奔驰定理与四心
奔驰定理：
已知是内的一点，的面积分别为，，，则：
O ABC ∆AOB AOC BOC ∆∆∆,,A S B S C S
0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A 证明：
如图2延长与边相交于点则 OA BC D
B
C
COD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆
图1
=
OD BC DC OB +BC
BD
OC
=
C B B
S S S +OB +C
B C S S S +OC
C
B A
COA BOA COD BOD COA COD BOA
BOD
S S S S S S S S S S S
OA
OD +=++=
=
=图2
O
A B
C
D
O
A B
C
∴C
B A S S S OD +-
=OA
∴C徐州交通违章查询
B A S S S +-
OA =
C B B
S S S +OB +C
B C S S S +OC
∴0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A
推论：是内的一点，且
，则
O ABC ∆0=++∙∙∙OC OB OA z y x
是的重心
O ABC ∆
⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OA
垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
是的垂心
O ABC ∆
⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆
⇔0tan tan tan =++∙∙∙OC C OB B OA A 为的垂心.
⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O ABC ∆
内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
是的内心
O ABC ∆
⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔
0=++∙∙∙OC OB OA c b a
外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
是的外心
O ABC ∆ ⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆
⇔02sin 2sin 2sin =++∙∙∙OC C OB B OA A
与“重心”有关的向量问题
1 已知是所在平面上的一点，若，则是的
G ABC △0GA GB GC ++=
G ABC △( )．
A ．重点
B ．外心
道奇公羊C ．内心
D ．垂心
如图⑴.
A'
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A
电动汽车欧拉2已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足O A
B C ，，P ，，则的轨迹一定通过的( ).
()OP OA AB AC λ=++
(0)λ∈+∞，P ABC △A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心
【解析】由题意，当时，由于表示边上7万左右买什么车好
()AP AB AC λ=+ (0)λ∈+∞，()AB AC λ+
BC 的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.
P ABC △
3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足
（λ∈
（0，+∞）），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心 B ．重心 C ．外心 D ．垂心
解：作出如图的图形
AD ⊥BC ，由于sinB=sinC=AD ，
∴=
由加法法则知，P 在三角形的中线上
图⑴
图⑵
比亚迪m6报价故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心 故选：B ．
与“垂心”有关的向量问题
3 是所在平面上一点，若，则是的( ) P ABC △PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅P ABC △A ．重点 B ．外心 C ．内心 D ．垂心
【解析】由，得，即，所以．同PA PB PB PC ⋅=⋅ ()0PB PA PC ⋅-= 0PB CA ⋅= PB CA
⊥理可证，．∴是的垂心．如图⑶.
PC AB ⊥PA BC
⊥P ABC △
4.是的垂心
证明：
O ABC ∆
⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆
⇔0tan tan tan =++∙∙∙OC C OB B OA A 图⑶
图⑷
A
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