一、隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model, HMM)
二、三个基本问题
1. 概率计算问题（Forward-Backward算法）
给定模型λ=(A,B,π)和观察序列O=(o1,o2,…,oT)，计算在模型λ下观察序列O出现的概率P(O|λ)。
解法：前向-后向算法(Forward-Backward algorithm)。前向算法计算从t=1到t=T时，状态为i且观察值为o1,o2,…,ot的概率；后向算法计算从t=T到t=1时，状态为i且观察值为ot+1,ot+2,…,oT的概率。最终将两者相乘得到P(O|λ)。
2. 学习问题（Baum-Welch算法）
给定观察序列O=(o1,o2,…,oT)，估计模型参数λ=(A,B,π)。
解法：Baum-Welch算法(EM算法的一种特例)。该算法分为两步：E步计算在当前模型下，每个时刻处于每个状态的概率；M步根据E步计算出的概率，重新估计模型参数。重复以上两步直至收敛。
3. 预测问题（Viterbi算法）奥迪r4报价
给定模型λ=(A,B,π)和观察序列O=(o1,o2,…,oT)，到最可能的状态序列Q=(q1,q2,…,qT)，使得P(Q|O,λ)最大。
解法：Viterbi算法。该算法利用动态规划的思想，在t=1时初始化，逐步向后递推，到在t=T时概率最大的状态序列Q。具体实现中，使用一个矩阵delta记录当前时刻各个状态的最大概率值，以及一个矩阵psi记录当前时刻各个状态取得最大概率值时对应的前一时刻状态。最终通过回溯到最可能的状态序列Q。
三、相应的算法
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1. Forward-Backward算法
输入：HMM模型λ=(A,B,π)和观察序列O=(o1,o2,…,oT)
输出：观察序列O在模型λ下出现的概率P(O|λ)
过程：
丽水二手车1. 初始化：$$\alpha_1(i)=\pi_ib_i(o_1),i=1,2,…,N$$
2. 递推：$$\alpha_t(i)=\left[\sum_{j=1}^N\alpha_{t-1}(j)a_{ji}\right]b_i(o_t),i=1,2,…,N,t=2,3,…,T$$
3. 终止：$$P(O|λ)=\sum_{i=1}^N\alpha_T(i)$$
4. 后向算法同理，只是从后往前递推。初始化：$$\beta_T(i)=1,i=1,2,…,N$$ 递推：$$\beta_t(i)=\sum_{j=1}^Na_{ij}b_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j),i=1,2,…,N,t=T-1,T-2,…,1$$ 终止：无需计算，因为已经在前向算法中计算过了。
2. Baum-Welch算法
输入：观察序列O=(o1,o2,…,oT)
输出：HMM模型λ=(A,B,π)
过程：
初始化模型参数λ=(A,B,π)
太原限行时间新规2021年6月重复以下步骤直至收敛：
E步：
计算前向概率α和后向概率β：
根据α和β计算时刻t处于状态i的概率γ和时刻t处于状态i且时刻t+1处于状态j的概率xi：
M步：
根据γ和xi重新估计模型参数A,B,π。
3. Viterbi算法
输入：HMM模型λ=(A,B,π)和观察序列O=(o1,o2,…,oT)
输出：最可能的状态序列Q=(q1,q2,…,qT)
过程：
保时捷怎么样1. 初始化：$$\delta_1(i)=\pi_ib_i(o_1),i=1,2,…,N$$
$$\psi_1(i)=0,i=1,2,…,N$$
2. 递推：$$\delta_t(i)=\max_{j=1}^N[\delta_{t-1}(j)a_{ji}]b_i(o_t),i=1,2,…,N,t=2,3,…,T$$
高速超速10%不到20%怎么处罚$$\psi_t(i)=argmax_{j=1}^N[\delta_{t-1}(j)a_{ji}],i=1,2,…,N,t=2,3,…,T$$
3. 终止：$$P^*=\max_{i=1}^N\delta_T(i)$$
4. 回溯：从T到1依次求出每个时刻的状态qi：
初始化$${q_T}^*=argmax_{i=1}^N[\delta_T(i)]$$
对于t=T-1,T-2,…,1，$${q_t}^*=\psi_{t+1}({q_{t+1}}^*)$$
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