２００７．１０教与学
科学思想方法!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ａ．抛物线Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线
Ｄ．线段
失误分析：学生凭猜想选Ａ，但稍一细想，就觉不对．因为这不是同一平面内到定点和定直线的距离相等，必须转化到同一平面内来研究．
解：过点Ｍ在底面上的射影Ｎ作ＮＱ⊥ＡＣ于Ｑ，连接ＭＱ，则ＭＱ⊥ＡＣ．如图５．在直角三角形ＭＮＱ中，∠ＭＱＮ为二面角Ｐ－ＡＣ－Ｂ的平面角，ＭＮ∶ＭＱ＝ｓｉｎ∠ＭＱＮ．因ＭＰ＝ＭＮ，所以ＭＰ∶ＭＱ＝ｓｉｎ∠ＭＱＮ
（常数），即点Ｍ到定点Ｐ和定直线ＡＣ的距离之比等于定值，且定值在
０和１之间．故点Ｍ的轨迹是椭圆
的一段．
空间轨迹问题分两大类，一类
是利用基本轨迹，另一类是利用转
化思想进行化归．基本轨迹有：（１）
到定点的距离等于定长的点的轨迹
是球面；（２）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是圆柱面；（３）到一个定平面的距离等于定长的点的轨迹是到这个平面的距离等于该定长的两个平行平面；（４）到两定点的距离相等的点的轨迹是这两点连线段的垂直平分面；（５）到两相交平面距离相等的点的轨迹是两组二面角的平分面；（６）与两定点连线段的夹角等于定值的点的轨迹是两个球冠．所谓转化化归就是利用基本轨迹及交轨的方法（如例１和例２）或利用立体几何知识把空间问题平面化来解决（如例３）．图４图５
在高中阶段，一元二次函数一直是函数部分教学的重点和难点，在教学中对这部分内容相当重视，因此，学生对一元二次函数的图象及性质比较熟悉．随着导数的引入，由于一元三次函数的导数是一元
二次函数，因此，在综合性考试中，常见一元三次函数和一元二次函数综合考查的题目．学生应掌握一元三次函数的图象和性质．下面，讨论一下一元三次函数的图象和性质．
性质１：对函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），若ａ＞０，则当ｘ→＋∞时，ｆ（ｘ）→＋∞，当ｘ→－∞时，ｆ（ｘ）→－∞；若ａ＜０，则当ｘ→＋∞时，ｆ（ｘ）→－∞，当ｘ→－∞时，ｆ（ｘ）→＋∞．
一元三次函数的图象和性质迷你小汽车价格
□河北邢台市第八中学袁胜新
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２００７．１０
衢州交通违章查询教与学
证明：ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝ｘ（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ）＋ｄ．
若ａ＞０，当ｘ→＋∞时，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ→＋∞，ｘ（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ）→＋∞，
∴ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ→＋∞．
当ｘ→－∞时，ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ→＋∞，ｘ（ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ）→－∞，买了电动汽车后悔死了
∴ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ→－∞．
同理可证当ａ＜０时的情况．
由此可知，在画ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ的图象时，若ａ＞０，左侧应从下逐渐上升，右侧自右至左应从上逐渐下降．若ａ＜０，左侧应从上逐渐下降，右侧自右至左应从下逐渐上升．东风悦达起亚k3导航
性质２：对函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），其导函数为一元二次函数ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ，它的!＝（２ｂ）２－４×（３ａ）ｃ＝４（ｂ２－３ａｃ）．
当!＝４（ｂ２－３ａｃ）≤０时，函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０）在Ｒ上为单调函数．若ａ＞０，导函数ｙ＝ｆ′（ｘ）≥０恒成立，函数ｆ（ｘ）为增函数；若ａ＜０，导函数ｙ＝ｆ′（ｘ）≤０恒成立，函数ｆ（ｘ）为减函数．
当!＝４（ｂ２－３ａｃ）＞０时，导函数ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ＝０有两个相异实数根ｘ１，ｘ２且ｘ１＜ｘ２，因此，若ａ＞０，导函数ｆ′（ｘ）在（－∞，ｘ１）和（ｘ２，＋∞）上恒正，
故函数ｆ（ｘ）在（－∞，ｘ１）和（ｘ２，＋∞）上为增函数；导函数ｆ′（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）上恒负，所以函数ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）上为减函数；同样可得，若ａ＜０，函数ｆ（ｘ）在（－∞，ｘ１）和（ｘ２，＋∞）上为减函数，在（ｘ１，ｘ２）上为增函数．
性质３：对函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），其导函数为一元二次函数ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ，它的!＝（２ｂ）２－４×（３ａ）ｃ＝４（ｂ２－３ａｃ）．
由性质２可得当!＝４（ｂ２－３ａｃ）≤０时，函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０）不存在极值．
当!＝４（ｂ２－３ａｃ）＞０时，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２处取极值，若ａ＞０，函数ｆ（ｘ）在ｘ１处取极大值ｆ（ｘ１），在ｘ２处取极小值ｆ（ｘ２）．若ａ＜０，函数ｆ（ｘ）在ｘ１处取极小值ｆ（ｘ１），在ｘ２处取极大值ｆ（ｘ２）．
性质４：对函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），其导函数为一元二次函数ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ，!＝（２ｂ）２－４×（３ａ）ｃ＝４（ｂ２－３ａｃ）．
当!＝４（ｂ２－３ａｃ）≤０时，方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０有且只有一个实数根．
腾翼c30价格当!＝４（ｂ２－３ａｃ）＞０时，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２处分别取极值ｆ（ｘ１），
ｆ（ｘ２），当函数ｆ（ｘ）的极大值小于０或极小值大于０时，方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０有且只有一个实数根；当函数ｆ（ｘ）的极大值等于０或极小值等于０时，方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０有且只有两个实数根；当函数ｆ（ｘ）的极大值大于０且极小值小于０时，方程ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ＝０有且只有三个实数根．
性质５：函数ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０）关于（－ｂ
３ａ，ｆ（－ｂ
３ａ））呈中心对称图形．轮胎上的数字和字母是什么意思
例题（２００５年全国统考卷ＩＩ（文））２２．设ａ为实数，函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｘ２－ｘ＋ａ．
（１）求ｆ（ｘ）的极值；
科学
思想方法４６
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随着信息社会的迅猛发展，多媒体教学正逐步融入我们的课堂，它以特有的
功能，弥补了传统教学方式在直观性、
主体性和动态感等方面的不足，使一些抽象难懂的内容，变得易于理解和掌握，能取得传统教学方法无法取得的效果．在教学中，教师应结合数学学科内容和学生年龄小的特点，合理地运用电教媒体，发挥电教媒体教学的功能优势，激发学习兴趣，从而达到优化数学课堂教学，提高效率的目的．下面就如何合理运用电教媒体谈一些体会．
一、运用电教媒体，激发学习兴趣
兴趣是学生学习的最佳动力，是发展智力的基础．在目标教学的前提测评环节中，我充分利用电教媒体的直观性与可操作性强等特点，结合教材内容，或以鲜艳的图片刺激学生的感官，或以有趣的情境激发学生的兴趣，或以直观演示展
现新旧知识的矛盾点，激发学生的探究欲．例如，在讲“
平行四边形面积的计算”时，我首先出示一张投影，通过数方格的方法求出投影上所画的平行四边形的
面积，然后启发学生思考：如果一块地或一个操场是平行四边形，能用数方格的方法求出面积吗？不用数方格的方法，又怎样计算平行四边形的面积呢？通过设问，学生感到有趣，急于知晓计算平行四边形面积的方法．
二、运用电教媒体，培养创新能力
从发展的求异思维入手，培养和训练学生敏锐的洞察力和迅捷的判断力，鼓励学生大胆质疑，标新立异，沿着不同的方向去思考，以求获得尽可能多的解决问题的方法，从而培养学生的创新能力．运用电教媒体，可化静为动，化抽象为具体，展现给学生一个丰富多彩的世界．在这种极富创新的空间中，学生也会不知制作运用电教媒体提高数学教学效率
□河南临颍县北街学校丁书贞
（２）当ａ在什么范围内取值时，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴有且只有一个交点．
解：（１）三次项系数＝１＞０，!＝（－１）２－３×１×
（－１）＝４＞０，故函数ｙ＝ｆ（ｘ）存在极值．ｙ＝ｆ（ｘ）的导函数为ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ－１，令ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ－１＝０，解得ｘ１＝－１３
和ｘ２＝１．所以函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ１＝－１３处取极大值ｆ（－１３）＝ａ－７２７
，函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ２＝１处取极小值ｆ（１）＝ａ－１．
（２）要使曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴有且只有一个交点，即ｆ（ｘ）＝０有且只有一个实根，只需极大值ｆ（－１３）＝ａ－７２７＜０或极小值ｆ（１）＝ａ－１＞０，解得ａ＜７２７
或ａ＞１．现代教育技术４７
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