同济大学课程考核试卷(A 卷)
2010—2011学年第一学期
命题教师签名：              审核教师签名： 课号：122009    课名：线性代数B        考试考查：考试
此卷选为：期中考试(  )、期终考试( √ )、重修(  )试卷
年级    专业          学号        姓名            任课教师
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分）
一、填空与选择题(均为单选题)(27分)
1、 已知4阶方阵1234
奔奔mini2012款
567890
54
a b A c d ⎛⎞⎜⎟⎜
⎟
=⎜⎟⎜⎟⎝⎠
，函数()||f x xE A =−，这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为_______a+b+c+d____________.
2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式
1231,,,m αααβ=，又
1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=______n m −_______________.
3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=−=−=，其伴随矩阵为*
A ，则行列式
*A =_____36_________.
4、 已知α是3维实列向量，且111111111T
αα−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠
，则α=5、设α是3
R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,T
x x x ，则α在基吉奥
1323,,k εεεε+下的坐标是_________1231(,,)T x x x kx −________________.
6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________.
1().  ).
().  ().n A A A A B C n cE c D −若矩阵可逆，则与可交换
(可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换
7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2
AB E =，则下列式子中成立的是_____D_______.
()2
2
2
().                    ().    ().                  ().A AB E B AB E C A B E D BA E
==−==
8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____
().    0              ().    0
().    0
().() A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b R A n =======⇔=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解  有唯一解
9、 下列向量组中线性无关的是_______C__________.
()()()()()()()()()()()()()()
().  1,1,0,20,1,1,10,0,0,0).  ,,,,,,,,,,,  ().  ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D −−,, (
二、(10分) 已知n 阶行列式1
231浙江豪车
200
1
淄博2手车交易市场0301
00n n D n
="""###%#"，求第一行各元素的代数余子式之和.
三、(10分)参数,a b 满足什么条件的时侯，线性方程组1234512345
2345123451
32322635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b ++++=⎧⎪+++−=⎪⎨
+++=⎪⎪+++−=⎩
有解？并在有解的情况下，求出它的通解.
四、(15分)已知3阶方阵32
21423A k k −⎛⎞
⎜⎟=−−⎜⎟
⎜⎟−⎝⎠
奇瑞风云2两厢油耗
，问参数k 满足什么条件的时候A 可以对角化？并求出可逆阵P 及对角阵Λ，使得1
P AP −=Λ.
五、(12分)设向量组12341111,,1,4115k k k αααα−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟====⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
，问： (1) 参数k 为何值时，123,,ααα为向量组的一个最大线性无关组？
(2) 参数k 为何值时，12,αα为向量组的一个最大线性无关组？并在此时，求出34,αα由最大线性无关组表出的线性表达式.
迈图六、(12分)设V 为实数域R 上全体2阶方阵关于矩阵的加法和数乘运算所成的线性空间，在V
中定义映射:()a b T T X X c d ⎛⎞
=⎜⎟⎝⎠
，(1) 证明T 是V 中的线性变换，(2) 求线性变换T 在自
然基11122122,,,E E E E 下的矩阵，(3) 若1,2,3,4a b c d ====，试求线性变换T 的核ker T 与像空间Im T .
七、(1)(7分)已知A 为3阶方阵，123,,λλλ为A 的三个不同的特征值，123,,ααα分别为相应的特征向量，又123βααα=++，试证：2,,A A βββ线性无关.
(2) (7分)设A 为3阶实对称阵，且2
20A A +=，又()2R A =，试求出A 的全体特征值，并问参数k 为何值时，矩阵A kE +为正定阵?