平面向量奔驰定理与三角形四心
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平面向量奔驰定理与三角形四心
已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
如图2延长与边相交于点则
图1               
                                                                                 
             
         
       
图2
                     
                     
推论:是内的一点，且，则
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有此定理可得三角形四心向量式
1、是的重心
2、是的内心
3、是的外心
4、是的垂心
         
证明：如图为三角形的垂心，
同理得，
奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
三角形“四心”的相关向量问题
四心的概念介绍：
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
●与“重心”有关的向量问题
1． 已知是所在平面上的一点，若，则是的(  )．
A．重点    B．外心    C．内心    D．垂心
2．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的(    ).
A．重点    B．外心    C．内心    D．垂心
3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（  ）
A坦克追尾>fordmustang．内心    B．重心    C．外心    D．垂心
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●与“垂心”有关的向量问题
4.是所在平面上一点，若，则是的(  )
A．重点    B．外心    C．内心    D．垂心
5.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的(  )．
A．重点    B．外心    C．内心    D．垂心
6.若为所在平面内一点，且
则点是的(    )
A．重点    B．外心    C．内心    D．垂心
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●与“内心”有关的向量问题
7.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足
，，则动点的轨迹一定通过的(  )．
A．重点    B．外心    C．内心    D．垂心
8.若O在△ABC所在的平面内：=，则O是△ABC的（  ）
A．垂心    B．重心    C．内心    D．外心
●与“外心”有关的向量问题
9.已知是所在平面上一点，若，则是的(  )．
透镜大灯A．重点    B．外心    C．内心    D．垂心
10.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的(    )。
A．重点    B．外心    C．内心    D．垂心