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图4
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2020年第9期中学数学研究
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挚蓝优享
浙江省绍兴鲁迅中学
(312030)徐耀
科学发展史表明，数学和物理自诞生起，就相 互渗透，共同发展.平时我们会比较自然的用数学方 法去解决物理问题，但反过来，若能从物理的角度去
思考数学问题，也能起到意想不到的效果，甚至得到
—些新的结论.
“奔驰定理”是平面向量中优美的一个结论，这 个结论对于利用平面向量解决平面几何问题，起着 决定性的作用.本文通过三角形中顶点质量和顶点
所对三角形面积的关系得到奔驰定理的另一种表达
形式，及其推论•希望对解决平面向量相关问题有所 帮助.
的左、右焦点分别为戸和F2，离心率为e.点P 是C 上的一点，且 ^F x PF 2 = 0(e e (0,77)).若APF.F,
的面积为S，证明：a长安之星新车价格
S • tan 半
的一点，且厶FPM = 0(0 < 0 < y).若APFM 的面积为S，则点P 的坐标为
tand
视角2 将双曲线推广到椭圆
推广2 设椭圆C ：4 + 4 = l(a > 6 > 0)的
a b
神州租车被降级左、右焦点分别为耳和F2，离心率为e.点P 是C 上
的一点，且"PF? = 0(0 e (0,77)).若APF.F，的
面积为S，则a
(1 - e 2) ° tan #
奔驰报价鶴+刃①).
证明：设P(x,y)，对于APFM，根据S =
PM\ - I PF I sin6»®，再结合余弦定理I FM\2 =\ PM\2 + \ PF\2 -2\ PM\ -\ PF\ cosd®，联立
tan^
①和②，可得％
y tanff
得证.
竺丄竽-p (舍去)，再代入抛物线方程中，即
参考文献
[1]朱华伟，张景中.论推广[J].数学通报,2005,44(4):55
-57.
奔驰定理：已知点。是AABC 内任意一点，用
S A ,S B ,S C 分别表示AB0C,AC0A,AA0B 的面积，则S A ■ OA + S B ■ OB + S c ■ 0C = Q.
从物理学的角度看,AABC 的某个顶点的质量 越大，支点就会往这个顶点偏移，从而导致支点和此
顶点所对的边构成的三角形面积越大，也即顶点的 质量与此三角形面积成“正比”关系，故笔者大胆猜 测奔驰定理的另外一种表达形式：
定理1已知点。是AABC 内任意一点，用m 』，
m B ,m c 分别表示质点A,B,C 处的质量，则m A OA +
角推广，如下：
视角1 将试题条件一般化
2 2
推广1设双曲线C ：筈-告 a b 推广2 视角3 推广3
证明方法同推广1，过程略.
将双曲线推广到抛物线
设抛物线C :y 2 = 2px(p > 0)的焦点
为F，点M 为直线％=-f 与％轴的交点是C 上证明：如图4，由焦点三
角形的面积公式可知S 曲込
=-^7- =S ①，又e 亠②, + 0 a tan T
以及/ +沪=c?③，联立①、
②、③可解得
宝马x1落地S • tan 辛
_ j ，得证•
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