奔驰定理与四心
奔驰定理：
已知 O 是 ∆ABC 内的一点， ∆BOC , ∆AOC , ∆AOB 的面积分别为 S A ， S B ， S C ， 则：
S A • OA + S B • OB + S C • OC = 0
证明：
A
如图 2 延长OA 与 BC 边相交于点 D 则
玩车震B
C
BD = S ∆A BD = S ∆BOD
= S ∆ABD - S ∆BOD = S C
DC S ∆ACD S ∆COD S ACD - S ∆COD S B
图 1
OD =
DC OB + BC
BD OC
BC
A
B
D
C
S B
S B + S C
OB +
S C
OC S B + S C
OD = S
BOD
总裁4s店=
S COD = S BOD + S COD
=
S A OA
S BOA
S COA S BOA + S COA S B + S C
图 2
O
O
S B ∴
OD = -
S A
OA
+ S
∴- A
S + S OA = S B
S B + S C OB +
S C
OC S B + S C
∴ S A • OA + S B • OB + S C • OC = 0
推论: O 是∆ABC 内的一点，且 x • OA
+ y • OB + z • OC = 0 ，则
S ∆BOC : S ∆COA : S ∆AOB = x : y : z
O 是∆ABC 的重心
⇔ S ∆BOC : S ∆COA : S ∆AOB = 1:1:1 ⇔ OA + O B + OC = 0
垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
O 是∆ABC 的垂心
⇔ S ∆BOC : S ∆COA : S ∆AOB = tan A : tan B : tan C
汽车试驾场地⇔ tan A • OA + tan B • OB + tan C • OC = 0
OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ⇔ O 为∆ABC 的垂心.
内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
S B C
C
O 是∆ABC 的内心
⇔S∆BOC : S∆COA : S∆AOB =a : b: c ⇔a •OA +b•OB +c •OC =0
外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
O 是∆ABC 的外心
⇔S∆BOC : S∆COA : S∆AOB =sin 2A: s in 2B : sin 2C
⇔sin 2A •OA +sin 2B •OB +sin 2C •OC =0
与“重心”有关的向量问题
1已知G 是△ABC 所在平面上的一点，若GA +GB +GC = 0 ，则G 是△ABC 的( )．
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
G
如图⑴.
P
A'
A
B
图⑴
3万左右的车图⑵
2 已知 O 是平面上一定点， A ， B ， C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足
OP = OA + ( A B + AC ) ，
∈(0， + ∞) ，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
).
A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由题意 AP = ( A B + AC ) ，当
∈(0， + ∞) 时，由于( A B + AC ) 表示 BC 边上
的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，如图⑵.
3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点 P 满足 （λ∈
（0，+∞），则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的（
）
A ．内心
B ．重心
C ．外心
D ．垂心
解：作出如图的图形 AD⊥BC，由于
sinB=
sinC=AD ，
∴
=
由加法法则知，P 在三角形的中线上
B
M
A
C
E
M
P
H F
故动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心故选：B ．
与“垂心”有关的向量问题
3 P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA ⋅ PB = PB ⋅ PC = PC ⋅ PA ，则 P 是△ABC 的(
)
沃尔沃s80多少钱A ．重点
B ．外心
C ．内心
D ．垂心
【解析】由 PA ⋅ PB = PB ⋅ PC ，得 PB ⋅ (PA - PC ) = 0 ，即 PB ⋅ CA = 0 ，所以 PB ⊥ CA ．同
理可证 PC ⊥ AB ， PA ⊥ BC ．∴ P 是△ABC 的垂心．如图⑶.
A
C
B
高铁预售期P
图⑶
图⑷
4. O 是∆ABC 的垂心
证明：
⇔ S ∆BOC : S ∆COA : S ∆AOB = tan A : tan B : tan C
⇔ tan A • OA + tan B • OB + tan C • OC = 0
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