CAFE 模型机理研究及应用模型机理研究及应用
王金龙 王福明
张炯明 任嵬 龚雅林
北京科技大学 冶金与生态工程学院 北京 100083
摘 要:
: 研究和分析了CAFE法模拟凝固过程微观组织的物理本质、数值计算方法。在CAFE模型中，形核密度用高斯分布来描述；枝晶尖端生长动力学用KGT模型进行计算；枝晶生长的择优取向是<100>方向，并可实现枝晶生长的竞争机制；FE与CA的耦合是通过FE节点和CA元胞之间的插值实现的。应用CAFE法模拟了易切削钢9SMn28的三维微观凝固组织，模拟结果与实验吻合较好。对易切削钢9SMn28进行了成分优化，并对优化结果进行了模拟，有效的改善了9SMn28的凝固组织。
关键词关键词:：元胞自动机-有限元模型；模拟；微观组织；应用；优化
Mechanism Research and Applications of the CAFE
Method
WANG Jinlong WANG Fuming ZHANG Jiongming REN Wei GONG Yalin
School of Metallurgical and Ecological Engineering School, University of Science and Technology Beijing,
Beijing 100083, China
Abstract : A CAFE method of numerical simulation of 3D-microstructure in solidification processes was studied. The nucleation density was described by Gaussian distribution. Calculation of kinetics of the dendrite tip growth was done according to the model of KGT. The crystallographic orientation <100> was selected preferentially, and the competition of crystal growth was developed directly in CAFE method. The Coupling of FE – CA was realized through the interpolation between FE mesh and CA cells. Based on a CAFE method, 3D-microstructure of 9SMn28 free-cutting steel were simulated in solidification processes, and the simulation results were consistent with that of experiment. The compositions of 9SMn28 free-cutting steel were optimized. With the optimization results the solidification microstructure was simulated to be improved obviously.
Keywords : Finite Element – Cellular Automaton model; Numerical simulation; Microstructure; Application ；Optimization
1 1 引言引言
模拟的主要目的是将理论与实验工作直接结合起来。首先模型要有一个可靠的理论基础，考虑事物的真实性。这样的模型能够预测实验行为，也能够使实验者根据现代理论解释实验结果；反过来，模拟进一步完善理论和实验研究。凝固过程的微观组织模拟是指在晶粒尺度上对铸件凝固过程进行模拟，对铸件凝固过程的微观模拟和做少量实验即可预测铸件凝固组织和力学性能。微观组织的模拟先后经历了定性模拟到半定量、定量模拟，由定点形核到随
机形核，由确定性模型发展到概率模型及相场模型[1]。微观组织模拟的确定性方法不能考虑晶
黄海大柴神皮卡粒生长过程中的一些随机现象，忽略了枝晶生长的不连续性及晶体学的影响，它不能考虑始
于铸型表面晶粒生长过程中的选择机制[2]。为改善这些局限性，20世纪80年代发展了概率模
型，该模型主要采用概率方法来研究晶粒的形核与长大，包括形核位置的随机分布和晶粒晶
向的随机选择等。进入20 世纪90 年代，Rappaz 和Gandin [3～4]、Nastac 和Stefanescu [5]、Zhu
[6～7]等人相继对金属凝固中结晶组织的形成，用元胞自动机法（CA ）进行了模拟研究。Rappaz 和Gandin 等人成功地预测从柱状晶到等轴晶的转变并得到了实验验证，并把元胞自动机模型与有限元方法（FE ）耦合起来而建立了宏观-微观的元胞自动机模型(FE-CA 耦合模型)，即CAFE
法。在国内，李殿中[8]、王同敏、金俊泽[9]等人也以CA 方法为基础，实现了对金属凝固组织
形成过程的计算机模拟，于靖[10]等人也基于改进的CA 模型很好的进行了微观组织的模拟。
CA 方法是Von Neuman 早在20世纪60年代模拟物理现象时引进的，它的特点是便于图形显示，而且具有实时性，在这个方法中，每个组元按照一定规则与相邻组元相互作用。把CA 模型与FE 耦合起来是预测铸件微观组织形成的一种有前途的方法。CAFE 模型的特征是：凝固区域首先用较粗的网格（即有限元法FE ）来计算温度场，在此网格内，划分成更细而均匀的节点，在其中采用CA 模型进行形核与生长计算，CA 节点是自动生成的。该方法可以模拟外层等轴晶与柱状晶的竞争生长、柱状晶区的形成、晶粒边界的取向与热梯度之间的关系、柱状晶向等轴晶的转变（CET ）、在非等温温度场中的等轴晶粒的形状等。
2 2 CAFE CAFE CAFE 模型的描述模型的描述模型的描述
2.1非均匀形核非均匀形核
用连续而非离散的分布函数dn /d(∆T )来描述晶粒密度的
变化。其中dn 是由过冷度∆T 的增加引起的晶粒密度增加。
dn /d(∆T )是由下式的高斯分布确定的。
max 12()]()T T dn d T T σ∆−∆−∆∆ ∆T max 是平均形核过冷度，℃；
∆T σ是形核过冷度标准方差，℃；
n max 是正态分布从0到∞积分得到的最大形核
密度。
体与面的非均匀形核均用高斯分布来描述，如
图1所示，面形核的单位是m －2，体形核的单位是m －3。
为了更好的、更准确的模拟凝固微观组织，进行了高斯分布参数对模拟结果影响的研究，得出以下结论：随平均形核过冷度的增大柱状晶区随之增大；随标准方差过冷度的增大，最小面积晶粒数随之而减小，但均匀化程度是先减小，后逐渐增大；最大形核密度越大，晶粒的尺寸越小。
2.2枝晶尖端生长动力学枝晶尖端生长动力学
在实际合金凝固过程中，晶体生长不仅受动力学过冷影响，而且还受成分过冷的影响。枝晶尖端的总过冷度∆T 由下式给出：
k r t c T T T T T ∆+∆+∆+∆=∆
式中：c T ∆、t T ∆、r T ∆、k T ∆分别是成分过冷度、热力学过冷度、固－液界面曲率过冷度
和生长动力学过冷度，对绝大多数合金而言，t T ∆、r T ∆、k T ∆通常可以忽略。在此条件下，柱
状晶和等轴晶的生长速度可用KGT 模型。在实际模拟过程中，为了加速计算的进程，对KGT 图1 形核高斯分布图 Fig. 1 Nucleation site distributions for nuclei formed at the mould wall and in the bulk of the liquid [3].
模型进行拟合，得到如下枝晶尖端生长速度的多项式。
3322)(T a T a T v ∆+∆=∆
2a 、3a 分别是拟合多项式的系数；∆T ——枝晶尖端总过冷度，℃。
2.3 FE 与CA 耦合的实现耦合的实现
为了将FE 和CA 方法耦合到一个模型中，并且引入凝固
潜热的影响，确保微观组织是温度场的函数。为此定义了FE
节点和CA 元胞之间的插值因子，如图2所示。中心在有限元
网格的CA 元胞v 与有限元节点i 、j 、k 之间分别具有非零实习期上高速怎么处罚
的插值因子vi φ、vj φ、vk φ。这些因子结合FE 节点的温度就可
以确定网格中元胞处的温度。在节点处，采用同样
的插值因子对树枝晶形核、生长过程释放的潜热求
和，更新节点温度。 2.4 CAFE 模型计算方法模型计算方法
计算开始时，形核位置动态的分布在CA 中的元胞，如图3所示。形核位置数N 是元胞在某一体积中的随机选择，可表示为N = n max V 。每个形核元胞标记为ν并随机选择，根据高斯分布，
2014款奥迪q7形核过冷度∆T 也是随机选择。
CA 计算期间，当新液相元胞被动态分配时，形核运算的初始值每次被重复。计算开始时合金的温度高于液相温度，所有
元胞被状态因子i = 0 (液态)标记。在某个时间步速δt ≤ δt
max (δt max = l cell /υ∆T max 式中：l cell
— CA 网格长度， υ∆T max —∆T max 时枝晶尖端长大的速度)时，过冷度满足形核条件，此单元的某
些节点形核，状态因子转换为整数 (i ≠ 0)，它是从一系列随机
取向族中选取的[12]。晶粒的生长算法是完全确定的，在计算
中，假定枝晶按照尖端动力学方式生长，择优取向的生长方
向是<100>方向，且与母胞保持一致[13]。 图4 正八面体元胞生长图 Fig.4 Schematics of the decentered octahedron CA growth algorithm [11]
图2 FE 节点与CA 节点关系示意图 Fig. 2 Relations between FE mesh and CA cells [4]
“Inactive & Uncoupled ”“Active & coupled ”nodes “Inactive & coupled ”
“Inactive ”elements （at least one gray edge ） “Active ”“Inactive ”blocks “Active ”blocks “Partially Active ”blocks “Dead ”blocks （at least one gray edge ） 图3 CAFE-3D 模型形核区域和元胞的动态分布图 Fig. 3 Scheme of dynamic allocation of defined windows, blocks and cells in case of coupled of calculation in CAFE-3D model [11]
晶粒生长是基于八面体的[111]面，每个生长的元胞赋予整数状态因子 (i ν ≠ 0) 。计算时，
在相邻元胞中至少有一个是液态。生长的八面体和元胞ν (i ν ≠ 0) 捕获相邻元胞µ (i ν = 0)示意图如
图4所示。被捕获的相邻元胞µ状态因子数转化为元胞ν的状态因子数，即与母胞保持同样的生长取向，这种算法可以直接体现枝晶生长的竞争机制。当生长的八面体和元胞μ被糊状区元胞完全包围时，他们将不再继续生长。八面体的主要斜线方向（X 、 Y 、 Z 轴）是<100>晶向。 3 3 CAFE CAFE CAFE模型的应用模型的应用模型的应用
3.13.1易切削钢易切削钢易切削钢9SMn289SMn289SMn28三维微观组织的模拟三维微观组织的模拟
在铸件尺寸Φ35×60mm 中，截取高度方
向中部10mm 进行模拟，应用软件为Procast 。
经计算，9SMn28合金液相线温度T L ＝1526℃，
固相线温度T S ＝1493℃。钢液浇注温度T=1545℃。Gibbs-Thompson 系数Г取3×10-7m ℃。计算得出枝晶尖端生长动力学参数a 2＝0，a 3＝7.192×10-6m·s -1·K -3。高斯分布参数为∆T s ,max ＝1K 、∆T s,σ＝0.1K 、n s,max ＝1×108 m - 2、∆T v ,max ＝1.8K 、∆T v,σ＝0.1K 、n v,max ＝ 1
×1011m - 3（面形核参数下标为s ，体形核参数下标为v ）时，模拟结果与实验结果如图5所示，由图中可看出，模拟结果与实验结果吻合，尤其柱状晶与等轴晶之间的转化吻合较好。
所模拟的易切削钢9SMn28是我国某钢厂的产品，其标准成分（standard c 0）、控制成分（controlled c 0）及实验试样成分（experiment c 0）如表1所示。
表1 易切削钢9SMn28标准成分、控制成分及实验试样成分
Table1.Standard c 0, controlled c 0 and experiment c 0 of 9SMn28 free-cutting steel上汽 南汽
C Mn Si P S Standard c 0，mass%
≤0.16 0.86～1.35 ≤0.10 ≤0.11 0.24～0.36 Controlled c 0，mass%
0.12～0.15 1.15～1.30 ＜0.04 0.045～0.080 0.28～0.32 Experiment c 0，mass% 0.09 0.99 0.02 0.08 0.26
3.2易切削钢9SMn28成分优化成分优化
为提高9SMn28合金的质量，指导实际生产，进行了易切削钢9SMn28成分优化，确定的各元素最佳含量是，C 为0.15%，P 为0.10% ，Mn 为1.2%， Si 为0.08%，S 为0.36%，图6所示为实验试样及各主要元素在最佳浓度时的模拟结果（沿模拟试样Y 轴方向的中心剖面），该平面结果统计列于表2。
表2实验试样及最佳C 、P 、Mn 、Si 、S 浓度时的模拟结果统计 图5 模拟结果与实验结果 Fig.5.Results of simulation and experiment
E C P
Mn Si
S 图6 实验试样及最佳C 、P 、Mn 、Si 、S 浓度时的模拟结果
Fig.6.The simulated results of experiment and the optimization of C, P, Mn, Si and S concentrations
Table.2.Results statistics of experiment and the optimization of C, P, Mn, Si and S concentrations
E C P Mn Si S Nb. Grains
7713 16141 9081 9833 10498 11508 Mean Surface /m 2
1.245e-007 5.951e-008 1.058e-007 9.769e-008 9.150e-008 8.347e-008 Max Surface /m 2
2.190e-006 5.900e-007 1.310e-006 1.000e-006 1.460e-006 9.100e-007 Mean Radius/m 2.907e-004 1.805e-004 2.593e-004 2.448e-004 2.339e-004 2.220e-004 Nb grains: Number of grains analyzed Mean surface: Mean surface of the analyzed grains Max Surface: Surface of the largest analyzed grain Mean Radius: Average grain size
结合图6和表2数据可以发现，与实验试样相比，优化的C 、P 、Mn 、Si 、S 模拟的柱状晶减少，晶粒均不同程度细化。总结各元素浓度优化产生凝固组织变化的主要原因有以下三点：
（1）元素浓度变化引起液相温度的减小，增大了过冷度。随着过冷度的增加，形核率和长大速度都会增加，但形核率增加比长大速度增加要快，所以产生的晶核数目增加，使晶粒细化。（2）元素浓
度的变化使枝晶尖端生长动力学参数a 3减小，导致晶粒平均直径减小。（3）元素浓度的变化使相变焓减小，减少结晶时间，细化晶粒。
3.3易切削钢9SMn28成分优化结果的模拟
为了验证优化结果，将试样成分换为最佳成分进行模拟（CS
模拟）。经计算，其T L ＝1520℃、T S ＝1490℃、a 2＝0、a 3＝3.565
m·s -1·K -3。
模拟结果（沿模拟试样Y 轴方向的中心剖面）如图7所示，该平面结果统计列于表3。
比较表2、表3数据，并结合图7可以发现， CS 的柱状晶最小，
晶粒数最多，平均晶粒面积、最大晶粒面积最小，说明CS 模拟的
晶粒细化程度和均匀化程度最好。因此，有效的改善了9SMn28
凝固组织，很好的验证了所确定各元素的最佳浓度。
表3 CS 结果统计
Table3.Results statistics of CS
Nb. Grains
Mean Surface /m 2 Max Surface /m 2 Mean Radius/m 18930 5.074e-008 4.400e-007 1.639e-004
4结论结论
（1）在CAFE 模型中，形核密度用高斯分布来描述；枝晶尖端生长动力学用KGT 模型进行计算；枝晶生长的择优取向是<100>方向，并可实现枝晶生长的竞争机制；FE与CA的耦合是通过FE节点和CA 元胞之间的插值实现的。
（2）CAFE 模型可以很好的模拟三维微观凝固组织，模拟结果与实验吻合较好。
（3）应用CAFE 模型对易切削钢9SMn28进行了成分优化，并对优化结果进行模拟，有效的改善了9SMn28的凝固组织。
广州市交通违法查询致谢致谢：：感谢国家自然科学基金（项目批准号：50874007）对本课题资助，感谢ESI 公司提供的ProCAST 软件支持。
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