2013年中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：含有 一 个未知数，并且未知数 最高次数为二 方程
2、一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=o (a不等于0) 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X1= X2=
2、公式法：如果方程aX
2 +bx+c=0(a±0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为 ：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a
3、因式分解法：一元二次方程化为一般式形式，如果左边分解因式，即产生A.B=0的形式，例如解方程x（x+1）-2（x+1）=0
4、十字相乘法
【名师提醒：一元二次方程的几种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】
三、一元二次方程根的判别式
关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示
①当 时，方程有两个不等的实数根
②当 时，方程看两个相等的实数根
③当 时，方程没有实数根
一、一元二次方程根与系数的关系：
关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1X2
则X1+X2 =
X1X2 =
二、一元二次方程的应用：
解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
常见题型
1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa（1+X）2=b
2、利润问题
3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程
【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【重点考点例析】
考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）
例1 （2012•兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+=0 B．ax2+bx+c=0
C．（x-1）（x+2）=1 D．3x2-2xy-5y2=0
思路分析：一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、原方程为分式方程；故本选项错误；
B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；
D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．
故选C．
B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；
D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．
故选C．
对应训练
1．（2012•惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= ．
1．1
解：∵一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2-1=0，
∴a=1．
故答案为1．
∴a+1≠0且a2-1=0，
∴a=1．
故答案为1．
点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
考点二：一元二次方程的解法
例2 （2012•安徽）解方程：x2-2x=2x+1．
解：∵x2-2x=2x+1，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
∴x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-．
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
∴x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定
思路分析：将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．
解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
故选A
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
故选A
点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．
对应训练
2．（2012•台湾）若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b之值为何？（ ）
A．-57 B．63 C．179 D．181
2．D
2．解：x2-2x-3599=0，
移项得：x2-2x=3599，
x2-2x+1=3599+1，
即（x-1）2=3600，
x-1=60，x-1=-60，
解得：x=61，x=-59，
∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a=61，b=-59，
∴2a-b=2×61-（-59）=181，
故选D．
移项得：x2-2x=3599，
x2-2x+1=3599+1，
即（x-1）2=3600，
x-1=60，x-1=-60，
解得：x=61，x=-59，
∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a=61，b=-59，
∴2a-b=2×61-（-59）=181，
故选D．
3．（2012•南充）方程x（x-2）+x-2=0的解是（ ）
A．2 B．-2，1 C．-1 D．2，-1
3．D
考点三：根的判别式的运用
例3 （2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．-≤k汽车点评＜ D．-≤k＜且k≠0
思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1-4k＞0，
∴-≤k＜且k≠0．
故选D．
∴-≤k＜且k≠0．
故选D．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2-4ac．一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
例4 （2012•绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
思路分析：（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
解：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，即△≥4，
∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）根据题意，得
12-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；
该直角三角形的周长为1+3+=4+；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．
∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，即△≥4，
∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）根据题意，得
12-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；
该直角三角形的周长为1+3+=4+；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．
点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．
对应训练
3．（2012•桂林）关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜-1 D．k＞-1
3．A．
4．（2012•珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=-3时，求方程的根．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=-3时，求方程的根．
4．解：（1）∵当m=3时，
△=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，
∴原方程无实数根；
（2）当m=-3时，
原方程变为x2+2x-3=0，
∵（x-1）（x+3）=0，
∴x-1=0，x+3=0，
△=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，
∴原方程无实数根；
（2）当m=-3时，
原方程变为x2+2x-3=0，
∵（x-1）（x+3）=0，
∴x-1=0，x+3=0，
∴x1=1，x2=-3．
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