启发式思维工具：新加坡数学Bar Model模型图的使用
杭州娃哈哈双语学校罗永军
小学生在解决以文字为主要信息的数学问题，特别是解题步骤超过两步时，最大的困难可能是不知道如何到问题中数量之间的关系。而只有明晰数量之间关系，学生才能选用合适的运算符号以及相应的运算步骤来解决问题——因此，理解数量之间的关系就显得基础而又重要。
以文字信息为主的数学问题在新加坡教材中被称为文字题（国内称为应用题），如何发现这些文字题中内在的数量关系？对处于“具体运算”阶段的小学生来说，需要具体策略的介入来解决问题，目的是提供学生明确的视觉提示，利用视觉线索来帮助解题。目前国内外探讨的问题解决成效研究中，大多使用小棒、圆片、表格、示意图等外在表征，其中图示表征使用最为广泛且最有效①（黎苑彤，2016）。在国内，示意图常用几条线段组合在一起的线段图来表示，而在新加坡、英美等国是用矩形条来分析题意表示数学问题中的数量关系，这些矩形条在新加坡教材中被称为“B ar Model”模型图。
模型图的绘制和使用在新加坡有着较高的教学地位，被列入新加坡数学教学大纲（2013
年版）“数学问题解决框架”中，属于“启发方式”的有效工具，大纲指出②：当问题的解决
方案不明显时，“启发方式”就是学生可以做什么来解决问题的一般规则，这些方法包括绘制模型图、制
表、做出猜测等。
一、什么时候使用Bar Model模型图
作为思维工具，新加坡教材的编排是先从实物使用逐步过渡到图像的运用。一年级时，学生是用“S nap Cube”（可插连的立方体）的来理解数量关系③：
提示：用表示弹珠的数量
到二年级时，出现Bar Model模型图，
作为对Snap Cube实物的抽象，开始成为图像思维工具④。
对于二年级学生来说，认知水平开始从前运算阶段过渡到具体运算阶段，可以逐渐摆脱实物操作。因此教材从基本数量关系（新加坡教材称为“部分与整体”）和基本运算(加减乘除)开始引入图像思维工具。
当然，此时的要求是建立实物与图像的对应，让学生逐渐学会看图，并能根据图意解决问题。值得关注的是，从一步文字题开始，教材就把“C heck!”(检查!)这一环节纳入问题解决的过程中，实际上不管是“立方体”还是“模型图”或者是“检查”都是问题解决的一部分。这些方法教材进一步把它扩展成“WH-WH”四个解题步骤，让学生从三年级开始接触，四年级全面使用。下面的问题是学生第一次接触两步应用题⑤时，教材给出的思考提示：太阳膜
这四步解题法与波利亚的“解题表”对应，强调思维过程。其中，在第二步时，就提示学生“试着画个图”，学生需要一边对照问题中的信息，一边把信息用矩形条画出来：
俗语说，“一图胜千言”
（A diagram is worth a thousand words
），一张图或一幅画胜过老师千言万语的解释引导，模型图是学生将问题中提供的信息转换为具体的可视图像，在解题过程中起到信息的解释和转化作用。新加坡从小学四年级开始，教学要求是让学生自己尝试着画图，这和之前根据给出图看图理解相比，更能让学生体验到问题解决的全过程。
二、如何绘制Bar Model 模型图
在绘制Bar Model 时，每个矩形要画多大？不同有信息之间是否需要颜区分？一个矩形是用来表示一个单位还是表示几个单位？……等等。根据我们的教学实践，这些都不需要规定让学生遵守的规则，因为这不是一个标准操作的活动，只要学生自己能方便观察各个数量之间的联系就行。因此，在
教学实践中，我们只是提出了一些基本要求：
1. 每个数据都需要画下来，每次只需要画一个数据（这样学生不会被太多的数据干扰）。
2. 不用担心大数目，大的数量只需要把条形画得更长一点，小的数量就把条形画短点。
3. 鼓励用彩笔画不同的数量。北斗星改装
从四年级开始，新加坡教材在每一个问题解决中都会让孩子们用模型图来表示信息之间的关系。为此，教材还编排了画图的专项训练⑥：沃尔沃越野价格
教材明确提出要求：阅读问题并画图。在专项训练中，学生不需要列算式计算，就是专门练习画图。需要说明的是，教材中的图例只是样例，学生自有学生的画法，只要能通过Bar Model 直观地看到所有信息，方便观察各个数量之间的联系就行。那么，如何知道自己画得对不对呢？在这些专项训练中，教材进一步建议不仅要学生人人动手画图，还要在小组中交流，既要交流
各自的模型图，更要小组成员互相给模型图讲“故事”。也就是说，学生还要能根据模型图再次回转为语言(文字)信息，借此得以和原来的文字题进行比对。当然同一个模型图可以更换不同的问题情景，不必拘泥于原有情景。
三、Bar Model 能解决哪些类型的文字题
Bar Model 是一种很高效的视觉思维工具，可以帮助学生解决不同类型的题目，包括整数、分数、比率和百分率。也因此，对于经典的数学问题可以有不同的视角来解决。如分数应用题，使用Bar Model 就能避开抽象的“单位1”，非常方便地用整数化的思维来解决(可参见笔者另文：不用单位“1”如何解分数应用题？)。对于百分率应用题⑦也同样可用整数化的维度来解决：
比亚迪s6
使用Bar Model
常常能使复杂问题简单化。笔者行文时，恰逢学期结束阶段，有学友发来 2017年六年级第一学期浙教版能力卷(供学生选做），其中最后一题是一道难题：
某小学35的学生是女生，新学期又转来258名学生，使女生增加了1
3，而男生正好翻一倍。原来学校共有多少名学生？
走应急车道扣几分罚多少钱这道题之所以让学生感到困惑，是因为题中涉及到3个单位“1”，分别是“全体学生”、“原来的男生人数”、“原来的女生人数”，这些分率和“258名学生”对应关系是什么？很难到。正好学友前期尝试用Bar Model 来教学，令人惊喜的是用这个方法很方便地解决了这道难题：
综上，新加坡教材中文字题的编排借鉴波利亚的“解题表”，注重思维过程，并且从一步文字题开始就注重包括Circle圆片、Snap Cube可插连立方体、特别是Bar Model 在内的思维工具使用，让学生能形象地理解数量之间的关系，从而较为顺利地解决问题。当然Bar Model 也不是万能的，到了中学阶段对于开方、三角就无能为力了。本文也是意图“他山之石可以攻玉”，希望能对我们的教学尤其是线段图、问题解决、几何直观等方面的教学有一定的启发。
①黎苑彤. 线段图表征对小学六年级学童解分数两步骤文字题之影响[A]. 全国数学教育研究会.全国数学教育研究会2016年国际学术年会论文集[C].全国数学教育研究会,2016:19.
新款甲壳虫② Mathematics Syllabus Primary 1to6（2013）[EB/OL]. v.sg/docs/default-
source/document/education/syllabuses/sciences/files/mathematics_syllabus_primary_1_to_6.pdf,2018-1-23
③ Dr Fong Ho Kheong.My Palas Are Here(3rd Edition) 1B[M].Marshall Cavendish.2013年版：P28
④ Dr Fong Ho Kheong.My Palas Are Here(3rd Edition) 2A[M].Marshall Cavendish.2014年版：P63
⑤ Dr Fong Ho Kheong.My Palas Are Here(3rd Edition) 4A[M].Marshall Cavendish.2016年版：P76
⑥Dr Fong Ho Kheong.My Palas Are Here(3rd Edition) 5A[M].Marshall Cavendish.2017年版：P76，P96
⑦ Dr Fong Ho Kheong.My Palas Are Here(3rd Edition) 5B[M].Marshall Cavendish.2017年版：P63