汽 车 工 程
Automotive Engineering 2020年（第42卷）第12期
2020(Vol.42)No.12
doi ：10.19562/j.chinasae.qcgc.2020.12.007
*重庆市自然科学基金博士后科学基金(cstc2020jcyj-bsh0129)和国家重点研发计划(2018YFB1600500)资助°
原稿收到日期为2020年2月19日，修改稿收到日期为2020年4月20日°
通信作者：徐进，教授，博士生导师,E-mail ：yhnl_996699@ 163. com°
张河山「，邓兆祥2，杨明磊3，罗 杰1，徐 进1
(1.重庆交通大学交通运输学院，重庆 400074； 2.重庆大学汽车工程学院，重庆 400044；
3.同济大学汽车学院，上海200092)
[摘要]为克服有限元分析反复建模复杂、计算耗时耗资源等缺点，提岀一种兼顾精度和效率的磁场解析建 模方法°以一台48槽16对极的表面嵌入式外转子轮毂电机为研究对象，利用子域技术在二维极坐标系下建立了
轮毂电机的负载磁场解析模型°将电机整个求解域划分为定子绕组槽、槽开口、气隙和永磁体转子槽4类子域°根
据激励源的不同，分别在不同子域求解矢量磁位的拉普拉斯或泊松方程°利用相邻子域间的边界条件求解各子域 的矢量磁位通解，进而得到轮毂电机的磁场分布、反电动势、电感和转矩等电磁性能，并对比分析了开口槽结构的计 算结果°通过有限元分析与样机试验验证了解析模型的准确性°在此基础上，进一步研究了极弧系数和槽开口宽
度对转矩的影响，结果表明：当该电机的极弧系数为0. 825、槽开口角宽度为2. 169°时，输岀转矩平均值从原样机的 160. 75 N - m 提高至165. 08 N • m，转矩脉动率从& 8%降低至3. 025%°
关键词：轮毂电机；子域技术；解析建模：磁场分布：转矩
Analytical Calculation of Loaded Magnetic Field in Hub Motor
for Electric Vehicle
Zhang Heshan 1, Deng Zhaoxiang 2, Yang Minglei 3, Luo Jie 1 & Xu Jin 1
1. Co 〃ege of Tra^^ic & Transportation , Chongqing Jiaoio^g University , Chongqing 400074 ；
2. Schoo/ of Automotive Engineering , Chongqing University , Chongqing 400044 ；
3. Schoo/ of Automotive Studies , Tongi University , Shanghai 200092
[Abstract ] To overcome the shortcomings of finite element analysis ( FEA) , i.e., tedious iterative modeling
and time-and resource-consuming etc., a magnetic field analytical modeling method is proposed , concurrently con sidering both accuracy and efficiency.Taking a 48-slot/16-pole pair hub motor with surface-inset external rotor as study object , the loaded magnetic field analytical model of hub motor is established under a 2D polar coordinate sys tem by using subdomain technique.The entire solution domain of the motor is divided into four types of subdomains , i.e., stator winding slots , slot openings , air gap and permanent magnet rotor slots , and the Laplace ' s or Poisson ' s
equation of magnetic vector potential is solved in different subdomain according to different e
xcitation source. Then, the boundary conditions between adjacent subdomains are used to solve the general solution of the magnetic vector
potential in subdomain, and the electromagnetic performance such as magnetic field distribution, back electromotive
force, inductance and torque are further calculated , and which with different slot opening structures are compared. FEA and prototype tests are conducted to validate the correctness of analytical models, and on this basis, the effects
of polar arc coefficient and slot opening width on torque are further studied. T he results show that with a polar arc co
efficient of 0.825 and a slot opening angular width of 2.169° , the average output torque increases from original 160.75 N • m to 165.08 N • m, and the torque pulsation rate reduces from original 8.8% to 3.025%.
Keywords : hub motor ； subdomain technique ； analytical modeling ； magnetic field distribution ； torque
-
1656-汽车工程2020年（第42卷）第12期
前言
应对全球能源危机和环境恶化的严峻挑战，近年来各种形式的电动汽车成为世界各国汽车工业发展的热点。其中，轮毂电机驱动的电动汽车成为一个新的研究方向［1-2］。在这种驱动方式下，驱动电机、传动机构以及制动系统最大化地集成在车轮轮毂内，实现了四轮的独立控制，取消了传统燃油车的变速器和离合器等传动部件，极大简化了整车布置，提升了控制效率，有利于实现机电一体化［3-4］。
永磁电机具有效率高、功率密度高和寿命长等特点，广泛应用于电动汽车的驱动电机。直驱式轮毂电机通常采用外转子永磁电机，为降低转子质量和体积，永磁体通常采用表贴式和表面嵌入式两种安装方式，后者相比于前者具有较多优势，例如表面嵌入式磁体结构能够提供磁阻转矩，减小涡流损耗，拥有较好的弱磁能力以及较高的机械强度［5-6］o因此本文中的轮毂电机也采用外转子表面嵌入式磁体结构。由于轮毂电机定转子铁芯都为开槽结构，且定子槽为半开口结构，绕组为分数槽集中式布线。建立准确刻画定转子开槽效应的磁场解析模型难度较大，特别是气隙磁场的准确性难以保证。
常用的分析方法有有限元法和解析法。有限元法作为一种常用的分析方法具有很多优势，例如可以构建较复杂的几何结构，考虑铁磁材料的非线性特性以及磁饱和效应。但是在电机设计初期和性能优化
阶段，电机的结构和尺寸变化时须反复建模、设定边界条件、划分网格，建模过程复杂，计算耗时、耗资源。而解析法具有较高的灵活性，在改变设计参数时，无须反复建模，具有较高的效率，方便探讨设计变量与性能参数的映射关系。常用的解析法有等效磁路/网络、保角变换、子域分析技术。等效磁路/ 网络法可以考虑铁磁材料非线性特性以及磁饱和效应，但只能粗略计算电机性能，不能处理复杂磁场问题，不能考虑齿槽效应，计算误差较大，通常用于初始设计阶段［7］。将永磁体等效为面电流，通过保角变换将有槽的求解域转化为无槽域，通过坐标变换来考虑齿槽效应冈。但忽略了由于共形映射引起的磁体形状和气隙磁密积分路径的变形，导致齿槽转矩的计算误差⑼。基于泊松和拉普拉斯方程的子域分析技术具有很高的精度，因为它可以准确刻画复杂的几何结构，准确计算定转子开槽对气隙磁场的影响［1（）T1］。因此，子域分析技术被广泛应用于各种类型的电机磁场分析。文献［12］~文献［15］中利用子域分析技术集中研究了定子无槽的表面嵌入式永磁电机，将电枢绕组假设为面电流，可以预测空载气隙磁密、电枢反应磁场、电磁转矩和永磁体损耗等性能。文献［16］中结合子域分析技术和保角变换，考虑了表面嵌入式永磁电机的转子偏心和磁饱和效应，但是定子铁芯被假设为无槽结构，导致不能精确计算齿槽转矩和电磁转矩。在此基础上，文献［17］~文献［20］中又研究了表面嵌入式永磁电机定子开槽效应，可以研究定子开槽对气隙磁场的影响。其中，文献［17］中利用矢量磁位和子域分析技术建立了内转子永磁电机的解析模型，预测了空载、电枢反应和负载工况下的气隙磁场分布，其缺点是将定子槽假设为开口槽（即槽开口宽度角与定子槽宽度角相等），未考虑定子槽开口求解域，不能准确计算齿槽转矩。文献［18］中利用子域分析技术研究了永
磁无刷电机的定子开槽效应，并增加了槽开口子域，解析模型更完善，可以预测空载和电枢反应下的气隙磁场分布。文献［19］中又推导了转矩的表达式，并计算了负载气隙磁密、齿槽转矩和电磁转矩。文献［20］中考虑了轴向磁通电机的定子开槽效应，在直角坐标系中计算了负载气隙磁场分布。文献［5］中增加了“转子空气槽”，将其应用到高凸极率的内转子永磁电机的解析建模中，这种转子结构可以提高电感凸极率，从而增大磁阻转矩，同时获得较宽的调速范围。
上述解析计算模型有助于表面嵌入式永磁电机的性能分析和优化设计，但不适用于本文中研究的车用轮毂电机，因其具有外转子嵌入式永磁体、分数槽集中式绕组、定子槽为半开口槽等复杂的拓扑结构。因此本文中利用麦克斯韦方程和子域分析技术建立了车用轮毂电机的负载磁场解析模型，考虑了定子开槽效应，特别是定子槽开口子域。为建立快速且精确的磁场计算模型，将整个磁场求解域划分为4类子域，即电枢定子槽、槽开口、气隙和永磁体转子槽。首先，根据激励源的不同，在各子域建立矢量磁位的麦克斯韦方程，并利用分离变量法求解各子域的矢量磁位的通解。然后，利用相邻子域间的边界条件得到矢量磁位的谐波系数。最后，解析预测了轮毂电机的磁场分布、反电动势、电感、齿槽转矩以及输出转矩等性能，并对比了开口槽结构的解析计算结果。利用有限元法和样机试验验证了解析法的正确性。进一步研究了永磁体极弧系数和槽开口宽度对齿槽转矩和输出转矩的影响规律。
2020(Vol.42)No.12张河山，等：电动车用轮毂电机的负载磁场解析计算•1657•1磁场解析模型
1.1电机几何结构与基本假设
图1为课题组自主研发的分布式驱动电动汽车
驱动轮总成，轮内集成了驱动电机、挠性传动机构、
电机悬架以及电子机械制动等，驱动力直接由电机
经过挠性传动机构传递至车轮，整车布置更加灵活。
本文中的研究重点是利用子域分析技术对轮毂电机
进行解析建模与性能研究。为简化解析建模，作如下假设：
(1)忽略涡流效应和端部效应；
(2)定转子铁芯的磁导率为无穷大；
(3)矢量磁位和电流密度只有z轴方向的分量；
(4)永磁体材料为线性退磁特性；
(5)定转子铁芯和永磁体的电导率为零。
|电子机|
I械剖动I
挠性传动机构
图1轮毂电机驱动的电动车轮总成
所研究的轮毂电机为48槽16对极，外转子表面嵌入式磁体结构。图2给出开口槽和半开口槽两种结构作对比分析。其中图2(a)中没有单独划分槽开口子域，即定子槽和槽开口宽度角相等，可参考文献［21］中的定子槽形状。将图2(b)中的轮毂电机整个求解域划分为4类子域，分别为：定子绕组槽(子域I)、槽开口(子域U)、气隙(子域川)和永磁体转子槽(子域W)。定子槽和转子槽的中心位置分别定义为
n
B i H Q(2i-1)(1)
n
e-—(/一1)+00(2) P
式中:Q s为定子槽数;P为转子极对数;00为转子初始位置。
1.2激励源
对于表面嵌入式磁体结构，磁化强度呈非周期性分布。因此利用奇延拓将磁化强度补充为周期信号，如图3所示。
Rsb心%
(a)开口槽结构
人sb Rt Rs人m&
(b)半开口槽结构
图2轮毂电机子域模型
根据式(3)，第j个转子槽内的永磁体磁化强度M.可以表示为径向和切向分量的矢量和。当永磁体径向充磁时，磁化强度的径向和切向分量如式(4)和式(5)所示。当然，也可以处理平行充磁和Halbach充磁方式。
Mj_Mj，仃皿⑴3
0,0厂匕wevg-叭
'7272
B vL
：e-p
他，72
严+；
(3)
(2-L p)u
2
M,r(e)_v0，
B rm
上海电动汽车价格他
0，
0+2<0網+
(2%)u(2+L p)u
——p+p
2]
(2+L p)u
——p+
9J
(4)
• 1658 -汽 车 工 程2020年(第42卷)第12期
Mj ,o (0) = 00. - 2 W 0 W Bj + 2 (5)
式中:U 为转子槽宽度;UL p 为永磁体极弧系数;B rm
为永磁体剩磁许0为真空磁导率。
根据周期性，可以将其转换为傅里叶级数形式:
Mj,「= 8 ・
Z 甌,k
sin [T k (0 +u
/2 - 0-) ] (6)
k = 1,2,3,…
¥
M ,e = 8 ・
Z M d k cos [T k
(0 +u
/
2 - 0j ) ] (7)
k = 1,2,3,…
其中：8 _ ( -1)7-1 ；T k _kn /u
式(6)和式(7)的傅里叶系数分别为
_4B rm /(k n ^0) sin (knL p /2) sin (k n /2)
(8)- 1 0+3
u
M
°,k _T
V M ,0 cos [ t ( 0+U/2-0.) ] d0 _0
(9)
U 0r~2
轮毂电机为双层绕组，根据周期性，第i 个定子
槽的电流密度可以表示为傅里叶级数形式：
Z
人 cos 厂I 0+专-0i
J , _ (饗J d +sa
n = 1n n ( b
(10)
b sa L 2式中J1和J i 2为定子槽内左右两侧绕组的电流密
度;b sa 为定子槽的宽度;d 为单侧绕组的宽度。谐波
系数J in 可以由下式计算：
J in _
n n ( J i 1
.n n d sin b sa ，
d
_ b sa'2
(11)
—
(J 订 +J i 2cos n n ) sin ,dMb sa /2
I ®"
b sa
轮毂电机采用分数槽集中式绕组，图4示出定
子绕组的连接图，对应的绕组排列矩阵为
8
c _'[ C b ，C b ，二，C b ，C b ]'
(12)
「0 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 -C b _ 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 (13)
L -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 -
图4定子绕组连接图
a .
______—
J 1・3各子域的矢量磁位通解
根据激励源的不同，各子域的磁场控制方程不
一样。子域1(定子绕组槽)和子域W(永磁体转子
槽)的矢量磁位满足Poisson 方程，子域II (槽开口 )
和子域川(气隙)的矢量磁位满足Laplace 方程，如
式(14)所示。
d 2儿1込1d 2儿
-------------------------------------------------_
d r 2 r d r 厂2 d 02*°J i ,
子域I
<0, 子域I 和川 (14)
、-M 0 (M e -d M r /d 0 )/r，子域 W
利用分离变量法， 可以得到各子域的矢量磁位
通解， 其表达式具体如下。
(1)定子绕组槽(子域I)
£,_m 0J i 0 (2R 2b ln r-r
2) /4+
N 1
Q 1i +
Z 九cos [E n (0+b
sa/
2-0i )] (15)
n = 1
其中
T
(J i 1+J i 2 ) d
J i0_ ------
(16)
4m _D n [(r/R t ) +G 1 (r/R 訪)%] +
M 0Jm [r 2+2R 2b (r/R 訪)~En /E n ] /(E ：-4) ( 17)
G 1_ (R sb /R t ) E" ,En _ nn /b sa (18)
式中R t 和R sb 分别为定子槽顶部和底部的半径。
(2)槽开口(子域I)
N 2
4,i = D 2ln r+Q^+Z, [C (r/R s ) % +
m = 1
D 2 (r/Rj 讥]・ cos [F m (0+b oa/2-0j ]
( 19)
F m
_ mn /b oa (2。)
式中:R s 为定子铁芯的外径;b oa 为槽开口宽度。
(3) 气隙(子域川)
N 3
© _
Z [4
3
(r/R m ) ' +B 3 (r/R s ) -'] cos ('0) +'=1
N 3
Z [C
3
(r/R m ) ' +D 3 (r/R s ) -'] sin ('0)
(21)
式中R m 为永磁体的内径。
(4) 永磁体转子槽(子域W)
4W =Q 4 +
Z { [ G
4
(r/R r ) +(r/R m ) -T k ] B^ (r )-
k = 1
□ ,k (R r ) R"k +M e ^8R r /Tk ] ( r/R r ) " }-
cos [T k (0+v/2_0/) ]
(22)
其中
恥 r ( T k M r ,k -M 0,k )/( 1-T 2 )，T k 工1
厶k (r ) _{ • •
(23)
恥 r (M r,k -M 0,k ) /2ln r ， T k _
1
2020(Vol.42)No.12张河山，等：电动车用轮毂电机的负载磁场解析计算-1659 -
G 广(Rm/RJ " (24)
式中R r 为永磁体的外径。
1.4各子域的磁通密度
根据磁通密度和矢量磁位的关系B = V x A ，磁
密的径向和切向分量可以通过矢量磁位计算：
B r = (1 /r ) dA/30,
= -dA/dr (25)
(1) 定子绕组槽(子域I)
1 M
B l,r =-工｛
E ”D ” [(r/RJ En + G , (r/R s b ) -En ] +
n
“0E …J ,… [
r 2 + 2R ： (r/R s ”
)-En /E ”] /(E 2 - 4) ｝•
sin [E ” (0 +几/2 -0,)]
(26)
B i = -“0 J .
0 (2R 2
b /r -2r) /4-
丈｛
E …D …
[(r/R t ) E f (r/R s ”)坦]/r +
2^0 J ” [ r -R ： ( r/R s ”)-E n /r ] / (E ： -4 )｝-
cos [E ” (0+6sa/2-0,)] (27)
(2) 槽开口(子域H )
1弘
B 冷-
工[
C
( r/R s ) Fm +D» ( r/R t ) -Fm ]F ”・
r m= 1
sin [ F ” ( 0+6…a /2-0,)]
(28)
B 加一
Z [C i F ” (r/R s ) f (r/R ,)-
F ”]F ”/r
cos [ F ” ( 0也a /2—0J ] —D q/r
(29)
(3)气隙(子域:m)
B m
=
Z B m sin (/0) + Z B m cos (/0)
=1
=1
(30)B m
=
Z B 》/cos( /0 ) + Z B 》/sin( /0 )
=1
=1
(31)
其中：
B
*=-[A 3 (r/R m )/+B 3 (r/R s ) -/]//r (32)B 〃=[C 3 (r/RJ /+D 3 (r/R s ) -/ ]//r (33)B 》/：=-[A 3 (r/RJ /-B 3 (r/R s ) -/ ]//r
(34)Blr-
=-[C 3 (r/RJ /-D 3 ( r/R s ) -/ ]//r
(35)
(4)永磁体转子槽(子域N)
1他
B Nr =-
》｛[
G 4 (r/R r ) T * + ( r/R ” ) -
T * ]讥 +
k = 1
仇(r )-厲(R r ) R r +M °丹汎]("R ” ) ，
sin [ t ( 0+u/2-0丿]
(36)
皓=-Z ｛ [ G 4 (r/R r )T -( r/R m )-T *] 6血/卄
A = 1
Z.A (r ) - g (R r ) R r +M °H 隔]("R r ) ''/『｝•
cos [ t ( 0+u/2-0))]
(37)
1. 5边界条件
前文矢量磁位中的待求解系数可以通过相邻子域
间的边界条件确定，其基本原理是根据磁场的连续性,
即相邻子域交界面的法向磁密和切向磁场强度相等, 具体表达式如下。
A I… r =r ,
-A ； r=R ,=0,0T ”a/2W 0<0, +几/2
(38)
氐 r=R ,-C r =R ,=0,0,-6”a/2W 0W 0, +几/2 (39)
A f… lr=R .-A n |r=R . = 0,0,-6”a/2W 0W 0,+6”a/2
(40)
用0 心-刖 r=R .=0,0,-6”a/2W 0W 0, +6…a /2 (41)
A n r =r ”-a N r =R m =0,0-L p u/2W 0W 0, +L p u/2
(42)刖 r=R m -用0 r=R m =0,0-L p U/2W 0W 0, +L p u/2
(43)
联合式(38)〜式(43)可以组成多元矩阵方程，通
过求解矩阵方程得到矢量磁位中的直流项系数(0,,
D ：,Q ：,，匕丿和谐波系数(D ,,, C 21, D ：,, A 3, B 3, C 3, D 3,
B 4丿，进而得到各子域的矢量磁位通解。
2解析计算与验证
为验证本文所提解析法的正确性，在MATLAB 软 件中建立轮毂电机的解析模型，利用ANSYS/Maxwell
软件建立轮毂电机二维有限元模型。表1给出轮毂电
机的主要设计参数。电机转速为600 r/min ，峰值相电 流为45 A o 为保证计算精度，有限元模型中的电枢绕
组、永磁体、定转子铁芯等各部件网格剖分单元最大尺 寸为1 mm，仿真步长为6x 10-5 s°由于轮毂电机的齿
槽转矩和输出转矩均是通过气隙磁场得到的，设置较 大的气隙子域谐波次数，获得精确的气隙磁场分布。
为兼顾计算精度和效率，解析模型中各子域的最高谐 波次数分别设置为:M =30，他= 30，他=500，他= 30。
表1轮毂电机的主要参数
参数
数值
参数
数值
Q s 48R/mm
143. 5p
16R m /
mm
149. 5叭
0. 75xn/p
La/mm
40
嘉/(°) 3.782他
224
几/(°)
1.369
a 1
16R sb/
mm
105M r 1.05R/mm
140
b 「”/t
1.2
R s /mm 142.3“°/(N - A -2)4nx10-7
2.1磁密分布
准确计算气隙磁场分布对预测轮毂电机齿槽转
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