导数在实际生活中的最优化应用
摘 要：在我们的实际生活中，数学知识的应用无处不在，许多领域都与数学密切相关，如经济领域、医学领域、工业领域、天文领域、工程领域等。数学中的导数知识是在实际生活中应用比较广泛的。本文就对实际生活中导数最优化应用的相关问题进行分析和探讨。
关键词：导数；实际生活；最优化应用
一、引言
将数学知识与实际生活进行结合，可以更好地让人们理解一些较难掌握的知识点、公式以及定理等，是提高人们应用数学知识能力的关键。导数作为数学知识的重要内容之一，其本身具有强大的实际应用价值，在一些生产和生活领域中，导数的应用可以高效地解决对最大值、最小值以及最优化等问题。本文对导数知识加以理解和应用，真正将其深入到实际生活中，就具体最优化问题进行科学的解决的相关问题。什么车油耗最低
二、导数知识概念的有关分析
导数是指一个函数的因变量对于自变量的变化率，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。在高等数学微积分中，导数一直是其中一个关键且重要的概念，本身具有较强的基础性特点。早在十七世纪，导数是作为一个新概念由著名的数学家费马所研究并提出的。在当时，导数本身主要应用于对函数极值的求解上（最大值与最小值），其相关概念还不够完善和系统。在十七世纪后期，生产力水平的提高也极大地推动了科学技术的发展，很多著名的数学家对微积分进行了系统性的研究，并且对导数的概念也重新进行了定义。对于社会生产和科学技术的发展来说，导数本身是一个重要的数学知识。对于实际生活中的很多问题和很多事物之间的数量
关系，很难利用一个数值来进行精确表示，这对于相关研究工作来说具有很大的影响。通过导数的应用，可以将导数其中的变化率，从而解决了很多问题，因此导数在诸多领域中都得到了全面利用。例如，在物理领域瞬时速度研究、经济领域中变化率问题、统计领域人口增长率等多方面内容的研究上，导数的应用都获得了很大的成效。
对于一个函数来说，如果其本身存在导数，那么这个函数本身就是可微分的，也就是可导的，这是解决一些实际生活中最优化问题的前提。导数的应用中，很多领域的最优化问题
都可以利用相应的导数来解决。例如，在工业生产中，如何最大限度地提高工业生产效率，节约生产成本等，这些都可以归属于最优化问题，同时也都可以利用导数来解决。在具体应用的过程中，利用导数解决最优化问题时要从以下几个步骤来入手：首先，对实际问题进行全面分析，就其中的关键量重点加以明确，并对不同关键量之间的关系进行仔细分析，结合分析结果构建数学模型，列出不同变量的函数关系，结合具体情况，对变量范围进行划分，制订出定义域。其次，根据函数关系来完成求导的过程，并且对具体的极值点、实根以及不可导点进行确定。通过对不同极值点、实根以及不可导点中不同函数值的计算，再采取相应的对比方式，实现对最小值或者最大值的求解。最后，再根据求解的结果，结合实际问题，分析和解决实际问题，这是最优化问题的求解过程。在解
决导数问题解的过程中，最优化问题的分析需求也是不尽相同的，分析过程要确保结合实际，要忽略一些与实际脱节的值。在定义域的确定上，要结合函数关系，确保自变量处于有效区间之内，进而提高函数值的有效性。另外，一些具体的最优化问题中，很有可能会出现有效值只有一个点的情况，那么就可以对这一点加以确定，视其为最值。下文就对一些实际生活中的最优化案例中导数的应用进行分析。
三、应用案例分析
案例 1：某服装工厂在生产服装的过程中，为了满足不同的市场需求，将所生产服装按照相关质量标准分为 12 个档次标准。例如，质量标准最低的服装产品的生产时间最短，每一件服装产品本身可以获得 5 元的利润。而高一个标准的服装产品，在生产中每件的利润则可以达到 15 元，但是在相同时间内
的生产量相比低档次服装来说会减少 5 件。结合实际环境条件，假设在一定时间内，最低标准服装的生产数量为 100 件，则结合实际情况回答什么情况下总利润可以实现最大化？其中可以获得多少利润？
解答：对于这些最大化问题的求解上，我们可以利用求导发来对函数的最值进行分析，从而解决问题。在实际应用中要关注对定义域的严格限制。假设生产到第 n 种标准衬衫时可以获得最大的利润为 m。根据题目给的条件进行分析，可以得出函数m=[10+5（n-1）][100-5
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这一函数进行求导，可以得出 m’=25
（21-n）-25（n+1）=50（10-n），m’=50
（10-n）=0。通过求解，可以得到n=10，在 1~12 的区间内，极值点只有 10 一个点，因此可以将其视为最值
点，进而得出结果：在生产 10 标准的
衣服可以获得最大利润 3025 元。这种针对实际问题采取优化解决方案，可采取函数、指数的分析模式，应用导数的过程中可以更加有效地分析相关最大利润方面问题，进而解决问题。
实例 2：某矿厂在日常开采和生产的过程中，每月的产量可以达到x 吨，每吨矿的价格为 n 元，二者之间的关系通过公式表示可以表示为：n=24200- 1/5x2，并且开采 x 吨矿的成本为
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m=50000+200x。已知上述条件，问：为了更好地提高利润，每个月的产量应该定位为多少？其利润最大值为多少？
解答：根据上述题目中所叙述的条件，可以利用函数关系式来解答，并结合导数最值的方式进行求解。f（x）
=（24200-1/5x2）×（50000+200x）
=-1/5x2+24000x-50000。x 为产量，其应该具备 x ≥ 0 的条件。通过求解可以得出，x=200。在函数 f（x）中，极值 点 有 200 和 -200 两 个 点， 由 于x ≥ 0，则去掉 x=200。在 x=200 时，将f（200）代入计算可得结果利润为 315
万元。因此，将月产量定位 200 吨时，可
以获得最大利润 315 万元。这种解题方式，通过对极值点进行计算，结合定义区间的条件来进行筛选和选择，进而达到求最值的目的。
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实例 3：某包装厂在制作一种圆柱形的包装时，在确定包装容积的情况下，应如何确定半径、高和底，从而更好地减少包装中的材料使用量？
解答：根据上述题目中所叙述的条件，假设圆柱的底半径为 R，圆柱高为 h，根据表面积计算公式得出
s=2πRh+2πR2。
上海私车牌照拍卖网由 V=πR2h，得 h=—V  2，则 S（R）
a630t=2πR—V  2+2πR2=—2V +2πR2令 s'（R）=-—2V +4πR-0
V    V
π（3 √—V  ）2    π    π即 h=2R
根据分析结果可以得知，其结果的最小值只有一个：在圆柱体的高等于地面半径的二倍时，可以对表面积进行最小化控制，以减少材料的消耗。
实例 4：某厂房在扩建的过程中，需要建设一个矩形库房，库房的面积设定为 512 平方米，现阶段库房建设中，可以对一侧墙壁进行利用，为了提高墙壁的利用，减少材料消耗，问如何对其长宽进行规划，才能达到这一目的？
解答：根据上述题目中所叙述的条件，我们经过分析得知，要想达到材料最省的目的，就需要对墙壁的总长度进行控制。假设场地的边长为 n 米，另一边的边长则为 512/n 米，因
此墙壁的总长度应该为 L=2x+512/n 米，其中边长