2013年中考数学专题复习第八讲:一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、一元二次方程的定义:
1、一元二次方程:含有 一 个未知数,并且未知数 最高次数为二 方程
2、一元二次方程的一般形式: ax2+bx+c=o (a不等于0) 其中二次项是 一次项是 , 是常数项
【名师提醒:1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列,并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法:
1、直接开平方法:如果aX 2 =b 则X 2 = X1= X2=
2、公式法:如果方程aX
2 +bx+c=0(a±0) 满足b 2-4ac≥0,则方程的求根公式为 :x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a
3、因式分解法:一元二次方程化为一般式形式,如果左边分解因式,即产生A.B=0的形式,例如解方程x(x+1)-2(x+1)=0
4、十字相乘法
【名师提醒:一元二次方程的几种解法应根据方程的特点灵活选用,较常用到的是 法和 法】
三、一元二次方程根的判别式
关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)根的情况由 决定,我们把它叫做一元二次方程根的判别式,一般用符号 表示
①当 时,方程有两个不等的实数根
②当 时,方程看两个相等的实数根
③当 时,方程没有实数根
一、一元二次方程根与系数的关系:
关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1X2
则X1+X2 =
X1X2 =
二、一元二次方程的应用:
解法步骤同一元一次方程一样,仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
常见题型
1、增长率问题:连续两率增长或降低的百分数Xa(1+X)2=b
2、利润问题
3、几个图形的面积、体积问题:按面积的计算公式列方程
【名师提醒:因为通常情况下一元二次方程有两个根,所以解一元二次方程的应用题一定要验根,检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【重点考点例析】
考点一:一元二次方程的有关概念(意义、一般形式、根的概念等)
例1 (2012•兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0
思路分析:一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
解:A、原方程为分式方程;故本选项错误;
B、当a=0时,即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时,该方程就不是一元二次方程;故本选项错误;
C、由原方程,得x2+x-3=0,符合一元二次方程的要求;故本选项正确;
D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数;故本选项错误.
故选C.
B、当a=0时,即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时,该方程就不是一元二次方程;故本选项错误;
C、由原方程,得x2+x-3=0,符合一元二次方程的要求;故本选项正确;
D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数;故本选项错误.
故选C.
对应训练
1.(2012•惠山区)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则a= .
1.1
解:∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,
∴a+1≠0且a2-1=0,
∴a=1.
故答案为1.
∴a+1≠0且a2-1=0,
∴a=1.
故答案为1.
点评:本题考查了一元二次方程的定义:含一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程,其一般式为ax2+bx+c=0(a≠0).也考查了一元二次方程的解的定义.
考点二:一元二次方程的解法
例2 (2012•安徽)解方程:x2-2x=2x+1.
解:∵x2-2x=2x+1,
∴x2-4x=1,
∴x2-4x+4=1+4,
(x-2)2=5,
∴x-2=±,
∴x1=2+,x2=2-.
∴x2-4x=1,
∴x2-4x+4=1+4,
(x-2)2=5,
∴x-2=±,
∴x1=2+,x2=2-.
点评:此题考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方;
(4)选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
A.7 B.3 C.7或3 D.无法确定
思路分析:将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解得到原方程的解为3或7,利用三角形的两边之和大于第三边进行判断,得到满足题意的第三边的长.
解:x2-10x+21=0,
因式分解得:(x-3)(x-7)=0,
解得:x1=3,x2=7,
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解,
∴三角形的第三边为3或7,
因式分解得:(x-3)(x-7)=0,
解得:x1=3,x2=7,
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解,
∴三角形的第三边为3或7,
当三角形第三边为3时,2+3<6,不能构成三角形,舍去;
当三角形第三边为7时,三角形三边分别为2,6,7,能构成三角形,
则第三边的长为7.
故选A
当三角形第三边为7时,三角形三边分别为2,6,7,能构成三角形,
则第三边的长为7.
故选A
点评:此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解,以及三角形的边角关系,利用因式分解法解方程时,首先将方程右边化为0,左边分解因式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解.
对应训练
2.(2012•台湾)若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b,且a>b,则2a-b之值为何?( )
A.-57 B.63 C.179 D.181
2.D
2.解:x2-2x-3599=0,
移项得:x2-2x=3599,
x2-2x+1=3599+1,
即(x-1)2=3600,
x-1=60,x-1=-60,
解得:x=61,x=-59,
∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b,且a>b,
∴a=61,b=-59,
∴2a-b=2×61-(-59)=181,
故选D.
移项得:x2-2x=3599,
x2-2x+1=3599+1,
即(x-1)2=3600,
x-1=60,x-1=-60,
解得:x=61,x=-59,
∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b,且a>b,
∴a=61,b=-59,
∴2a-b=2×61-(-59)=181,
故选D.
3.(2012•南充)方程x(x-2)+x-2=0的解是( )
A.2 B.-2,1 C.-1 D.2,-1
3.D
考点三:根的判别式的运用
例3 (2012•襄阳)如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( )
A.k< B.k<且k≠0 C.-≤k汽车点评< D.-≤k<且k≠0
思路分析:根据方程有两个不相等的实数根,则△>0,由此建立关于k的不等式,然后就可以求出k的取值范围.
解:由题意知:2k+1≥0,k≠0,△=2k+1-4k>0,
∴-≤k<且k≠0.
故选D.
∴-≤k<且k≠0.
故选D.
点评:此题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的判别式△=b2-4ac.一元二次方程根的情况与判别式△的关系为:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
(3)△<0⇔方程没有实数根.
例4 (2012•绵阳)已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
思路分析:(1)根据关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判别式的符号来证明结论;
(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值,然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论:①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:;②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为;再根据三角形的周长公式进行计算.
(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值,然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论:①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:;②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为;再根据三角形的周长公式进行计算.
解:(1)证明:∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4,
∴在实数范围内,m无论取何值,(m-2)2+4≥4,即△≥4,
∴关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根;
(2)根据题意,得
12-1×(m+2)+(2m-1)=0,
解得,m=2,
则方程的另一根为:3;
①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:;
该直角三角形的周长为1+3+=4+;
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2.
∴在实数范围内,m无论取何值,(m-2)2+4≥4,即△≥4,
∴关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根;
(2)根据题意,得
12-1×(m+2)+(2m-1)=0,
解得,m=2,
则方程的另一根为:3;
①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:;
该直角三角形的周长为1+3+=4+;
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2.
点评:本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义.解答(2)时,采用了“分类讨论”的数学思想.
对应训练
3.(2012•桂林)关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<1 B.k>1 C.k<-1 D.k>-1
3.A.
4.(2012•珠海)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况;
(2)当m=-3时,求方程的根.
(1)当m=3时,判断方程的根的情况;
(2)当m=-3时,求方程的根.
4.解:(1)∵当m=3时,
△=b2-4ac=22-4×3=-8<0,
∴原方程无实数根;
(2)当m=-3时,
原方程变为x2+2x-3=0,
∵(x-1)(x+3)=0,
∴x-1=0,x+3=0,
△=b2-4ac=22-4×3=-8<0,
∴原方程无实数根;
(2)当m=-3时,
原方程变为x2+2x-3=0,
∵(x-1)(x+3)=0,
∴x-1=0,x+3=0,
∴x1=1,x2=-3.
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