专题九　平面向量的奔驰定理
1车乐宝．奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0．
证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，＝＝＝＝，
∵＝＋，∴＝＋，
∵＝＝＝，∴＝－，
即－＝＋，∴S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0．
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．
推论：已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．
(2)＝||，＝||兰德酷路泽lc200，＝||．
【例题选讲】
[例1](1)设点O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(  )
A．3        B．        C．2        D．
答案　A　解析　分别取AC、BC的中点D、 E，∵＋2＋3＝0，∴＋＝－2(＋)，即2＝－4，∴O是DE的一个三等分点，∴＝3．
秒杀　根据奔驰定理得，S△ABC∶S△AOC＝(1＋2＋3)∶2＝3．
(2)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则等于(  )
A．        B．        C．        D．
答案　B　解析　如图，由点D在△vwABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝．
爬坡能力
秒杀　由＝＋得，＋2＋3＝0，根据奔驰定理得，S△BCD∶S△ABD＝1∶3．
(3)已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(  )
A．14∶3      B．19∶4      C．24∶5      D．29∶6
答案　B　解析　由＝，得－＝(－)，整理得＝＋＝＋，由＝，得＝(－)，整理得＝－，∴－＝＋，整理得4＋6＋9＝0，根据奔驰定理得，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4．
(4)已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则等于(  )
A．        B．        C．        D．
答案　A　解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥车载导航升级AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝．
(5)点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(  )
A．，        B．，        C．，        D．，
答案　A　苏州奇瑞狂飙追宝马解析　秒杀　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，整理得＝＋，故选A．