【方法总结】
定理：如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·PA →＋S △PAC ·PB →＋S △PAB ·PC →＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
【典例】 (1)已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内， PQ →＝13PA →，QR →＝13QB →， RP →＝13
RC →，则S △ABC ∶S △PBC 等于( )
A ．14∶3
B ．19∶4
C ．24∶5
D ．29∶6
【答案】 B
【解析】 由QR →＝13QB →，得PR →－PQ →＝13
(PB →－PQ →)， 整理得PR →＝13PB →＋23PQ →＝13PB →＋29
PA →， 由RP →＝13RC →，得RP →＝13
(PC →－PR →)， 整理得PR →＝－12PC →，∴－12PC →＝13PB →＋29
PA →， 整理得4PA →＋6PB →＋9PC →＝0，
∴S △ABC ∶S △PBC ＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
(2)已知点P ，Q 在△ABC 内，PA →＋2PB →＋3PC →＝2QA →＋3QB →＋5QC →＝0，则|P Q →||A B →|等于( )
A.130
B.131
C.132
D.133
【答案】 A
【解析】 根据奔驰定理得，S △PBC ∶S △PAC ∶S △PAB ＝1∶2∶3，S △QBC ∶S △QAC ∶S △QAB ＝2∶3∶5，
∴S △PAB ＝S △QAB ＝12
S △ABC ，∴PQ ∥AB ， 又∵S △PBC ＝16S △ABC ，S △QBC ＝15
S △ABC ， ∴|PQ →|| AB →|
＝15－16＝130. (3)过△ABC 重心O 的直线PQ 交AC 于点P ，交BC 于点Q ， PC →＝34
AC →， QC →＝nBC →，则n 的值为________．
【答案】 35
【解析】 因为O 是重心，所以OA →＋OB →＋OC →＝0，即OA →＝－OB →－OC →，
一汽佳宝v70PC →＝34AC →⇒OC →－OP →＝34(OC →－OA →)⇒ OP →＝34OA →＋14
OC →＝ －34OB →－12
OC →， QC →＝nBC →⇒OC →－OQ →＝n(OC →－OB →)
⇒OQ →＝nOB →＋(1－n) OC →，
因为P ，O ，Q 三点共线，所以OP →∥OQ →， 所以－34(1－n)＝－12n ，解得n ＝35
.
【方法总结】
“奔驰定理”与三角形“四心”：
已知点O 在△ABC 内部，有以下四个推论：
(1)若O 为△ABC 的重心，则OA →＋OB →＋OC →＝0.
(2)若O 为△ABC 的外心，则sin 2A ·OA →＋sin 2B ·OB →＋sin 2C ·OC →＝0.
(3)若O 为△ABC 的内心，则a ·OA →＋b ·OB →＋c ·OC →＝0.
备注：若O 为△ABC 的内心，则sin A ·OA →＋sin B ·OB →＋sin C ·OC →＝0也对．
(4)若O 为△ABC 的垂心，则tan A ·OA →＋tan B ·OB →＋tan C ·OC →＝0.
【拓展训练】
1．点P 在△ABC 内部，满足PA →＋2PB →＋3PC →＝0，则S △ABC ∶S △APC 为( )
A ．2∶1
双龙爱腾油耗B ．3∶2
C ．3∶1保时捷卡宴
D ．5∶3
【答案】 C
【解析】 根据奔驰定理得，S △PBC ∶S △PAC ∶S △PAB ＝1∶2∶3.
∴S △ABC ∶S △APC ＝3∶1.
2．点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ
的值分别为( ) A.29，49 B.49，29 C.19，29 D.29，19
奔腾t90【答案】 A
【解析】 根据奔驰定理，得3OA →＋2OB →＋4OC →＝0，
即3OA →＋2(OA →＋AB →)＋4(OA →＋AC →)＝0，
整理得AO →＝29AB →＋49
AC →，故选A. 3.设点P 在△ABC 内且为△ABC 的外心，∠BAC ＝30°，如图．若△PBC ，△PCA ，△PAB 的面
积分别为12
，x ，y ，则x ＋y 的最大值是________．
【答案】
33 【解析】 根据奔驰定理得，12
PA →＋xPB →＋yPC →＝0， 即AP →＝2xPB →＋2yPC →，
平方得AP →2＝4x 2PB →2＋4y 2PC →2＋8xy| PB →|·|PC →|·cos ∠BPC ，
又因为点P 是△ABC 的外心，
所以| PA →|＝|PB →|＝|PC →|，
全新奔腾b50且∠BPC ＝2∠BAC ＝60°，所以x 2＋y 2＋xy ＝14标致206改装
， (x ＋y)2＝14＋xy ≤14＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22，
解得0<x＋y≤
3
3
，
当且仅当x＝y＝
3
6
时取等号．
所以(x＋y)max＝
3
3
.
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