前言
本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。
本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。
书中第5、6、8章习题由高立教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。
由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。
编者
2005年5月
2.1有电路如图P2.1所示，设输入为 ，输出为 ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1
解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。
设 两端电压为 ， 两端的电压为 ，则
(1)
(2)
选择状态变量为 ， ，由式(1)和(2)得：
状态空间表达式为：
即:
2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
图P2.2
解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令 为输入量，即 ， ， 的位移量 ， 为输出量，
选择状态变量 ， = ， = ， 。
根据牛顿定律对 有：
对 有：
经整理得：
状态方程为：
输出方程为：
写成矩阵形式为：
2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的 、 、 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中， 、 分别为系统的输入、输出， 、 、 均为标量。
图P2.5系统结构图
解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
着眼于求和点①、②、③，则有
①：
②：
③：
输出 为 ，得
2.7 试求图 中所示的电网络中，以电感 、 上的支电流 、 作为状态变量的状态空间表达式。这里 是恒流源的电流值，输出 是 上的支路电压。
图P2.8 RL电网络
解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程
整理得状态空间表达式为
2.8 已知系统的微分方程 (1) ；
(2) ；
(3) 。
试列写出它们的状态空间表达式。
(1) 解 选择状态变量 ， ， ，则有：
状态空间表达式为：
(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件下取拉氏变换得：
由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为
(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件下取拉氏变换得：
在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即 是否小于 ，若 需作如下处理
再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为
2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。
(1) (2)
(1) 解
首先将传函(1)化为严格真有理式即：
令 ，则有
，
，
即：
由上式可得状态变量图如下：
由状态变量图或公式(2.14)、(2.15)直接求得能控标准型状态空间表达式
(2) 解 由已知得：
，
令： ，
得：
状态变量图如下：
状态表达式如下：
2.13 列写图P2.10所示系统的状态空间表达式。
图P2.10
解 设
(7)
(8)
则由系统方框图 可得
(9)
(10)
对式 进行拉氏反变换得
则系统状态空间表达式为
2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。
(1)
(2)
(1) 解
现代① 求特征值
解得
② 求特征向量
、对于 ：
有
解得
、对于 ：
有
解得
③ 构造 ，求
④ 求 ， 。
,
则得对角标准型
(2) 解
① 求特征值：
② 求特征向量
、对于 有：
、对于 有：
、对于 有：
③ 构造 ，求 。
④ 求 ， 。
则得对角标准型
2.15 试将下列状态方程化为约当标准形。
解 ① 求特征值：
② 求特征向量
、对于 有
即
、对于 有
即
即
③ 构造 ，求 。
④ 求 ， 。
则得约当标准型
2.16 已知系统的状态空间表达式为
求其对应的传递函数。
解
， ， ，
2.19 设离散系统的差分方程为
求系统的状态空间表达式。
解 对差分方程取Z变换，得：
离散系统状态方程式为
第3章 “状态方程的
解”习题解答
3.1计算下列矩阵的矩阵指数 。
（1）解
（2）解
（3）解
（4）解：
3.2 已知系统状态方程和初始条件为
(1) 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；
(2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵；
(3) 试用化 为有限项法求其状态转移矩阵；
(4) 根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。
（1）解 ，
其中，
则有
而 ，
所以状态转移矩阵为
（2）解
对于 ，
对于 ，
（3）解 矩阵的特征值为 ,
对于 有：
对于 有：
因为是二重特征值，故需补充方程
从而联立求解，得：
（4）解：
3.3 矩阵 是 的常数矩阵，关于系统的状态方程式 ，有
时，
时，
试确定这个系统的状态转移矩阵 和矩阵 。
解：
因为系统的零输入响应是
所以
，
将它们综合起来，得
而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵 满足微分方程
和初始条件
因此代入初始时间 可得矩阵 为：
3.9 已知系统 的转移矩阵 是
时，试确定矩阵 。
解 因为 是状态转移矩阵，
所以有
将 ， 代入得：
3.10 已知系统状态空间表达式为
(1) 求系统的单位阶跃响应； (2) 求系统的脉冲响应。
（1）解 ，
时，
时，
将 代入求解公式得：
+
若取 ，则有
（2）解 由（1）知
取 ，则有
若取 ，则有 ，
3.11 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状态响应。
(1)
(2)
（1）解
① ，
取 ，则
② ，
若取 ，则有
③ ，
若取 ，则有
（2）解
所以
时，
时，
① ，
取 ， 则有
② ，
取 ， 则有
③ ，
取 ， 则有
3.12 线性时变系统 的系数矩阵如下。试求与之对应的状态转移矩阵
(1) (2)
(1) 解
因为
说明 和 是不可交换的，亦即 和 是不可交换的。
则按下式计算状态转移矩阵
为此计算：
所以状态转移阵为
（2）解
对应系统自治状态方程为
求解得到
再任取两组线性无关初始状态变量：
可导出两个线性无关解：
由此，得到系统的一个基本解阵：
于是，利用状态转移矩阵关系式，即可定出状态转移矩阵 ：
3.14 已知线性定常离散系统的差分方程如下：
若设 ，试用递推法求出 。
解
同理，递推得：
3.15 设线性定常连续时间系统的状态方程为
，
取采样周期 ，试将该连续系统的状态方程离散化。
解
① 首先计算矩阵指数 。采用拉氏变换法：
② 进而由公式(3.19)计算离散时间系统的系数矩阵。
将 代入得
③ 故系统离散化状态方程为：
3.16 已知线性定常离散时间系统状态方程为
；
设 与 是同步采样， 是来自斜坡函数 的采样，而 是由指数函数 采样而来。试求该状态方程的解。
解
① 首先用Z变换法求状态转移矩阵：
② 利用 即可求得。 或用Z变换法，由 求得。
第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答
4.1 判断下列系统的能控性。
1)
2)
3)
解：
1) 由于该系统控制矩阵 ，系统矩阵 ，所以
从而系统的能控性矩阵为
显然有
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
2)由于该系统控制矩阵为
系统矩阵为
则有，
.
从而系统的能控性矩阵为
有
满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
3)由于该系统控制矩阵为
系统矩阵为
则有，
于是，系统的能控性矩阵为
可知
不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
4.2判断下列系统的输出能控性。
1)
2)
解：
1) 系统输出完全能控的充分必要条件是，矩阵 的秩为 。由于
所以
而
等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。
2) 系统输出完全能控的充要条件是，矩阵 的秩为 。由于
所以
而
等于输出变量的数目，因此系统是输出能控的。 □
4.3判断下列系统的能观测性。
1)
2)
3)
解
1) 系统的观测矩阵 ，系统矩阵 ，得
系统能观性矩阵为
可知
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。
2) 系统的观测矩阵 ，系统矩阵 ，于是
系统能观性矩阵为
易知
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。
3) 系统的观测矩阵 ，系统矩阵 ，于是
系统能观测性矩阵为
易知
满足能观性的充要条件，所以该系统是能观测的。
4.4 试确定当 与 为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。
解 系统的能控性矩阵为
其行列式为
根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即 ，可知 或 。
系统能观测性矩阵为
其行列式为
根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2
，亦即 ，可知 或 。 □
4.5试证明如下系统
不论 , , 取何值都不能控。
证
系统的特征方程为
解得特征值
分别将其带入特征方程得
我们知道
基础解的个数 ，所以存在着两个线性无关的向量 ，可将 化为:
因为在约当块中有相同的根，由能控判据2可知无论 , , 为何值，系统均不能控。□
4.7已知两个系统 和 的状态方程和输出方程分别为
：
：
若两个系统按如图P4.2所示的方法串联，设串联后的系统为 。
1) 求图示串联系统 的状态方程和输出方程。
2) 分析系统 ， 和串联后系统 的可控性、可观测性。
图P4.2 串联系统结构图
解
1) 因为 ， ， ，因此
串联组合系统的状态方程为
输出方程为
2) 串联后系统的能控性矩阵
可见，
，
因此，系统不能控。
串联后系统的能观性矩阵
可见， ， 因此，系统能观测。 □
4.10将下列状态方程化为能控标准形
解 该状态方程的能控性矩阵为
知它是非奇异的。求得逆矩阵有，
由 得
同理，由 得
从而得到
由此可得，
所以，
此即为该状态方程的能控标准形。 □
4.11将下列状态方程和输出方程化为能观标准形。
解 给定系统的能观性矩阵为
知它是非奇异的。求得逆矩阵有，
由此可得，
根据求变换矩阵 公式有，
代入系统的状态表达式。分别得
所以该状态方程的能观标准型为
□
4.15 系统的状态方程：
试讨论下列问题：
1) 能否通过选择 , , 使系统状态完全可控？
2) 能否通过选择 , , 使系统状态完全可观？
解
1) 可控性矩阵
显然，第三行乘以 即为第二行，故第二行与第三行成比例，因而不论怎样选择 , , ，系统状态均不完全可控。
2) 可观性矩阵
第一列等于第三列乘以 ，故不论怎样选择 , , ，系统均不完全可观。 □
4.19 已知控制系统如图P4.4所示。
图P4.4 系统结构图
1) 写出以 ， 为状态变量的系统状态方程与输出方程。
2) 试判断系统的能控性和能观性。若不满足系统的能控性和能观性条件，问当 与 取何值时，系统能控或能观。
3) 求系统的极点。
解
1) 由图P4.4可知， ， ，则有
将状态方程和输出方程写成矩阵形式，有
2) 系统能控能观性判断。
能控性矩阵
，
无论 与 取何值，系统均能控。
能观性矩阵
此时无法判断系统的能观性。要使系统能观， 应满秩，即 ， 。
3) 系统的特征方程为
则，系统的极点为 。
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