7.1 数学模型的内容、分类和建模方法
数学模型是根据设计任务和优化课题建立起来的产品设计参数与性能参数之间的数学关系。不同的设计对象和设计任务，具有不同的设计参数和性能参数，它们的数学模型也将完全不同。例如，优化压气机流路形状时，设计参数是流路尺寸，性能参数是压气机特性和压气机质量，它的数学模型是由已知流路的尺寸和设计要求而能求得压气机特性和质量的计算方法组成。又例如，优化涡型面时，要求在满足给定应力限制的条件下使涡的质量最轻，这时设计参数为涡型面尺寸，目标参数为涡质量，应力限制为约束，数学模型是涡型面尺寸和涡质量、应力之间的数学关系。
在发动机设计中，发动机的主要设计参数是发动机类型、发动机循环参数、空气流量、控制方案、进气道和喷管类型、进气道和喷管的主要几何参数和控制方案。主要性能参数是推力、装耗油率、最大直径、最大长度、发动机重量、噪声级水平和成本等。因此发动机数学模型应由这样一些计算方法组成，它们可以根据进气道、发动机、喷管的设计参数求得发动机性能参数。本章将系统介绍在工程上广泛应用的发动机稳态和过渡态性能数学模
型。
由于发动机的复杂性，它的数学模型也很复杂，相应的计算机程序将占有相当大的内存，运行机时较长，因此要求发动机数学模型和程序既能正确反映发动机性能、重量、尺寸和设计参数之间的关系，又能计算迅速和占用内存少。在不同设计阶段，如拟订战术和技术要求、初步设计、草图设计和工作图设计阶段，已知的原始数据不同，要求数学模型的内容和准确度也相互各异，所以数学模型可以按复杂程度分为几种类型。下面介绍按复杂程度分类的四种发动机数学模型。
(1) 第I类数学模型
借助于表格或拟合关系式来描述发动机性能，整个发动机作为一个“黑盒子”，模型中不描述各部件的工作情况，图7-1为其示意图。
图7-1 第I类数学模型
（2）第II类数学模型
发动机的每个部件作为一个“黑盒子”，只给出各部件特性，而不描述各部件内部详细工作情况。利用各部件共同工作条件确定发动机性能。图7-2为其示意图。这类模型常用于选择发动机最佳设计参数。
图7-2 第II类数学模型
（3）第III数学模型
每个部件都有各自的第III类数学模型，它们描述了部件流路尺寸、设计参数和特性之间的关系。这类模型计及气流通道的主要几何尺寸，按平均中径计算每级叶片环的流动模型。模型中包括对气流通道部分的受力零件进行强度检查，强度模型为一般工程计算方法。这类模型可以单独使用，也可以放人发动机模型中使用，用于确定部件的。最佳通道尺寸，也可用于强度设计。
（4）第IV类数学模型
这类模型用来计算叶片环中的空间流动，其中包括用有限元法计算叶片和盘应力场，确定强度储备的强度模型．这类模型还可用来选择最佳扭向规律和叶型等。
数学模型还可按其他准则分类，例如发动机性能模型可分为设计点性能和非设计点性能两种模型；发动机非设计点模型又可分为稳态和动态两种模型。
建立数学模型的方法一般有两种途径。一种适用于内部结构和参数关系清楚的系统，可利用已知的基本规律，经过分析和演绎推导出数学模型，这种方法简称为分析法；另一种适用于内部结构和参数关系不清楚的系统，即“黑盒子”，建立这种系统数学模型的方法称为总体法。如果允许直接进行实验观测，总体法的特点是利用大量实验数据建立设计参数和性能参数之间的经验关系式，也可以利用部分已有的实验数据，构造系统数学模型，再经实验验证和修正来获得数学模型。对于一些难于进行实验的系统，则采用数据收集和统计归纳方法来假设数学模型。
7.2 发动机稳态性能数学模型
在推进系统一体化设计任务中，影响推进系统性能的发动机主要性能参数是发动机推力、耗油率和燃油流量，因此发动机数学模型的任务就是根据给定的发动机设计参数和使用条件求出发动机性能参数。
发动机性能模型分为设计点性能和非设计性能两种模型。发动机设计点性能数学模型是根据选定的设计点飞行M数和飞行高度、选定的循环参数（压气机增压比、涡轮前燃气总温、加力温度、函道比、风扇增压比等）计算发动机单位推力、耗油率以及各主要截面气流参数。其中应解决部件效率和损失系数的选择、冷却气量的选择和各转子间功率分配等问题。再根据飞机需用推力确定发动机空气流量和各主要截面的几何尺寸。
发动机非设计性能数学模型包括稳态和动态性能模型。发动机稳态性能模型计算发动机在给定飞行M 数、飞行高度和油门位置下的推力、耗油率、燃油流量以及工作过程参数，如空气流量、喷管膨胀比、涡轮前、后的燃气总温等。在此计算中除输入使用条件外，还要求输入发动机设计点性能计算的计算结果和控制方案。发动机动态性能数学模型的功能是计算油门位置改变后发动机参数随时间的变化规律。
有的发动机数学模型可适应于不同类型的发动机方案。它具有自动组成发动机方案，沿流
程安排发动机部件位置的功能。
下面介绍第I种和第II种复杂程度的发动机稳态性能数学模型。它们适用于不同的设计任务或优化课题。
7.2.1用总体法建立的I级性能模型
用总体法建立现有发动机的稳态性能数学模型，属于第I类数学模型。现在许多发动机制造厂以这种模型向用户提供发动机的速度－高度特性和节流特性。
现以WP－11发动机稳态性能模型为例，说明这种模型的建立方法。WP－11发动机是一台单轴涡喷发动机。发动机的几何尺寸不可调，利用大量地面试车数据建立模型，然后用飞行试验数据加以校核，证实了模型的正确性。在地面试车台上测取不同转速下的发动机推力F和耗油率SFC；改变喷管出口面积，重复上述试验，得到5个不同喷管面积的发动机推力和耗油率随转速的变化关系。利用这套试车数据，计算发动机的综合特性，即推力相似参数F/Pt0和耗油率相似参数随相对折合转速和飞行M数M0的变化关系，如图7-3所示。也可以将图7-3的曲线数据拟合为多项式，得到WP－11发动机的综合特性的数学关系式。
7.2.2用部件法建立的II级性能模型
这是利用部件特性计算发动机稳态性能的方法，是目前应用最广泛的发动机稳态性能数学模型。其特点是已有各部件特性，选定发动机控制方案，给定飞行M数和飞行高度，给定发动机工作状态，按照各部件共同工作条件确定共同工作点，即确定满足共同工作条件的压气机增压比πC、涡轮前燃气总温Tt4、空气流量Wa、涡轮膨胀比πT、油气比fa、 排气速度V9和排气压力Ps9等，然后再计算发动机推力F、耗油率sfc和燃油流量Wf。由于发动机各部件之间相互制约关系比较复杂，在求共同工作点时要对多个参数的数值进行反复迭代。
发动机稳态性能数学模型的计算方法在思路上是相同的，但是部件特性的表示方法、气体热力性质的计算方法以及求解共同工作点的方法却各不相同。下面介绍一种常用的算法。
7.2.2.1气体热力性质
气体的比热和绝热指数是气体成分和温度的函数。由于气体沿发动机通道流动时气体的成分和温度均发生变化，所以为了准确计算发动机性能，有必要计及气体热力性质的变化。一般简称为变比热计算。计算变比热的方法很多，下面介绍焓、熵函数法。
该法应用化学反应计量法确定碳氢燃料燃烧后燃烧产物的化学成分，每种气体成分的定压比热Cp分别表示为温度的函数（四次多项式）．按照混合气体比热计算法求得气体定压比热Cp 等于：
(7-1)
式中ai和bi为多项式系数。
为了计算各部件中压力、温度和功的变化，引人焓差和熵函数的计算公式。焓差△h由下式计算，即
(7-2)
也可以表示为
(7-3)
式中：△ha为空气的焓差，对应（7-2）式右端大括号中的第一项；△hb为纯燃气的焓差，对应(7-2）式右端大括号中的第二项。
发动机功率计算公式熵的表达式为
对于等熵过程，ds=0，则有
(7-4)
上式左端的积分值是一个和熵有关的函数，称为熵函数ΔΨ，它也是气体状态的函数。若用（7-1）式代入（7-4）式并积分，可得ΔΨ的计算公式，将其表示为ΔΨ（T2ad，T1，fa）,最后可得
(7-5)
若已知温度和油气比，则可由公式（7-3），（7-5）求得△h和ΔΨ；有时也需要在已知T1，fa，△h或ΔΨ的条件下求T2或T2ad，这时只能利用公式（7-3），（7-5）用迭代法求解。
气体常数R是气体成分的函数，计算公式为
Ｒ＝8314／μ (7-6)
式中Ｒ的单位是（Ｊ／kg/K），μ为分子量，计算式为
(7-7)
一种比较简化的变比热计算法是利用各部件中气体的平均比热和平均绝热指数代入各部件计算公式进行计算。第一次计算时，部件出口总温是不知道的，所以计算过程要经过几次迭代才能确定平均比热和平均绝热指数。
在发动机性能的快速计算法中可采用更简单的分段定比热法，例如取空气绝热指数
γ＝1.4，燃气绝热指数γg＝1.33。
7.2.2.2部件特性及其出口气流参数计算
（1）进气道
进气道总压恢复系数σin是影响发动机性能的主要进气道特性参数。若已知大气温度Ts0和大气压力Ps0、飞行M数M0和σin，可用下述方法计算进气道出口总温T2和总压Pt2。
飞行速度，式中R为空气气体常数，γ计算式为
由下列兩個公式迭代求解Tt0, 即
(7-8)
建议选取迭代收敛条件为|Tt0i+1-Tt0i|≦0.5。由式（7-5）可得
P t0=Ps0exp[ΔΨ(T t0,Ts0,0)/R] (7-9)
P t2=P t0σin (7-10)
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