h x
e ，则当x 充分大时有
(A)g x h x f x .
(B) h x g x f x . (C)f x
g x
h x .
(D)
g x
f x
h x .1090
(5)
设向量组
12
:,
,,
r
I 可由向量组
1
2
II :
,
,,
s
线性表示, 则列命题正确的是
(A) 若向量组I 线性无关, 则r s (B) 若向量组I 线性相关, 则r s (C) 若向量组II 线性无关, 则r s (D) 若向量组II 线性相关, 则r
s
(6)设A 为4阶对称矩阵，且2
0A
A
若A 的秩为3，则A 相似于
(A)
1
110
(B)
1
1
10
(C)
1
1
10
(D)
1
1
10
(7) 设随机变量X 的分布函数
0,0
1
()
,0
12
1,1
x
x
F x x e x ，则1
P X (A) 0 (B) 1
(C)
1
12
e
(D) 1
1e
(8) 设
1()f x 为标准正态分布的概率密度2()f x 为[1,3]上均匀分布的概率密度
,
12(),0()
(0,0)(),0af x x f x a
b
bf x x
为概率密度，则,a b 应满足
(A)234a b (B) 324a b (C) 1a b (D) 2
a b 二、填空题(9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.) （9）设可导函数
y y x 由方程
2
2
sin x y x t e dt x t dt 确定，则
______
x dy dx
（10）设位于曲线2
1
()(1ln )
y
新能源车企骗补e
x
x x 下方, x 轴上方的无界区域为
G , 则G 绕x 轴旋转一周所得
空间区域的体积为
_________。
（11）设某商品的收益函数为R p ，收益弹性为3
1p , 其中p 为价格, 且1
1R , 则_______
R p （12）若曲线
3
2
1y x
a x
bx 有拐点
1, 0, 则________b
。
(13)设,A B 为3阶矩阵, 且, , ||,A B A
B 1
322则||
_______ .
A B 1
（14）设
12,,,n X X X 是来自总体2
(,)(0)N 的简单随机样本。记统计量21
1n
i
i T X
n
，
则
()______
_E T 。三、解答题(15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.)
（15）(本题满分10分)
求极限1
1
ln lim (1)x
x
x
x （16）(本题满分10分)
计算二重积分
3
()D
x
y dxdy ，其中D 由曲线2
1
x
y 与直线20x
y 及20x y 围成.
（17）(本题满分10分)
求函数2u
xy
yz 在约束条件2
2
2
10x y
z
下的最大值和最小值
.
(18) (本题满分10分)
(1)比较1
ln [ln(1)]n
t t dt 与
1
ln (1,2,)n
t t dt n 的大小，说明理由。
(2)记10
ln [ln(1)],(1,2,)n
n
u t t dt n 求极限lim n n
u 。（19）(本题满分10分)
设函数
f x 在闭区间0, 3上连续, 在开区间0, 3内存在二阶导数, 且
20
2(0)
()(2)(3)
f f x dx f f
(I) 证明存在0, 2, 使得()0f f ；
(II) 证明存在
0, 3, 使得()
0f 。
(20) (本题满分11分)
设1
101
01
1
A
，11
a
b
已知线性方程组AX
b 存在两个不同的解.
(1) 求
,a ；
(2) 求方程组AX b 的通解.
(21) (本题满分11分)
设0
14
134
A
a a
，正交矩阵Q 使得T
Q AQ 为对角矩阵.若Q 的第一列为1(1,2,1)6
T
，求,a Q .
(22)(本题满分11分)
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
22
22(,)x xy y f x y Ae
，
x
，
y 求常数A 以
及条件概率密度
||Y X f y x 。
(23) (本题满分11分)
箱中装有6个球, 其中红、白、黑球个数分别为1, 2, 3个, 现从箱中随机地取出
2个球, 记X 为取出红球的个
数,Y 为取出白球的个数
.
(I) 求随机变量,X Y 的概率分布；
(II) 求
,Cov X Y .
2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学三解析
一、选择题：1～8小题，每小题
4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，
请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上
.
(1)【分析】通分直接计算等式左边的极限，进而解出
a.
【详解】由于0
1111lim[
(
)]
lim
lim(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
e
axe e a e ae x
x
x
x
1lim
lim 1
x
x
x
x
e ae
a x
从而由题设可得11a ，即2a ，故应选（C ）
(2)
【分析】此题主要考查线性微分方程解的性质和结构
【详解】因为
1y ,2y 是一阶线性非齐次微分方程y p x y q x 的两个特解，所以
1
122
y p x y y p x y q x ---------------------------（1）
由于
海马212y y 是该方程的解，则1
21
2()
()
y y p x y y q x 即1
12
2()
()
y p x y y p x y q x
将（1）代入上式可得：1——————————————（
2）
由于12y y 是对应的齐次方程的解则1
21
2(
)
()
0y y p x y y ，即
1
12
2()
()
y p x y y p x y 将（1）代入上式可得：0——————————————（
3）
由（2）、（3）可得12
。故应选（A ）
评注：设12,,,s y y y 是一阶线性非齐次微分方程
y p x y q x 的解，则对于常数
12,,,s k k k ，有下列
结论：⑴若121s k k k ，则1122s s k y k y k y 是方程y p x y q x 的解；⑵
若1
2
0s
k k k ，则11
22
s s k y k y k y 是方程0y p x y
的解。
（3）【分析】本题主要考查导数的应用
.求
f g x
的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。
【详解】令
()F x f g x
，则
()F x f g x f g x g x ,
2
()
{ [] }[]
F x f
g x
f
g x g x f
g x
g x f g x g x
由
0g x a 是()g x 的极值知0
0 g x 。于是有0()
0F x ，
00()
()()F x f a g x 由于()
0g x , 要使00
()
0F x f g x , 只要0f a
.
因此应选(B)
（4）.【分析】计算两两比的极限便可得到答案
【详解】因为
10
9
8
()
ln ln ln lim lim 10lim 109lim
()x
x
x
x
f x x x
x
g x x
x
x
ln 10!lim
x
x x
110!lim
0x
x
,
10
10
()1lim
lim
lim
0()
110
x x x
x
x
g x x h x e
e ,
由此可知当
x 充分大时,()
()()f x g x h x ，故应选（C ）。
(5) 【分析】本题考查向量组的线性相关性。
【详解】因向量组I 能由向量组II 线性表示，所以I II r r （）（），即
1
2
1
2
(
,
,,(
,
,,
),
r s
r r s ）若向量组I 线性无关，则12
(,
,,
)
r
r r ，所以r s . 故应选(A).
评注：“若
1
2
,
,,
r
线性无关且
1
2
,
,,
r 可由1
2
,
,,
s
线性表示，则
r s ”这是线性代数中
的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案
.
(6) 【分析】考查矩阵特征值、特征值的性质及实对称矩阵的性质。
【详解】由于2
0A
A
，所以()
0A A E ，由于A 的秩为3，所以A E 不可逆，从而
0,0A A E
，
所以1
2
0,
1是矩阵A 的特征值。
假设
是矩阵A 的特征值，则
2
侧方位停车
0，则
只能是0或1。
由于A 是实对称矩阵，且A 的秩为3，所以其全部特征值为
1,1,1,0，因此应选（D ）
(7) 【分析】考查如何利用分布函数计算随机变量取值的概率。【详解】由分布函数的性质可知：
1
1
1111(1)lim ()
2
x P X P X P X F F x e
故应选（C ）
(8) 【分析】考查概率密度的性质①
()
0f x ，②()1f x dx 【详解】由已知可得：
2
1
2
11()
2
x
f x e
，
21
,13
()
4
0,x f x 其他
由概率密度的性质可知：
()1
f x dx 所以0
3
1210
11131()()()2手动改自动
4
2
4
a
f x dx
b
f x dx
a
f x dx
b
dx
a
b
因此应选（Ａ）
二、填空题(9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.)
（9）【分析】先由方程求出
0x
时0y
，再两边对x 求导或两边微分。
【详解】法一：由2
2
sin x y
x t e dt
x t dt ，令0x
得0y
等式两端对
x 求导得
2
()
2
2
(1)
(s i n
)
s i n
x
x y dy e
t dt x x dx