【题型归纳目录】
题型一：直接使用奔驰定理
题型二：三角形面积比问题
【方法技巧与总结】
奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为
G x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33 .注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0 ．
(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满
足OA 1+OB 1+OC 1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1.
(3)P 为ΔABC 内一点，a ×PA +b ×PB +c ×PC =0 ，则S ΔPBC ：S ΔPAC ：S ΔPAB =a ：b ：c .
重要结论：S ΔPBC S ΔABC =a a +b +c ，S ΔPAC S ΔABC =b a +b +c ，S ΔPAB S ΔABC =c a +b +c
.结论1：对于ΔABC 内的任意一点P ， 若ΔPBC 、ΔPCA 、ΔPAB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则：S A ⋅PA +S B ⋅PB +S C ⋅PC =0 .
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于ΔABC 平面内的任意一点P ，若点P 在ΔABC 的外部，并且在∠BAC 的内部或其对顶
角的内部所在区域时，则有-S ΔPBC ⋅PA +S ΔPAC ⋅PB +S PAB ⋅PC =0 .结论3：对于ΔABC 内的任意一点P ， 若λ1PA +λ2PB +λ3PC =0 ，则ΔPBC 、ΔPCA 、ΔPAB 的面积
之比为λ1：λ2：λ3.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于ΔABC 所在平面内不在三角形边上的任一点P ，λ1PA +λ2PB +λ3PC =0 ，则ΔPBC 、ΔPCA 、ΔPAB 的面积分别为λ1： λ2： λ3 .
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
开代驾公司要多少钱【典型例题】
题型一：直接使用奔驰定理
例1.(2023春·河南安阳·高一统考期末)已知O 是△ABC 内的一点，若△BOC ,△AOC ,△AOB 的面积
分别记为S 1,S 2,S 3，则S 1⋅OA +S 2⋅OB +S 3⋅OC =0 .这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O 是△ABC 的垂心，且OA +2OB +3OC =0 ，则
tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠ACB =( )
A.1:2:3
B.1:2:4
C.2:3:4
D.2:3:6
例2.(多选题)(2023·高一单元测试)如图，P 为△ABC 内任意一点，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，则总
有优美等式S △PBC ⋅PA +S △PAC ⋅PB +S △PAB ⋅PC =0 成立，此结论称为三角形中的奔驰定理.由此
判断以下命题中，正确的有( )汽车之家crv
A.若P 是△ABC 的重心，则有PA +PB +PC =0
B.若a ⋅PA +b ⋅PB +c ⋅PC =0 ，则P 是△ABC 的内心
C.若AP =15AB +25AC ，则S △PBC :S △PAC :S △PAB =2:2:1
D.若P 是△ABC 的外心，且A =π4，则PA +sin ∠APC ⋅PB +sin 3π2
-∠APC ⋅PC =0 例3.(多选题)(2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习)点P 是△ABC 所在平面内
一点，且AP =xAB +yAC ，下列说法正确的是( )
A.若x =y =12
，则点P 是边BC 的中点B.若点P 是边BC 靠近B 点的三等分点，则x =
13,y =23C.若点P 在BC 边的中线上且x +y =12
，则点P 是△ABC 的重心D.若x +y =2，则△PBC 与△ABC 的面积相等
例4.(多选题)(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定
理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定
理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 ．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内
角，以下命题正确的有( )
A.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3
B.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92
C.若O 为△ABC 的内心，3OA +4OB +5OC =0 ，则∠C =π2
D.若O 为△ABC 的垂心，3OA +4OB +5OC =0 ，则cos ∠AOB =-66
例5.(多选题)(2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习)已知点O 为△ABC 所在平
面内一点，且2OA +3OB +4OC =0 则下列选项正确的有( )
A.AO =13AB +49
AC B.直线AO 过BC 边的中点C.S △AOB :S △BOC =2:1 D.若|OA |=|OB |=|OC |=1，则OC ⋅AB =-316例6.(多选题)(2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考期中)已知点O 为△ABC 所在平面内一
点，2OA +3OB +4OC =0 ，则下列选项正确的是( )
A.AO =13AB +49
AC B.直线AO 必过BC 边的中点
C.S △ABC :S △AOC =3:1
帝豪lD.若|OB |=|OC |=|OA |=1，则cos <OA ,OB >=14江淮单排
例7.(2023春·江苏徐州·高一徐州市第三十六中学(江苏师范大学附属中学)校考阶段练习)定理：如
图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ⋅PA +S △PAC ⋅PB +S △PAB ⋅PC =0 .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点O 在△ABC 内部，有以下四个推论：
①若O 为△ABC 的重心，则OA +OB +OC =0 ；
②若O 为△ABC 的外心，则sin2A ⋅OA +sin2B ⋅OB +sin2C ⋅OC =0 ；
③若O 为△ABC 的内心，则a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0 ；备注：若O 为△ABC 的内心，则sin A ⋅OA
+sin B ⋅OB +sin C ⋅OC =0 也对.
④若O 为△ABC 的垂心，则tan A ⋅OA +tan B ⋅OB +tan C ⋅OC =0 .
试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题.
宝马3系进口(1)点P 在△ABC 内部，满足PA +2PB +3PC =0 ，求S △ABC :S △APC 的值；
(2)点O 为△ABC 内一点，若S △AOB :S △BOC :S △AOC =4:3:2，设AO =λAB +μAC ，求实数λ和μ的
值；
(3)用“奔驰定理”证明推论②.
题型二：三角形面积比问题
例8.(多选题)(2023·高一课时练习)若点O 为△ABC 所在平面内一点，AO =13AB +49
AC ，则下列选项正确的是( )
A.直线AO 必过BC 边的中点
B.S △AOC :S △ABC =1:3
C.若△ABC 的面积为9，则△AOB 的面积是4
D.2OA +3OB +4OC =0
例9.(多选题)(2023春·江苏南京·高二金陵中学校考阶段练习)已知点O 为△ABC 所在平面内一点，
且AO +2OB +3OC =0 ，则下列选项正确的是( )
A.AO =12AB +34
AC B.直线AO 必过BC 边的中点
C.S △AOB :S △AOC =3:2
D.若OB =OC =1，且OB ⊥OC ，则OA =13
例10.(2023·江苏泰州·高三阶段练习)已知点O 为△ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0，则△AOB
,△AOC ,△BOC 的面积之比等于_______．
例11.(2023秋·江苏泰州·高三阶段练习)已知点O 为△ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0 ，则
△AOB ，△AOC ，△BOC 的面积之比等于_________．
例12.(2023·河南南阳·统考三模)已知O 为△ABC 内一点，且OA +2OB +3OC =0 ，则△AOB ，
△AOC ，△BOC 的面积之比为________．
例13.(2023·全国·高三专题练习)奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面
积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设O 为三角形ABC 内一点，且满足：OA +2OB +3OC =3AB +2BC +CA ，则S △AOB S △ABC
=( )
太阳神车A.25
B.12
C.16
D.13
【同步练习】
一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知P 为△ABC 内任意一点，若满足x PA +y PB +z PC =0 x ,y ,z >0 ，则称P 为△ABC 的一个“优美点”．则下列结论中正确的有( )
①若x =y =z =1，则点P 为△ABC 的重心；
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