1.3 时频分布及其性质
1.3.1　单分量信号与多分量信号
从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图1.2.2），图中所示的是信号的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。一般地，如果是信号的解析信号，是对应的频谱，
图1.2.2　单分量信号时－频表示及其特征
则其瞬时频率定义如下：
              （1.2.1）
与瞬时频率对偶的物理量叫做延迟，定义如下：
          　              （1.2.2）
而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成, 每一个山峰都有它自己不同的瞬时频率和瞬时带宽。（如图1.2.3所示）。
图1.2.3　多分量信号时－频表示及特征
1.3.2　时－频分布定义
Fourier 变换的另一种形式
                 
               
指出，尽管信号的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做类时－频分布，连续时间信号（为连续时间信号的解析信号）的Cohen类时－频分布定义为
（1.3.1）
式中称为核函数。原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延和频偏的函数，即核函数具有时、频移不变性。这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。进一步可将（1.3.1）简记为
  　（1.3.2）
式中是双线性变换（双时间信号）关于时间作反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即
            　（1.3.3）
因为类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维变换，所以类时－频分布又称为广义双线性时－频分布。
两个连续信号，的互时－频分布定义为：
    　                    （1.3.4）
式中
                      （1.3.5）
是和的互模函数。
两个信号之和的时－频分布定义为：
（1.3.6）
1.3.3　核函数及其特性
在时－频分布定义中用核函数来表征信号的时－频分布有三个主要优点：首先，通过核函数的约束可以得到并研究具有确定特性的分布；其次，时－频分布的特性可以很容易地通过考察核函数来确定；最后，对于给定的核函数，可以很容易求得信号的时－频分布。
在（1.3.1）中若取核函数，则该定义式就退化为一种重要的时－频分布，即Wigner-Ville分布。当核函数不等于1时，可以理解为是模糊域的滤波函数，即对模糊函数进行滤波。若核函数是乘积的函数形式，则称为乘积核，通常记为。
对（1.3.2）作反变换，可得到由给定时－频分布求其核函数的公式：
　（1.3.7）
结合时－频分布所希望的数学特性（表1.3.2），可以推导出核函数必须满足如下特性：
1、边缘特性：为使信号时－频分布满足时间、频率边缘特性，核函数必须满足
时间边缘，                            （1.3.8）
频率边缘，                                      　（1.3.9）
  2、能量归一化：为使时－频分布在不一定满足边缘特性情况下总能量归一，核函数必须满足
                                          （1.3.10）
3、实值性：为了使时－频分布是实的，核函数必须满足
      　                          （1.3.11）
4、时、频移不变性：为使时－频分布具有时、频移不变性，则核函数必须是与时间和频率不相关的。
5、尺度不变性：为使时－频分布具有尺度不变性，核必须是一个乘积核，即
                      　（1.3.12）
6、有限支撑性：为使时－频分布满足有限支撑性，核函数必须满足
弱有限支撑：
                  （1.3.13）
                  （1.3.14）
强有限支撑：
                  （1.3.15）
                （1.3.16）
  7、逆变换：如果对所有的和值核函数被唯一确定，那么信号能够由时－频分布恢复，如果核在某些区域为零，那么不可能唯一地恢复信号。
8、低通性：为使多分量信号时－频分布的交叉项降低，核函数必须具有很大的峰值，也就是当远离轴或轴中的其中某一轴时，的乘积要尽可能大，即有
    时                          （1.3.17）
9、投影凸集：假定和是满足一个特定约束的核，构造如下新核：
  ，            （1.3.18）
可以证明，所有的构成了一个凸集，它可以自动地挑选核函数，如果存在的话，它将满足所有的约束条件，如果不存在，此方法可以在均方的意义上挑选最好的函数。
（表1.3.2）是作为能量分布的时－频表示应满足的基本数学性质，用核函数对模糊函数加权后，时－频分布也自然会发生一些变化。因此，如果要求变化了的时－频分布仍能满足所提出的某些基本性质的话，核函数就必须受到某些限制，（表1.3.1）是典型类时－频分布的核函数及其要求满足的数学性质，其中是对应于相关域的窗函数，而则是对应于时－频域的核函数，它们间的关系见式（1.3.28）。
表1.3.1　Cohen类分布的核函数要求及其应满足的数学性质
时－频分布
满足的数学性质（表1.3.2）
Born-Jordan
分布（BJD）
1～12、16
Butterworth
分布(BUD)
1～7、
8、
9、
10、
16
Levin分布(LD)
现代1～7、11、13、15
Page分布(PD)
1～7、11、13、15
谱图(SPEC)
1～3
分布(WVD)
1～18
广义Wigner
分布(GWD)
2～8、13～15、
11～12
伪Wigner分布
(PWD)
1～3、
4、6、
9、11
实广义Wigner
分布(RGWD)
1～10、16、
11～12
减小交叉项
分布(RID)
1～12、15（若为偶函数）
Rihaczek分布
(RD)
2～8、11～15
平滑伪Wigner
分布(SPWD)
1、2～3
Choi-Williams
分布(CWD)
1～10、16
Cone核分布
(CKD)
1（若为偶函数）、2、3、11
广义指数分布
(GED)
1～7、
8、
9～10、、
14～15
（）、
16
1.3.4　时－频分布的基本性质要求
对于任何一种实际和有用的非平稳信号分析，通常要求时－频分布具有表示信号能量分布的特性。因此希望时－频分布能够满足下面的性质：
1、 时－频分布必须是实的（且希望是非负的）。
2、 时－频分布关于时间和频率的积分应给出信号的总能量，即
总能量                      （1.3.19）
3、满足边缘特性。如果把某一特定时间的所有频率的能量分布累加起来，就应该得到瞬时功率；如果把某一特定频率的能量分布在全部时间内累加，就应该得到能量谱密度。因此，在理想情况下，时间和频率的联合密度应该满足：
                      （1.3.20）
                        （1.3.21）
时－频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和延迟，即
                          （1.3.22）
                  　（1.3.23）
5、有限支撑特性。这是从能量角度对时－频分布提出的一个基本性质。在信号处理中，往往要求信号具有有限的时宽和有限的带宽。如果信号只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱也只在某个频率区间取非零值，则称信号及其频谱是有限支撑的，同样，如果在和的总支撑区以外，信号的时－频分布等于零，就称时－频分布是有限支撑的，通常把这种支撑称为弱有限支撑（如图1.3.1），即
当时，若，则有；
当时，若，则有。
而若只要在信号和它的频谱等于零的各区域，时－频分布也都等于零，则称这种支撑为强有限支撑，即
若，则有；
若，则有。
在上面的特性中，边缘特性和非负特性保证了时－频分布准确反映信号的谱能量、瞬时功率和总能量。边缘特性可以保证信号的总体量（平均时间、平均频率、时宽和带宽等）正确给定。非负性则可以进一步保证分布的条件期望是切合实际的和物理解释。非负性和边缘特性一起可以保证时－频分布的强有限支撑。
为了讨论的方便，表1.3.2给出了时－频分布所希望的数学性质。但应当指出，并不是所有的时－频分布都满足表中的所有性质，实际中适用的时－频分布并非一定要满足所有的性质，应该根据具体情况进行合理取舍。另外，作为能量密度的表示，时－频分布不仅应该是实的，而且还是非负的，但是，实际的时－频分布却难以保证取正值。这样一种非负性的缺乏使得不能把时－频分布解释为信号在时间和频率处的瞬时能量谱密度。为了给负值的时－频分布赋以物理解释，可以认为是信号在时间间隔流过谱窗口的能量的测度。
表1.3.2　时－频分布所希望的数学性质
性质1
实值性
性质2
时移不变性
性质3
频移不变性
性质4
时间边缘特性
性质5
频率边缘特性
性质6
时间矩
性质7
频率矩
性质8
时－频伸缩性
性质9
瞬时频率
性质10
延迟
性质11
有限时间支撑
性质12
有限频率支撑
性质13
酉性（Moyal公式）
性质14
乘积性
性质15
卷积性
性质16
变换
性质17
调制卷积
性质18
调制乘积
1.3.5　局部相关函数与特征函数
信号的瞬时功率实质是一种二次型（双线性）变换。在平稳信号中就用二次型来定义相关函数和功率谱的，即
              （1.3.24）
              （1.3.25）
考虑到非平稳信号与平稳信号具有不同的特性，把上面的自相关函数定义成如下对称形式
                                    （1.3.26）
因为只有这样对称的双线性变换才更能表现出非平稳信号的某些重要特性。于是类似于（1.3.26），可把非平稳信号的相关函数定义如下：
          （1.3.27）
式中是起平滑作用的窗函数，它和（1.3.7）式中存在如下关系：
                　（1.3.28）
              　（1.3.29）
通常又把（1.3.27）定义的称为局部相关函数。对局部相关函数作变换，可以得到时变功率谱，也就是信号能量的时－频分布，即
                        　（1.3.30）
这表明，时－频分布可以用局部相关函数来定义，因此只要取不同的局部相关函数形式，就能得到不同的时－频分布。
若取窗函数，则得到瞬时相关函数，记为
　
（1.3.31）
它的变换就是著名的分布，即
        （1.3.32）
若随机信号的时频分布为，随机信号的特征函数定义为的Fourier逆变换
        （1.3.33）
由（1.3.33）知，时－频分布可以通过特征函数的二维变换得到，即